Trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Xét $\Delta ADK$ và $\Delta KHA$ có $\left\{ \begin{array}{l} AH=DK \\ AK\,\,\,chung \\ \widehat{AK\text{D}}=\widehat{K\text{A}H} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta A\text{D}K=\Delta KHA\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\text{D}=KH \\ \widehat{DAK}=\widehat{AKH}\Rightarrow A\text{D//}HK \\ \widehat{A\text{D}K}=\widehat{KHA} \end{array} \right.$

Xét tam giác ABD và tam giác CBD có:

AB = BC (giả thiết);

$\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$ (Vì BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ );

Cạnh BD chung

$\Rightarrow \,\,\Delta ABD=\Delta CBD\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,DA=DC\,\,(1)\,\,;\,\widehat{BDA}=\widehat{BDC}$

Từ (1) suy ra D là trung điểm của AC.

Ta có: $\widehat{BDA}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\,\Rightarrow \,2\widehat{BDA}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{BDA}={{90}^{o}}$ $\Rightarrow \,BD\bot AC.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AC.

Ta có: EK là đường trung trực của AB $\Rightarrow \,\,EK\bot AB$ và KA = KB.

EH là đường trung trực của BC $\Rightarrow$ $EH\bot BC$ và HB = HC.

Xét tam giác AEK và tam giác BEK có:

AK = BK; $\widehat{AKE}=\widehat{BKE}={{90}^{o}}$ ; Cạnh EK chung

$\Rightarrow \,\Delta AEK=\Delta BEK\,(c.g.c)\,\Rightarrow \,\,EA=EB.$ (1)

Xét tam giác BEH và tam giác CEH có:

HB = HC; $\widehat{EHB}=\widehat{EHC}={{90}^{o}}$ ; Cạnh EH chung

$\Rightarrow \,\Delta BEH=\Delta CEH\,(c.g.c)$ $\Rightarrow \,EB=EC.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra EA = EB = EC.

Xét $\Delta AM\text{E}$ và $\Delta BMC$ có $\left\{ \begin{array}{l} MC=ME \\ MA=MB \\ \widehat{AM\text{E}}=\widehat{CMB} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AM\text{E}=\Delta BMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} E\text{A}=BC \\ \widehat{MCB}=\widehat{ME\text{A}}\Rightarrow BC\text{//}A\text{E} \end{array} \right.$

Mà EF=FA+EA=FA+BC $\Rightarrow \text{EF} > BC$

Dễ dàng chứng minh được FA=BC mà EA=BC nên A là trung điểm của FE

Xét tam giác BMC và tam giác CNB có:

BM = CN (giả thiết);

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (giả thiết);

Cạnh BC chung

$\Rightarrow \,\Delta MBC=\Delta NCB\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,\widehat{BMC}=\widehat{BNC}\,;\,\,\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\,;\,CM\,=\,BN$ .

Ta có: $CD=OD-OC;\,AB=OB-OA$ .

Mà OC = OA; OD = OB $\Rightarrow$ CD = AB.

Xét tam giác OAD và tam giác OCB có:

$OA=OC\,$ (giả thiết);

$\widehat{O}$ chung;

OB = OD (giả thiết)

$\Rightarrow \,\Delta OAD=\Delta OCB\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,AD=BC\,;\,\,\widehat{OCB}=\widehat{OAD}\,;\,\widehat{ODA}=\widehat{OBC}$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có $\left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{C\text{D}M}$

Mà 2 góc $\widehat{BAM}$ và $\widehat{C\text{D}M}$ có vị trí so le trong nên $B\text{D//}AC$

Xét tam giác AEM và tam giác MDA có:

AE = DM (giả thiết);

$\widehat{EAM}=\widehat{DMA}$ (so le trong do d // DM);

Cạnh AM chung

$\Rightarrow \,\Delta AEM=\Delta MDA\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,\,\widehat{AME}=\widehat{DAM}$ ; $\widehat{AEM}=\widehat{ADM}$ ; EM = AD.

Ta có hai góc $\widehat{AME}$ và $\widehat{DAM}$ là cặp góc so le trong bằng nhau nên AD // EM.

Xét tam giác ABC và tam giác EMN có:

AB = EM ; $\widehat{B}=\widehat{M}={{80}^{o}}$ ; BC = MN

$\Rightarrow \,\,\Delta ABC\,=\Delta EMN\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,\,\widehat{A}=\widehat{E}\,;\,\widehat{C}=\widehat{N}$ .

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}$

$\Rightarrow \,\,\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{o}}-\widehat{B}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}}$

Mà $\widehat{A}-\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{N}={{20}^{o}}$

$\Rightarrow \,\,\,\widehat{C}=\left( {{100}^{o}}-{{20}^{o}} \right):2={{40}^{o}}$

Vậy $\widehat{N}=\widehat{C}={{40}^{o}}$ .

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

$AB=AE$ (giả thiết);

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (Vì AD là tia phân giác của góc BAC);

Cạnh AD chung

$\Rightarrow \,\Delta ABD=\Delta AED\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,BD=DE\,;\,\widehat{ABD}=\widehat{AED}$ ; $\widehat{ADB}=\widehat{ADE}$ .

Vì AD là tia phân giác của $\widehat{xAy}$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ .

Xét tam giác ACD và tam giác ABD có:

AB = AC; $\widehat{CAD}=\widehat{BAD}$ ; Cạnh AD chung

$\Rightarrow \,\Delta ACD=\Delta ABD\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,DC=DB\,;\,\widehat{ADC}=\widehat{ADB}\,;\,\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ .

Ta có tia DA nằm giữa hai tia DC và DB; $\widehat{ADC}=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow$ Tia DA là tia phân giác của $\widehat{CDB}$ .

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ có $\left\{ \begin{array}{l} MB=MC \\ MA=M\text{D} \\ \widehat{AMB}=\widehat{CM\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{ADC}=\widehat{\text{MAB}}$

$\Rightarrow \widehat{CAB}=2\widehat{MAB}={{72}^{o}}$

Do $AD\text{//}BC\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{A\text{D}B}$ mà $AD=BC$ và cạnh $B\text{D}\,$ chung nên $\Delta BC\text{D}=\Delta DAB\left( c-g-c \right)$

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta CEA$ có $\left\{ \begin{array}{l} AB=AC \\ B\text{D}=CE \\ \widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BA\text{D}=\Delta CA\text{E}\left( c-g-c \right)$

Xét $\Delta BE\text{A}$ và $\Delta C\text{D}A$ có $\left\{ \begin{array}{l} \widehat{ABE}=\widehat{AC\text{D}} \\ AB=AC \\ BE=C\text{D} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BE\text{A}=\Delta C\text{D}A\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{E\text{A}B}=\widehat{DAC};\,\,A\text{D}=A\text{E}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta CPN$ có $\left\{ \begin{array}{l} NP=MN \\ AN=CN \\ \widehat{ANM}=\widehat{CNP} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AMN=\Delta CPN\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} MN=NP=\dfrac{1}{2}MP \\ AM=CP \\ \widehat{MAN}=\widehat{NCP}\Rightarrow AM\text{//}CP\Rightarrow AB\text{//}CP \end{array} \right.$

Tương tự ta chứng minh được $MP=BC\Rightarrow BC=2MN$ .

Xét $\Delta SHK$ và $\Delta IHK$ có $\left\{ \begin{array}{l} SH=IH \\ HK\,\,chung \\ \widehat{SHK}=\widehat{IHK} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta SHK=\Delta IHK\left( c-g-c \right)\Rightarrow IK=SK=4cm$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ECM$ có $\left\{ \begin{array}{l} MA=ME \\ MC=MB \\ \widehat{AMB}=\widehat{CME} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ECM\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{MAB}=\widehat{MEC}\Rightarrow AB\text{//}CE \\ AB=CE \end{array} \right.$

Chứng minh tương tự ta có $\Delta AMC=\Delta EMB\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat{CAM}=\widehat{BEM}\Rightarrow BE\text{//}AC \\ AC=BE \end{array} \right.$

(I) Đúng, (II) sai.

Ta có: $AB\bot BC\,$ $\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{90}^{o}}$ .

$EC\bot BC\,\Rightarrow \,\widehat{ECB}={{90}^{o}}$ .

Xét tam giác ABC và tam giác ECB có:

AB = EC; $\widehat{ABC}=\widehat{ECB}={{90}^{o}}$ ; Cạnh BC chung

$\Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta ECB\,(c.g.c)$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DMC$ có $\left\{ \begin{array}{l} BC=CM \\ AC=C\text{D} \\ \widehat{BCA}=\widehat{MC\text{D}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta DMC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{CM\text{D}}$

Xét tam giác ABC và tam giác ACD có:

AB = CD (giả thiết);

$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (so le trong do AB // CD);

Cạnh AC chung

$\Rightarrow \,\Delta ABC=\Delta CDA\,(c.g.c)$ .

Hay $\Delta BAC=\Delta DCA$ , $\Delta CAB=\Delta ACD$ .

Do tam giác ABC có $\hat{B}=\hat{C}\Rightarrow \Delta ABC$ cân nên AB=AC mà BM=CN nên AM=AN.

Xét $\Delta BMC$ và $\Delta CNB$ có $\left\{ \begin{array}{l} \hat{B}=\hat{C} \\ BC\,\,chung \\ BM=NC \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMC=\Delta CNB\left( c.g.c \right)\Rightarrow BN=CM$

Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{A}={{180}^{o}}-2\widehat{C}$

Xét $\Delta BMN$ và $\Delta CNM$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN\,\,chung \\ BM=CN \\ CM=BN \end{array} \right.\Rightarrow \Delta BMN=\Delta CNM\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{MNB}=\widehat{CMN}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta A\text{D}E$ có $\left\{ \begin{array}{l} AB=A\text{D} \\ AC=A\text{E} \\ \widehat{BAC}=\widehat{DA\text{E}} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC=\Delta A\text{D}E\left( c.g.c \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BC=DE \\ \widehat{A\text{ED}}=\widehat{ACB}\Rightarrow DE\text{//}BC \end{array} \right.$

Vậy $\widehat{A\text{ED}}=\widehat{ABC}$ là sai.

Xét $\Delta MNP$ có $\widehat{MNP}+\widehat{MPN}+\widehat{NMP}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{MNP}={{90}^{o}}$

Xét $\Delta MNP$ và $\Delta MQP$ có $\left\{ \begin{array}{l} MN=MQ \\ MP\,\,chung \\ \widehat{NMP}=\widehat{PMQ} \end{array} \right.\Rightarrow \Delta MNP=\Delta MQP\left( c-g-c \right)\Rightarrow \widehat{MQP}=\widehat{MNP}={{90}^{o}}$