Một số dấu hiệu nhận biết đổi biến

Một số dạng đổi biến thường gặp

$\begin{align}&+) I=\int{f{{(ax+b)}^{n}}.x\,\text{d}x\text{ }\xrightarrow{PP}\text{ }t=ax+b\Rightarrow \text{d}t=a\,\text{d}x} \\ & +)I=\int{{{\left( \frac{{{x}^{n}}}{a{{x}^{n+1}}+1} \right)}^{m}}\text{d}x\text{ }\xrightarrow{PP}\text{ }t={{x}^{n+1}}+1\Rightarrow \text{d}t=(n+1){{x}^{n}}\text{d}x} \\ & +)I=\int{f{{(a{{x}^{2}}+b)}^{n}}.x\,\text{d}x\text{ }\xrightarrow{PP}\text{ }t=a{{x}^{2}}+b}\Rightarrow \text{d}t=2ax\,\text{d}x \\ \end{align}$ với $m,\text{ }n\in \mathbb{Z}.$

$+)I=\int{\sqrt[n]{f(x)}.{f}'(x)\,\text{d}x}$$\xrightarrow{PP}$ Đặt $t=\sqrt[n]{f(x)}\Rightarrow {{t}^{n}}=f(x)\Rightarrow n{{t}^{n-1}}\,\text{d}t={f}'(x)\,\text{d}x.$

$+)\left[ \begin{align} & I=\int{f(\ln x)\frac{1}{x}\text{d}x} \\ & I=\int{f(a+b\ln x)\frac{1}{x}\text{d}x} \\ \end{align} \right.$$\xrightarrow{PP}$ Đặt $\left[ \begin{align} & t=\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{x}\text{d}x \\ & t=a+b\ln x\Rightarrow \text{d}t=\frac{b}{x}\text{d}x \\ \end{align} \right.\cdot$

+)$I=\int{f({{\text{e}}^{x}}).{{\text{e}}^{x}}\text{d}x}$

 Đặt $\left[ \begin{align}& t={{\text{e}}^{x}}\Rightarrow \text{d}t={{\text{e}}^{x}}\text{d}x \\ & t=a+b{{\text{e}}^{x}}\Rightarrow \text{d}t=b{{\text{e}}^{x}}\text{d}x \\ \end{align} \right.\cdot$

+)$I=\int{f(\cos x).\sin x\,\text{d}x}$

 Đặt $\left[ \begin{align}& t=\cos x\Rightarrow \text{d}t=-\sin x\,\text{d}x \\ & t=a+b\cos x\Rightarrow \text{d}t=-b\sin x\,\text{d}x \\\end{align} \right.\cdot$

+)$I=\int{f(\sin x).\cos x\,\text{d}x}$

 Đặt $\left[ \begin{align}& t=\sin x\Rightarrow \text{d}t=\cos x\,\text{d}x \\ & t=a+b\sin x\Rightarrow \text{d}t=b\cos x\,\text{d}x \\\end{align} \right.\cdot$

+)$I=\int{f(\tan x)\frac{\text{d}x}{{{\cos }^{2}}x}}$

 Đặt $t=\tan x\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x=(1+{{\tan }^{2}}x)\,\text{d}x.$

+)$I=\int{f(\cot x)\frac{\text{d}x}{{{\sin }^{2}}x}}$

 Đặt $t=\cot x\Rightarrow \text{d}t=-\frac{\text{d}x}{{{\sin }^{2}}x}=-(1+{{\cot }^{2}}x)\,\text{d}x.$

+)$I=\int{f({{\sin }^{2}}x;{{\cos }^{2}}x).\sin 2x\,\text{d}x}$

 Đặt $\left[ \begin{align}& t={{\sin }^{2}}x\Rightarrow \text{d}t=\sin 2x\,\text{d}x \\ & t={{\cos }^{2}}x\Rightarrow \text{d}t=-\sin 2x\,\text{d}x \\ \end{align} \right.\cdot$

+)$I=\int{f(\sin x\pm \cos x).(\sin x\mp \cos x)\text{d}x}$$\xrightarrow{PP}$ Đặt $t=\sin x\pm \cos x.$

 Lưu ý:   Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là $x.$

Một số phép biến đổi lượng giác hóa

Giả sử ta cần tính $\displaystyle\int{f(x)dx}$. Ta xét một số trường hợp đặc biệt như sau:

1. Trong $f(x)$ có chứa biểu thức $\sqrt{a^2 - x^2}$ ta đặt $x = a\sin{t}$ hoặc $x = a\cos{t}$.
2. Trong $f(x)$ có chứa biểu thức $a^2 + x^2$ ta đặt $x = a\tan{t}$ hoặc $x = a\cot{t}$.
3. Trong $f(x)$ có chứa biểu thức $\sqrt{x^2 - a^2}$ ta đặt $x = \dfrac{a}{\sin{t}}$ hoặc $x = \dfrac{a}{\cos{t}}$.
4.  Nếu xuất hiện $\sqrt{\left( x-a \right)\left( b-x \right)}\left( a<b \right)$, đặt $x=a+\left( b-a \right){{\sin }^{2}}t$, điều kiện $t\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]$

5.  Nếu xuất hiện $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$ đặt $x=a\cos 2t$, điều kiện $t\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)$