Sự tương giao của các đồ thị

Bài sau

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 11 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Sự tương giao của các đồ thị

MỤC LỤC

Lý thuyết

Bài tập

Lý thuyết về Sự tương giao của các đồ thị

Sự tương giao của các đồ thị

Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( {{C}_{1}} \right)$ và hàm số $y=g\left( x \right)$ có đồ thị là $\left( {{C}_{2}} \right)$

Hoành độ giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$

Giả sử phương trình trên có các nghiệm là ${{x}_{0}},{{x}_{1}},....$

Khi đó , các giao điểm của $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ là ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right),{{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};f\left( x \right) \right),....$

Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+1}$ luôn luôn cắt đường thẳng $\left( d \right):y=m$ với mọi giá trị của $m$

Giải

$\left( C \right)$ luôn cắt $\left( d \right)$ nếu phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1}=m-x$ (1) có nghiệm với mọi $m$

Ta có $\displaystyle \dfrac{x-1}{x+1}=m-x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-1=\left( x+1 \right)\left( m-x \right) \\ x\ne -1 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2+\left( 2-m \right)x-m-1=0\,\,\,\,(2)\\x\ne -1\end{array} \right.$

Xét phương trình (2) , ta có $\Delta ={{m}^{2}}+8>0$ với mọi giá trị của $m$ và $x=-1$ không thỏa mãn (2) nên phương trình luôn có hai nghiệm khác -1 . Vậy $\left( C \right)$ và $\left( d \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm

Bài sau

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{2+x}{3-2x}$ và đường thẳng $y=1$ . Số giao điểm của hai đồ thị là:

A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$0$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\dfrac{2+x}{3-2x}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne \dfrac{3}{2} \\ & 3-2x=x+2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

Hai đồ thị giao nhau tại 1 điểm.

Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$ và trục hoành là

A
$0$ .
B
$1$ .
C
$3$ .
D
$2$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có

${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\Rightarrow$ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm.

Câu 3: Cho hàm số $y=\dfrac{1-2x}{x+2}$ và đường thẳng $y=x-1$ . Tổng hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

A
$-6$
B
$-3$
C
$-4$
D
$1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & \dfrac{1-2x}{x+2}=x-1 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne -2 \\ & { x ^ 2 }+x-2=1-2x \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & { x _ 1 }=\dfrac{-3+\sqrt{21}} 2 \\ & { x _ 2 }=\dfrac{-3-\sqrt{21}} 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow { x _ 1 }+{ x _ 2 }=-3 \\ \end{array}$

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-x$ và trục $Ox$ là

A $4$
B $1$
C $3$
D $2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm

${{x}^{3}}-x=0$ có ba nghiệm phân biệt nên số giao điểm của đồ thị hàm số

$y={{x}^{3}}-x$ và trục

$Ox$ là

$3$ .

Câu 5: Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3$ cắt trục tung tại điểm $M$ khi đó tung độ điểm M bằng

A
$1$ .
B
$-3$ .
C
$3$ .
D
$-1$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Do giao cắt với trục tung nên $x=0$ nên thay trực tiếp vào ta được $y={{0}^{4}}+{{2.0}^{2}}-3=-3$ .

Câu 6:
Cho hàm số $y=(x-2)({{x}^{2}}+1)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A
$(C)$ không cắt trục hoành.
B
$(C)$ cắt trục hoành tại một điểm.
C
$(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm
D
$(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) Với trục hoành là $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0\Leftrightarrow x=2$ Vậy (C) cắt trục hoành tại một điểm

Câu 7: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

A
$0\le m\le 1$
B
$m>0$
C
$m<1$
D
$0 < m < 1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Nhìn trên đồ thị ta thấy phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi $0 < m < 1$ .

Câu 8: Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( c\ne 0,ad-bc\ne 0 \right)$ với hai trục tọa độ là:

A
$2$
B
$3$
C
$1$
D
$4$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất cắt hai trục tọa độ nhiều nhất tại hai điểm.

Câu 9: Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{1-x}$ và đường thẳng $y=2x-3$ . Tổng khoảng cách từ các giao điểm của hai đồ thị đến các trục tọa độ bằng

A
$2\sqrt{2} +2$
B
$2\sqrt{2} -2$
C
$-2\sqrt{2} +2$
D
$\sqrt{2} +2$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} & \dfrac{x-2}{1-x}=2x-3 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} & x\ne 1 \\ & -2{ x ^ 2 }+5x-3=x-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & x=\dfrac{2+\sqrt{2} } 2 \Rightarrow y=\sqrt{2} -1 \\ & x=\dfrac{2-\sqrt{2} } 2 \Rightarrow y=-\sqrt{2} -1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\Rightarrow$ Tổng khoảng cách từ các giao điểm đến các trục tọa độ bằng

$\left| { x _ 1 } \right|+\left| { x _ 2 } \right|+\left| { y _ 1 } \right|+\left| { y _ 2 } \right|=2\sqrt{2} +2$

Câu 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt?

A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Từ BBT ta thấy ycbt $\Leftrightarrow 0 < m < 3$ Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới

Sự tương giao của các đồ thị

Lý thuyết về Sự tương giao của các đồ thị

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Cho hàm số y=2+x3−2x y=\dfrac{2+x}{3-2x} và đường thẳng y=1 y=1 . Số giao điểm của hai đồ thị là:

Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số y=(x2−1)2y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}} và trục hoành là

Câu 3: Cho hàm số y=1−2xx+2 y=\dfrac{1-2x}{x+2} và đường thẳng y=x−1 y=x-1 . Tổng hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3−xy={{x}^{3}}-x và trục OxOx là

Câu 5: Đồ thị hàm số y=x4+2x2−3y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 cắt trục tung tại điểm MM khi đó tung độ điểm M bằng

Câu 6: Cho hàm số y=(x−2)(x2+1)y=(x-2)({{x}^{2}}+1) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Câu 7: Cho hàm số y=−x4+2x2y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình −x4+2x2=m-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m có bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 8: Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y=ax+bcx+d(c≠0,ad−bc≠0)y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( c\ne 0,ad-bc\ne 0 \right) với hai trục tọa độ là:

Câu 9: Cho hàm số y=x−21−x y=\dfrac{x-2}{1-x} và đường thẳng y=2x−3 y=2x-3 . Tổng khoảng cách từ các giao điểm của hai đồ thị đến các trục tọa độ bằng

Câu 10: Cho hàm số y=f(x)y=f\left( x \right) có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mm để đường thẳng y=my=m cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt?

Câu 1: Cho hàm số $y=\dfrac{2+x}{3-2x}$ và đường thẳng $y=1$ . Số giao điểm của hai đồ thị là:

Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}$ và trục hoành là

Câu 3: Cho hàm số $y=\dfrac{1-2x}{x+2}$ và đường thẳng $y=x-1$ . Tổng hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-x$ và trục $Ox$ là

Câu 5: Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3$ cắt trục tung tại điểm $M$ khi đó tung độ điểm M bằng

Câu 6:
Cho hàm số $y=(x-2)({{x}^{2}}+1)$ có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Câu 7: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

Câu 8: Số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( c\ne 0,ad-bc\ne 0 \right)$ với hai trục tọa độ là:

Câu 9: Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{1-x}$ và đường thẳng $y=2x-3$ . Tổng khoảng cách từ các giao điểm của hai đồ thị đến các trục tọa độ bằng

Câu 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt?