Định nghĩa hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Các vecto thỏa mãn đề bài lần lượt là $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {ED} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {FC} ,\overrightarrow {CF}$.

$\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ . Vì $-3 < 0$ nên $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ ngược hướng

$\Rightarrow M$ nằm giữa $N,P$ và $MN=3MP$

 Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $\left| \overrightarrow{AB} \right|\,=\,AB\,=a$ .

Ta có $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$ nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng

Các vecto lần lượt là: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {DB}$

Các điểm D thỏa mãn đề bài nằm trên đường tròn tâm C bán kính AB.

Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau trong SGK: Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

Các vecto thỏa mãn đề bài lần lượt là $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {ED}$.

Các vecto lần lượt là  $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB}$.

Từ hai điểm $A,B$ phân biệt có hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ .

Vì $F$ là trung điểm của $AC,BB'$ nên $ABCB'$ là hình bình hành $\Rightarrow AB'//BC$

Tương tự ta co $AC'BC$ cũng là hình bình hành $\Rightarrow AC'//BC$

$\Rightarrow C',A,B'$ thẳng hàng

$\Delta ABC$ có $FE$ là đường trung bình

Suy ra: $B'C'//FE//BC$

Mà: $\left\{ \begin{array}{l} BC=2EF \\ BC=AC'=AB' \\ B'C'=AB'+AC' \end{array} \right.\Rightarrow B'C'=4EF$

Vì hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương nên:

$-3\overrightarrow{a}+\left( 2x-1 \right)\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( k+3 \right)\overrightarrow{a}+\left( 2k-2x+1 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k+3=0 \\ 2k-2x+1=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=-3 \\ x=-\dfrac{5}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Ta có tam giác $DD'C$ vuông tại $C\Rightarrow D'C\bot DC$

$H$ là trực tâm tam giác $BDC\Rightarrow BH\bot DC$

$\Rightarrow D'C//BH$

Tương tự ta có $CH//BD'$

$\Rightarrow BD'CH$ là hình bình hành

Tương tự $DHCB'$ cũng là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{DH}=-\overrightarrow{CB'}$

ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AB=CD$

Vì M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB mà AB = CD nên $BN=CM(=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{DC}{2})$

ABCD là hình bình hành $\Rightarrow AB//CD\Rightarrow BN//CM$

Vậy BCMN là hình bình hành $\Rightarrow$ K là trung điểm BM.

Xét tam giác $ABM$ có $N,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,BM\Rightarrow NK$ là đường trung bình của tam giác $ABM\Rightarrow NK//AB//IM$

Tương tự ta có $NI//MK$

$\Rightarrow$ Tứ giác $IMKN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{NI}=\overrightarrow{KM}$

Mà $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{KM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{NI}=\overrightarrow{BK}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{BK},\overrightarrow{NI}$ cùng hướng

$\overrightarrow{AN}$ cùng phươngvới $\overrightarrow{BO}$ $\Leftrightarrow AN//BO$

Ta có $MA=MB$ (Tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \Delta AOM=\Delta BOM\Rightarrow \widehat{AON}=\widehat{BON}$

$\Rightarrow \Delta AON=\Delta BON$ $\left( c-g-c \right)$ $\Rightarrow \widehat{OAN}=\widehat{OBN}$

Mà $\widehat{OBN}+\widehat{ANB}={{180}^{0}}$ (Vì $AN//BO$ ) $\Rightarrow \widehat{ANB}+\widehat{OAN}={{180}^{0}}$

$\Rightarrow$ $BN//OA$

$\Rightarrow OANB$ là hình bình hành $\Rightarrow AN=OB$

Mà $OB=OA=ON$ $\Rightarrow$ $AN=OA=ON\Rightarrow$ và $\Delta OAN$ đều $\Rightarrow \widehat{AON}={{60}^{\circ }}$

Lại có $\Delta OAM$ vuông tại $A$ $\Rightarrow OM=2OA=2ON$

$\Rightarrow k=2$

Theo giả thiết: $\dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{k}\Rightarrow JI//DC//AB$

$\overrightarrow{AJ}$ và $\overrightarrow{BI}$ cùng hướng $\Rightarrow AJ//BI$

$\Rightarrow ABIJ$ là hình bình hành $\Rightarrow AB=JI$

Mà: $CD=3AB\Rightarrow CD=3JI$

$\Rightarrow \dfrac{OI}{IC}=\dfrac{OJ}{JD}=\dfrac{1}{2}$

Tam giác $BEC$ có $F$ là trung điểm $BC$ và $H$ là trung điểm của $EC$

$\Rightarrow FH$ là đường trung bình của tam giác $BCE$

$\Rightarrow FH//BE//AD$

Hay các vecto $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{FH}$ cùng phương

Ta có $AB\ne EH\Rightarrow ABHE$ không là hình bình hành

Khi đó $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BH}$ không cùng phương với nhau

Vì hai vectơ $7\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ và $-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{a}+\left( 2-x \right)\overrightarrow{b}$ cùng phương nên:

$-\dfrac{7}{2}\overrightarrow{a}+\left( 2-x \right)\overrightarrow{b}=k\left( 7\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( 7k+\dfrac{7}{2} \right)\overrightarrow{a}+\left( 3k+x-2 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7k+\dfrac{7}{2}=0 \\ 3k+x-2=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=-\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \end{array} \right. \end{array}$

$\Delta ABC$có $FE$ là đường trung bình

$\Rightarrow FE//BC$ và $\overrightarrow{FE},\overrightarrow{BC}$ không cùng hướng

Ta có $C'ACB,AB'CB$ đều là 2 hình bình hành nên

$C',A,B'$ thẳng hàng $\Rightarrow C'B'//BC$

Khi đó cả 3 cặp đề bài cho đều cùng hướng với nhau

Vì $H$ là trực tâm $\Delta ABC\Rightarrow$ $CH\bot AB$

Có: $\Delta BAB'$ vuông tại $A\Rightarrow B'A\bot AB$

Suy ra: $AB'//CH$

Mà lại có: $\left\{ \begin{array}{l} AH\bot BC \\ B'C\bot BC \end{array} \right.\Rightarrow AH//B'C$

Từ đó ta có: $AHCB'$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}$ hay $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{B'C}$ cùng hướng

Ta có $EF//AB\Rightarrow AI$ và $EF$ cùng phương

Theo giả thiết: $AI=2IB\Rightarrow \dfrac{AI}{AB}=\dfrac{2}{3}$

Mà: $\dfrac{FC}{BC}=\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow IF//AC$

$\Rightarrow$ $AEFI$ là hình bình hành.

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$ và $x\overrightarrow{a}+({{x}^{2}}-4)\overrightarrow{b}$ cùng phương nên:

$x\overrightarrow{a}+({{x}^{2}}-4)\overrightarrow{b}=k\left( \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( k-x \right)\overrightarrow{a}+\left( 3k-{{x}^{2}}+4 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k-x=0 \\ 3k-{{x}^{2}}+4=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k \\ {{x}^{2}}-3x-4=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k=-1 \\ x=k=4 \end{array} \right. \end{array}$

Mặt khác 2 vecto đã cho cùng hướng nên $x > 0\Rightarrow x=4$

+ $\Delta OAM$ vuông tại $A$ có $AN$ là trung tuyến $\Rightarrow ON=AN=NM$

+ $OA=ON\Rightarrow OA=AN$

+ Tương tự với $\Delta OBN$ ta có $OB=BN$

+ $OA=OB\Rightarrow OA=OB=AN=BN$

+ Suy ra: $OANB$ là hình thoi $\Rightarrow$ $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{NB}$

Khi đó có $OA=ON=NA\Rightarrow \Delta ONA$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{ANO}={{60}^{0}}$

Tương tự có $\widehat{BNO}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{ANB}={{120}^{0}}$

Tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow O$ là trực tâm tam giác $ABC$.

$\Rightarrow CO\bot AB$

Mà $DA\bot AB\Rightarrow CO//DA$

Chứng minh tương tự ta có $AO//DC$.

$\Rightarrow AOCD$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{AO},\overrightarrow{CD}$ ngược hướng.

Vì hai vectơ $2\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a}+\left( {{x}^{2}}+x-9 \right)\overrightarrow{b}$ cùng nên:

$\overrightarrow{a}+\left( {{x}^{2}}+x-9 \right)\overrightarrow{b}=k\left( 2\overrightarrow{a}-6\overrightarrow{b} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( 2k-1 \right)\overrightarrow{a}+\left( -{{x}^{2}}-x-6k+9 \right)\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2k-1=0 \\ {{x}^{2}}+x+6k-9=0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=\dfrac{1}{2} \\ \left[ \begin{array}{l} x=2 > 0 \\ x=-3 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$