Môđun của số phức z=a+bi(a,b∈R), kí hiệu là |z| hoặc |a+bi|, là một số thực không âm cho bởi công thức |a+bi|=√a2+b2.
Từ đó ta có thể suy ra zˉz=|z|2 và |ˉz|=|z| với mọi số phức z.
Nếu z∈R (z là số thực) thì môđun của z chính là giá trị tuyệt đối của số thực đó và |z|=0⇔z=0.
Ví dụ. |3−2i|=√32+(−2)2=√13
Tính chất. Với hai số phức z1,z2 bất kỳ ta có:
|z|=|a−bi|=√a2+(−b)2=√a2+b2
Goi z=a+bi(a,b∈R) khi đó
z+¯z=a+bi+a−bi=2a là 1 số thực
z+|z|=a+bi+√a+b2;z−|z|=a+bi−√a+b2
z−¯z=a+bi−(a−bi)=2bi là số thuần ảo
Ta có: |4+3i|=√42+32=5
|z|=√32+12=√10
|z1|=√12+42=√17|z2|=√42+(−1)2=√17}⇒|z1|=|z2|
Giả sử z=x+yi(x,y∈R) Ta có |z|=√3⇔x2+y2=3 z2=x2−y2+2xyi là số thực ⇒2xy=0⇔[x=0y=0⇒[y=±√3x=±√3
Vậy [z=±√3z=±√3i⇒ Tổng bình phương môđul các số phức z là: 12
Giả sử z=a+bi(a,b∈R) ⇒a2+b2=5
Mà (z−1)2=(a−1+bi)2=(a−1)2−b2+2(a−1)bi là số thuần ảo
⇔(a−1)2−b2=0⇔b2=(a−1)2⇔a2+(a−1)2=5⇔[a=−1a=2⇒[b=±2b=±1
⇒ Có 4 số phức thỏa mãn.
Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn z+1+3i−|z|i=0. Tính S=a+3b
z=a+bi⇒z+1+3i−|z|i=0⇔(a+1)+(b+3−√a2+b2)i=0 {a+1=0b+3−√a2+b2=0⇒{a=−1b=−43⇒S=a+3b=−1+3(−43)=−5
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z−3i|=5 và zz−4 là số thuần ảo ?
zz−4 là số thuần ảo nên z≠4 và zz−4=bi với b∈R Tức là z=4bibi−1
Khi đó 5=|z−3i|=|4bibi−1−3i|=|3b+(4b+3)ibi−1|=√(3b)2+(4b+3)2√b2+1
⇔9b2+16b2+24b+9=25(b2+1)⇔b=23 vậy có 1 số z thỏa mãn đề bài
Ta có |z+a+3i|=|2+a+2i|=√(2+a)2+4
⇒|z+a+3i|=2√2⇔√(2+a)2+4=2√2
⇔(2+a)2=4⇔[a=0a=−4