Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương trình đối với một hàm số lượng giác

4.2/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Lý thuyết về Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương trình đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp: Để giải các phương trình lượng giác này, ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ đó (có thể nêu hoặc không nêu ký hiệu ẩn phụ)

Ví dụ: Giải phương trình 2sin2x+5sinx3=0

Đặt sinx=t (với |t|1) ta được phương trình 2t2+5t3=0.

Phương trình này có hai nghiệm là t1=3,t2=12, trong đó t1 bị loại do không thỏa mãn điều kiện |t1|1. Suy ra:

2sin2x+5sinx3=0

sinx=12sinx=sinπ6[x=π6+k2πx=5π6+k2π(kZ)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: [x=π6+k2πx=5π6+k2π(kZ)

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1:

Cho phương trình: sin6x+cos6x=cos4x. Khẳng định nào sau đây là đúng:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình tương đương 134sin22x=12sin22xsin2x=0 x=kπ2(kZ)
Các nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm trên vòng tròn lượng giác

Câu 2: Nghiệm phương trình cos2x3cosx4=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
PT2cos2x13cosx4=02cos2x3cosx5=0[cosx=1cosx=52x=π+k2π

Câu 3: Nghiệm phương trình tanxsinxsinxcotx=22

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: sinx0,cosx0, Ta có tanxsinxsinxcotx=221cosxsin2xcosx=22
cosx=22=cosπ4x=±π4+k2π

Câu 4: Số họ nghiệm của phương trình: cos(4x+2)+3sin(2x+1)=2

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
PT12sin2(2x+1)+3sin(2x+1)=22sin2(2x+1)3sin(2x+1)+1=0

[sin(2x+1)=1sin(2x+1)=12[2x+1=π2+kπ2x+1=π6+k2π2x+1=5π6+k2π

Câu 5:

Cho phương trình 2(sin4x+cos4x)cos(π22x)=0. Tổng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn [0;3π] là:

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

2(sin4x+cos4x)cos(π22x)=0
2(12sin2x.cos2x)sin2x=0
2sin22xsin2x=0
[sin2x=1sin2x=2
x=π4+kπ(kZ)
Các nghiệm nằm trong đoạn [0;3π]π4,5π4,9π4
Vậy tổng các nghiệm là 15π4

Câu 6: Nghiệm phương trình phương trình 15sinx+2cos2x=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
15sinx+2(1sin2x)=035sinx2sin2x=0[sinx=3sinx=12=sinπ6[x=π6+k2πx=5π6+k2π

Câu 7: Với x[π4;π2] thì tổng các nghiệm phương trình 5sin2x4sinx1=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có 
x[π4;π2]22sinx1PT(5sinx+1)(sinx1)=0[sinx=15(L)sinx=1x=π2+kπ
x=π2 là nghiệm phương trình.

Câu 8: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình sinxcos2x =0 trên đường tròn lượng giác bằng

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do sinx=cos(π2x) nên phương trình cos2x=cos(π2x)

[2x=π2x+k2π2x=π2+x+k2π[x=π6+k2π3x=π2+k2π , kZ .

Vậy có 3 điểm biểu diễn nghiệm.

Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình cos3xsin3x=1 trong khoảng (0;π)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT12cos3x12sin3x=1sin(π43x)=12.

sin(π43x)=sinπ4[π43x=π4+k2ππ43x=ππ4+k2π[x=k2π3x=π6k2π3

0<2k3<132<k<0k=1x=2π30<162k3<1k=1x=π6+2π3

Câu 10: Nghiệm phương trình 34cos2x=sinx(1+2sinx)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
PT34(1sin2x)=sinx+2sin2x2sin2xsinx1=0[sinx=1sinx=12=sin(π6)[x=π2+k2πx=π6+k2πx=7π6+k2π

Câu 11: Phương trình cos3x.tan5x=sin7x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện: cos5x0. Khi đó, phương trình đã cho cos3x.sin5xcos5x=sin7x cos3x.sin5x=cos5x.sin7x 12(sin8x+sin2x)=12(sin12x+sin2x) sin8x=sin12x [12x=8x+k2π12x=π8x+k2π.

Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình tan2x(3+1)tanx+3=0 trong khoảng (0;π2)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đk cosx0xπ2+kπ
PT(tanx3)(tanx1)=0[tanx=3=tanπ3tanx=1=tanπ4[x=π3+kπx=π4+kπ
π3;π4(0;π2) tổng các nghiệm cần tìm là 7π12

Câu 13: Tổng các nghiệm của phương trình sin22x+4cos42x12sinxcosx=0 trong khoảng (0;π2)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: sin2x0xkπ2
sin22x+4cos42x1=0
1cos4x2+4(cos4x+12)21=0
1cos4x2+cos24x+2cos4x+11=02cos24x+3cos4x+1=0
[cos4x=1cos4x=12[cos4x=1cos4x=12[x=π4+kπ2x=±π6+kπ2(TM)
Vậy có 3 nghiệm thuộc (0;π2):x=π4,x=π6,x=π3

Câu 14: Số nghiệm thuộc khoảng (0;3π) của phương trình cos2x+52cosx+1=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT (2cos+1)(cosx+2)=0cosx=12x=±2π3+k2π(kZ).

x(0;3π)[0<2π3+k2π<3π0<2π3+k2π<3π[13<k<76k{0;1}13<k<116k=1.

Câu 15: Với x[π4;π2] thì tổng các nghiệm phương trình 5sin2x4sinx1=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT(5sinx+1)(sinx1)=0[sinx=15(L)sinx=1x=π2+2kπ
x=π2

Câu 16: Nghiệm phương trình 34cos2x=sinx(1+2sinx) là

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT34(1sin2x)=sinx+2sin2x2sin2xsinx1=0[sinx=1sinx=12=sin(π6)[x=π2+k2πx=π6+k2πx=7π6+k2π

Câu 17: Nghiệm của phương trình 4sinx+6cosx=1cosx

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện:xπ2+kπ

4sinxcosx+6=1+tan2xtan2x4tanx5=0[tanx=1tanx=5[x=π4+kπx=arctan5+kπ

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình cos42x+6cos22x=2516 trong khoảng (0;π)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có PT(cos22x14)(cos22x+254)=0

[cos2x=12cos2x=12[x=±π6+kπx=±π3+kπ
Vậy các nghiệm thuộc khoảng (0;π) là: x=π6,x=π3.

Câu 19: Nghiệm phương trình cos2x3cosx4=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

PT2cos2x13cosx4=02cos2x3cosx5=0[cosx=1cosx=52x=π+k2π

Câu 20: Nghiệm phương trình phương trình 15sinx+2cos2x=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
15sinx+2(1sin2x)=035sinx2sin2x=0[sinx=3sinx=12=sinπ6[x=π6+k2πx=5π6+k2π

Câu 21: Nghiệm của phương trình 8cos2x=sinx3cosx1

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện:xπ2+kπ,xkπ
8cos2x=sinx3cosx181+tan2x=3tanx13tanx(1+tan2x)1tan2x8=03tan3xtan2x+3tanx9=0tanx=3x=π3+kπ

Câu 22: Tổng các nghiệm của phương trình tan2x(3+1)tanx+3=0 trong khoảng (0;π2)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Đk cosx0xπ2+kπ
PT(tanx3)(tanx1)=0[tanx=3=tanπ3tanx=1=tanπ4[x=π3+kπx=π4+kπ
π3;π4(0;π2) tổng các nghiệm cần tìm là 7π12

Câu 23: Phương trình sinx+cosxsinxcosx=3 tương đương với phương trình .

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Điều kiện sinxcosx0 Ta có PT2sin(x+π4)2cos(x+π4)=3tan(x+π4)=3

Câu 24: Nghiệm phương trình 2cos2x3cosx+1=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Phương trình (1)
[cosx=1cosx=12=cosπ3[x=k2πx=±π3+k2π,k

Câu 25: Phương trình cotxtanx+4sin2x=2sin2x có bao nhiêu họ nghiệm

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Điều kiện sin2x0xkπ2,kZ Ta có:PTcosxsinxsinxcosx+4sin2x=2sin2xcos2xsin2xsinx.cosx+4sin2x=2sin2x2cos2xsin2x+4sin2x=2sin2xcos2x+2sin22x=12cos22xcos2x1=0[cos2x=1cos2x=12()

Ta thấy cos2x=1 không thoả mãn điều kiện.
Do đó (*)cos2x=122x=2π3+k2πx=±π3+kπkZ
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Câu 26: Tổng các nghiệm phương trình tanxsinxsinxcotx=22 trong khoảng (0;2π)

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
ĐK: sinx0,cosx0
Ta có tanxsinxsinxcotx=221cosxsin2xcosx=22
cosx=22=cosπ4x=±π4+k2π
Khi đó chỉ có 2 nghiệm (0;2π),x=π4,x=7π4

Câu 27: Nghiệm phương trình 2cos2x3cosx+1=0

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết
Phương trình (1)
[cosx=1cosx=12=cosπ3[x=k2πx=±π3+k2π,kZ