Khái niệm nguyên hàm

$\dfrac{F\left( x \right)}{G\left( x \right)}=C$.

$F\left( x \right).G\left( x \right)=C$.

$F\left( x \right)-G\left( x \right)=C$.

$F\left( x \right)=C.G\left( x \right) +C$.

$F\left( x \right)=2x+1$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}$.

Mọi hàm hằng $y=k$ đều có nguyên hàm là $\text{kx}+C$.

$\int{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right) \right]dx=\int{{{f}_{1}}\left( x \right)dx+\int{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}}}$.

$F\left( x \right)=x-1$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)=1$.

$k.F(x)$cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$-F(x)$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$F(x)+f(x)$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

$F(x)+C$ cũng là nguyên hàm của hàm số $f(x)$, với C là 1 hằng số.

$\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}$ với $k\in \mathbb{R}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}}$ với $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

${{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{'}}=f\left( x \right)$ .

$\int{{{x}^{\alpha }}}dx=\dfrac{1}{\alpha +1}{{x}^{\alpha +1}} +C$ với $\alpha \ne -1$ .

$\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx}}$ với mọi hằng số $k$ và với mọi hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}$ với mọi hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\int{f'\left( x \right)}dx=f\left( x \right)+C$ với mọi hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}$ , với mọi hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx}}}$ .

$\int{kf\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx\left( k\ne 0;k\in \mathbb{R} \right)}}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]}dx=\int{f\left( x \right)dx.\int{g\left( x \right)dx}}$ .

$\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx}}}$ .

$\int{k.f\left( x \right)dx=k\int{f\left( x \right)dx,\,\left( k\ne0 \right).}}$

$\int{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx-\int{g\left( x \right)dx.}}}$

$\int{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx+\int{g\left( x \right)dx.}}}$

$\int{f\left( x \right).g\left( x \right)dx=\int{f\left( x \right)dx.\int{g\left( x \right)dx.}}}$

$F'\left( t \right)=f\left( t \right)\Rightarrow F'\left( u\left( x \right) \right)=f\left( u\left( x \right) \right)$

Nếu $F\left( x \right),G\left( x \right)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ thì nguyên hàm của hàm$F\left( x \right)-G\left( x \right)$ có dạng ${ax}+b\left( a\ne 0 \right),a,b$ là các hằng số

$\int{f\left( t \right)dt=F\left( t \right)+C\Rightarrow \int{f\left( u \right)du=F\left( u \right)+C}}$ với $u=u\left( x \right)$

$\int {f\left( t \right)dt = F\left( t \right) + C}$ ${ \Rightarrow \int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} }$

Nếu hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ thì hàm số $F\left( -x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ .

Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ nếu $F'\left( x \right)=f\left( x \right)$ với $\forall x\in K$

Nếu $f\left( x \right)$ liên tục trên $K$ thì nó có nguyên hàm trên $K$ .

Nếu hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$ , hàm số $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ .