Dạng đồ thị hàm bậc 3

$y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3$ có $2$ cực trị nên phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x-3=m$có tối đa là $3$ nghiệm.

Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1\left( C \right)$ luôn đồng biến trên R nên giao điểm với đường thẳng $y=m$ chỉ tại 1 điểm. Suy ra số nghiệm tối đa của phương trình là 1.

Đồ thị TCĐ $x=-1$ nên loại (I)

$x=0,y=1$ nên loại (II), (IV).

Bảng các dạng đồ thị hàm số bậc ba SGK Giải tích 12 (CB) trang 35.

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đây là đồ thị cảu hàm số bậc 3 và hệ số $a>0$.

Phương pháp:

+ Dựa vào đồ thị hàm số để đưa ra nhận xét và chọn hàm số hợp lý.

Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, có 3 cực trị và nhận trục tung làm trục đối xứng nên đồ thị của hàm số là đồ thị của hàm trùng phương.

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm bậc 3 $y=a{ x ^ 3 }+b{ x ^ 2 }+cx+d$

Từ trái sang phải, đồ thị hàm số đi lên $\Rightarrow a > 0$ $\Rightarrow$ loại phương án $y=-x{{\left( x+1 \right)}^ 2 }$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( -1;0 \right)$ $\Rightarrow$ loại phương án $y=x{{\left( x-1 \right)}^ 2 }$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ $\Rightarrow$ chọn đáp án $y=x{{\left( x+1 \right)}^ 2 }$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ .

Từ trái sang phải đồ thị hàm số đi xuống $\Rightarrow$ hệ số của ${ x ^ 3 }$ nhỏ hơn 0 $\Rightarrow$ loại 2 phương án $y={ x ^ 3 }-3{ x ^ 2 }-1$ và $y={ x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-1$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 2;3 \right)$ $\Rightarrow$ chọn phương án $y=-{ x ^ 3 }+3{ x ^ 2 }-1$

Do hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có hệ số của ${{x}^{3}}$ là $a=1>0$. 
Và có $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {y\left( 0 \right) = 2}\\ {y\left( 2 \right) = - 2} \end{array}} \right.$

Nên 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất chính là giao điểm của hai đường tiệm cận

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và đạt cực tiểu tại $x=2.$

Nhìn hình dạng đồ thị suy ra $a>0$ , đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương nên $d>0$

Vì $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow y={{x}^{3}}-2\in \mathbb{Z}$
Vậy chọn khẳng định “Đồ thị hàm số có vô số điểm có tọa độ nguyên” đúng.

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm bậc 3 $y=a{ x ^ 3 }+b{ x ^ 2 }+cx+d$ $\Rightarrow$ loại phương án $y=\dfrac{3-3x}{1+x}$ và $y=-{ x ^ 4 }-2{ x ^ 2 }+3$.

Từ trái sang phải, đồ thị hàm số đi xuống $\Rightarrow a < 0$ $\Rightarrow$ chọn đáp án là $y=-{ x ^ 3 }-2x+3$.

Do hệ số của ${{x}^{3}}$ âm nên ta loại được Hình 3 và Hình 4.

Dựa vào công thức của hàm số ta có $x=0\Rightarrow y=-1$ nên đáp án là Hình 1.

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm bậc 3 $y=a{ x ^ 3 }+b{ x ^ 2 }+cx+d$

Từ trái sang phải, đồ thị hàm số đi lên $\Rightarrow a > 0$ $\Rightarrow$ loại 2 phương án $y=-{ x ^ 3 }+3x-2$ và $y=-{ x ^ 3 }+4x-3$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;2 \right)$ $\Rightarrow$ chọn đáp án là $y={ x ^ 3 }-3x+2$

Đồ thị có tâm đối xứng là $\left( -1;4 \right)$

Từ đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm trùng phương $y=a{ x ^ 4 }+b{ x ^ 2 }+c$

Từ dáng đồ thị $\Rightarrow a < 0$ $\Rightarrow$ sẽ chọn 1 trong 2 phương án là $y=-{ x ^ 4 }+3{ x ^ 2 }+1$ và $y=-{ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }+1$ .

Mà từ đồ thị ta thấy, hàm số đạt cực trị tại $x=\pm 1$ $\Rightarrow$ chọn đáp án $y=-{ x ^ 4 }+2{ x ^ 2 }+1$ .