Lý thuyết về Phương trình đối với một hàm số lượng giác
Phương trình đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp: Để giải các phương trình lượng giác này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó (có thể nêu hoặc không nêu ký hiệu ẩn phụ)
Ví dụ: Giải phương trình 2sin2x+5sinx−3=0
Đặt sinx=t (với |t|≤1) ta được phương trình 2t2+5t−3=0.
Phương trình này có hai nghiệm là t1=−3,t2=12, trong đó t1 bị loại do không thỏa mãn điều kiện |t1|≤1. Suy ra:
2sin2x+5sinx−3=0
⇔sinx=12⇔sinx=sinπ6⇔[x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: [x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈Z)
Cho phương trình 2(sin4x+cos4x)−cos(π2−2x)=0. Tổng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn [0;3π] là:
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
2(sin4x+cos4x)−cos(π2−2x)=0 ⇔2(1−2sin2x.cos2x)−sin2x=0 ⇔2−sin22x−sin2x=0 ⇔[sin2x=1sin2x=2 ⇒x=π4+kπ(k∈Z) Các nghiệm nằm trong đoạn [0;3π]là π4,5π4,9π4 Vậy tổng các nghiệm là 15π4
Câu 6: Nghiệm phương trình phương trình 1−5sinx+2cos2x=0 là
Câu 11: Phương trình cos3x.tan5x=sin7x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện: cos5x≠0. Khi đó, phương trình đã cho ⇔cos3x.sin5xcos5x=sin7x⇔cos3x.sin5x=cos5x.sin7x⇔12(sin8x+sin2x)=12(sin12x+sin2x)⇔sin8x=sin12x⇔[12x=8x+k2π12x=π−8x+k2π.
Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình tan2x−(√3+1)tanx+√3=0 trong khoảng (0;π2) là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Đk cosx≠0⇔x≠π2+kπ PT⇔(tanx−√3)(tanx−1)=0⇔[tanx=√3=tanπ3tanx=1=tanπ4⇔[x=π3+kπx=π4+kπ ⇒π3;π4∈(0;π2)⇒ tổng các nghiệm cần tìm là 7π12
Câu 13: Tổng các nghiệm của phương trình sin22x+4cos42x−1√2sinxcosx=0 trong khoảng (0;π2) là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: sin2x≠0⇒x≠kπ2 ⇒sin22x+4cos42x−1=0 ⇔1−cos4x2+4(cos4x+12)2−1=0 ⇔1−cos4x2+cos24x+2cos4x+1−1=0⇔2cos24x+3cos4x+1=0 ⇔[cos4x=−1cos4x=−12⇔[cos4x=−1cos4x=−12⇔[x=π4+kπ2x=±π6+kπ2(TM) Vậy có 3 nghiệm thuộc (0;π2):x=π4,x=π6,x=π3
Câu 14: Số nghiệm thuộc khoảng (0;3π) của phương trình cos2x+52cosx+1=0 là
Câu 21: Nghiệm của phương trình 8cos2x=sinx√3cosx−1 là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện:x≠π2+kπ,x≠kπ 8cos2x=sinx√3cosx−1⇔81+tan2x=√3tanx−1⇔√3tanx(1+tan2x)−1−tan2x−8=0⇔√3tan3x−tan2x+√3tanx−9=0⇔tanx=√3⇔x=π3+kπ
Câu 22: Tổng các nghiệm của phương trình tan2x−(√3+1)tanx+√3=0 trong khoảng (0;π2) là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Đk cosx≠0⇔x≠π2+kπ PT⇔(tanx−√3)(tanx−1)=0⇔[tanx=√3=tanπ3tanx=1=tanπ4⇔[x=π3+kπx=π4+kπ ⇒π3;π4∈(0;π2)⇒ tổng các nghiệm cần tìm là 7π12
Câu 23: Phương trình sinx+cosxsinx−cosx=√3 tương đương với phương trình .
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện sinx−cosx≠0 Ta có PT⇔√2sin(x+π4)−√2cos(x+π4)=√3⇔tan(x+π4)=−√3
Câu 24: Nghiệm phương trình 2cos2x−3cosx+1=0 là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Phương trình (1)
⇔[cosx=1cosx=12=cosπ3⇔[x=k2πx=±π3+k2π,k∈
Câu 25: Phương trình cotx−tanx+4sin2x=2sin2x có bao nhiêu họ nghiệm
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện sin2x≠0⇔x≠kπ2,k∈Z Ta có:PT⇔cosxsinx−sinxcosx+4sin2x=2sin2x⇔cos2x−sin2xsinx.cosx+4sin2x=2sin2x⇔2cos2xsin2x+4sin2x=2sin2x⇔cos2x+2sin22x=1⇔2cos22x−cos2x−1=0⇔[cos2x=1cos2x=−12(∗)
Ta thấy cos2x=1 không thoả mãn điều kiện.
Do đó (*)⇔cos2x=−12⇔2x=2π3+k2π⇔x=±π3+kπk∈Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Câu 26: Tổng các nghiệm phương trình tanxsinx−sinxcotx=√22 trong khoảng (0;2π) là
A
B
C
D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: sinx≠0,cosx≠0 Ta có tanxsinx−sinxcotx=√22⇔1cosx−sin2xcosx=√22 cosx=√22=cosπ4⇔x=±π4+k2π Khi đó chỉ có 2 nghiệm ∈(0;2π),x=π4,x=7π4