Tổng của n số hạng

Nếu ${ u _ 0 }=0\Rightarrow { u _ n }=0,\forall n\in N$

Nếu ${ u _ 0 }\ne 0$ . Bằng quy nạp ta chứng minh được ${ u _ 0 }\ne 0,\forall n\in N$

Khi đó: $\dfrac{1}{{}{ u _ n }}=\dfrac{2{ u _{n-1}}+1}{{ u _{n-1}}}=2+\dfrac{1}{{}{ u _{n-1}}}$

Đặt ${ v _ n }=\dfrac{1}{{}{ u _ n }}\Rightarrow { v _ n }=2+{ v _{n-1}}\Rightarrow ({ v _ n })$ là cấp số cộng có công sai $d=2$

$\begin{array}{l}  \Rightarrow {v_n} = {v_0} + nd = \frac{1}{{{u_0}}} + 2n\\  \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{{v_n}}} = \frac{{{u_0}}}{{2n{u_0} + 1}}\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 1 \end{array} \right. \end{array}$

Đổi $18cm=0,18m$

Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là ${ h _ n }$

Ta có: ${ h _ n }=0,5+n.0,18(m)$

Vì cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc nên ta có chiều cao của sàn tầng hai so với mặt sân là ${ h _{21}}$

Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là:

${ h _{21}}=0,5+21.0,18=4,28(m)$

Ta có: ${ u _ 1 }+{ u _ 2 }+{ u _ 3 }+{ u _ 4 }=360\Leftrightarrow 30+30+d+30+2d+30+3d=360\Leftrightarrow d=40$ .

Vâỵ ${ u _ 2 }=70; { u _ 3 }=110; {{ u }_ 4 }=150$ .

 

Theo giả thiết ta có: $A,B,C,D$ là một cấp số cộng và $C=5A$

Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: $d$

Theo tính chất của cấp số cộng ta có: $\left\{ \begin{align} & B=A+d \\ & C=A+2d \\ & D=A+3d \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow A+2d=5A\Leftrightarrow 4A-2d=0$ (1)

Ta lại có: $A+B+C+D={{360}^{\circ }}$

$\Leftrightarrow 4A+6d={{360}^{\circ }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ: $\left\{ \begin{align} & 4A-2d=0 \\ & 4A+6d={{360}^{\circ }} \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & d={{45}^{\circ }} \\ & A={{22,5}^{\circ }}={{22}^{\circ }}30' \\ \end{align} \right.$

$B=A+d={{22}^{\circ }}30\prime +{{45}^{\circ }}={{67}^{\circ }}30\prime$

$C=A+2d={{22}^{\circ }}30\prime +{{2.45}^{\circ }}={{112}^{\circ }}30\prime$

$D=A+3d={{22}^{\circ }}30\prime +{{3.45}^{\circ }}={{157}^{\circ }}30'$

Vậy $A={{22}^{\circ }}30\prime ;B={{67}^{\circ }}30\prime ;C={{112}^{\circ }}30\prime ;D={{157}^{\circ }}30\prime$

$\Rightarrow A + C = {135^0}.$

 

Đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

$S=1+2+3+...+12$

Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có ${ u _ 1 }=1,{ u _{12}}=12$

Do đó áp dụng công thức tính tổng. Ta có:

${ S _{12}}=\dfrac{(1+12).12} 2 =78$

Vậy đồng hồ đánh $78$ tiếng chuông

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} A + B + C = {180^0}\\ A + C = 2B\\ C = 5A \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} C = 5A\\ B = 3A\\ 9A = {180^0} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = {20^0}\\ B = {60^0}\\ C = {100^0} \end{array} \right.$

 

Ta có: ${ u _{n+1}}=\dfrac{1}{2} \left( n+1 \right)+1=\dfrac{1}{2} n+1+\dfrac{1}{2} ={ u _ n }+\dfrac{1}{2} \forall n\in {{\mathbb N }^ * }$

$\Rightarrow$ Đáp án ${ u _{n+1}}-{ u _ n }=\dfrac{1}{2}$ là đúng.

 

Áp dụng công thức ${ u _{15}}={ u _ 1 }+(n-1)d={ u _ 1 }+(15-1).(-4)={ u _ 1 }-56$

$\Leftrightarrow { u _ 1 }-{ u _{15}}=56$ (1)

$\begin{array}{l} {S_n} = \dfrac{{({u_1} + {u_n})n}}{2} \Rightarrow {S_{15}} = \dfrac{{({u_1} + {u_{15}}).15}}{2}\\  \Leftrightarrow \dfrac{{({u_1} + {u_{15}}).15}}{2} = 120\\  \Leftrightarrow {u_1} + {u_{15}} = 16(2) \end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} - {u_{15}} = 56\\ {u_1} + {u_{15}} = 16 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 36\\ {u_{15}} =  - 20 \end{array} \right.$

Cấp số cộng $3,8,13,....$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=3$ công sai $d=5.$
Ta đặt $x={{u}_{n}}$
$\begin{array}{l} 3+8+13+... +{{u}_{n}}=408242\Rightarrow 408242=n. {{u}_{1}}+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}. d \\ \Rightarrow 408242=3n+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}. 5\Leftrightarrow 5{{n}^{2}}+n-816484=0\Rightarrow n=404 \\ \Rightarrow x={{u}_{404}}=2018 \end{array}$

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: ${ S _ n }=\dfrac{n\left[ 2{ u _ 1 }+\left( n-1 \right)d \right]} 2 =\dfrac{n\left( { u _ 1 }+{ u _ n } \right)} 2 , n\in {{\mathbb N }^ * }$

Tính được: ${ S _ 5 }=-\dfrac{5}{4}$

Đặt $a={{u}_{1}}$ thì
$\begin{array}{l} u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}={{\left( a+d \right)}^{2}}+{{\left( a+2d \right)}^{2}}+{{\left( a+3d \right)}^{2}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3{{a}^{2}}-36a+126=3{{\left( a-6 \right)}^{2}}+18\ge 18,\forall a. \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi $a-6=0\Leftrightarrow a=6$ . Suy ra ${{u}_{1}}=6$

Ta có công sai của cấp số cộng là $d=\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{15}}}{3-15}=\dfrac{84}{-12}=-7$
Tổng của $2017$ số hạng đầu tiên của dãy là.
${{S}_{2017}}=2017. {{u}_{1}}+\dfrac{2017\left( 2017-1 \right)}{2}. \left( -7 \right)=-13983861.$

Gọi ba số hạng của CSC là $a-d;a;a+d$ với $d$ là công sai

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} a - d + a + a + d =  - 9\\ {(a - d)^2} + {a^2} + {(a + d)^2} = 29 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a =  - 3\\ d =  \pm 1 \end{array} \right.$ .

Vậy chọn $-4;-3;-2$

Cách 2 thử ngược

 

Ta có. ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=1$ và ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8\Rightarrow {{u}_{2}}=7$.
Vậy $d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6$.

Ta có $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có công sai $d=3$ nên số hạng đầu là ${{u}_{1}}={{u}_{3}}-2d=-8.$ Tổng của $100$ số hạng đầu tiên là. $S=100. \left( -8 \right)+\dfrac{100\left( 100-1 \right)3}{2}=14050$.

Từ giả thiết bài toán, ta có: $\left\{ \begin{align} & { u _ 1 }+4d+3({ u _ 1 }+2d)-({ u _ 1 }+d)=-21 \\ & 3({ u _ 1 }+6d)-2({ u _ 1 }+3d)=-34 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d =  - 7\\ {u_1} + 12d =  - 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ d =  - 3 \end{array} \right.$

Ta có: $S={ u _ 4 }+{ u _ 5 }+...+{ u _{30}}=\dfrac{27} 2 \left[ 2{ u _ 4 }+26d \right]$ $=27\left( { u _ 1 }+16d \right)=-1242$ .

Chú ý: Ta có thể tính $S$ theo cách sau:

$S={ S _{30}}-{ S _ 3 }=15\left( 2{ u _ 1 }+29d \right)-\dfrac{3}{2} \left( 2{ u _ 1 }+2d \right)=-1242$ .

 

Giả sử bốn số hạng đó là $a-3x;a-x;a+x;a+3x$ với công sai là $d=2x$ .Khi đó, ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \left( a-3x \right)+\left( a-x \right)+\left( a+x \right)+\left( a+3x \right)=20 \\ {{\left( a-3x \right)}^ 2 }+{{\left( a-x \right)}^ 2 }+{{\left( a+x \right)}^ 2 }+{{\left( a+3x \right)}^ 2 }=120 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4a=20 \\ 4{ a ^ 2 }+20{ x ^ 2 }=120 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=5 \\ x=\pm 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy bốn số cần tìm là $2,4,6,8$ .

 

Gọi $d$ là công sai của cấp số đã cho

Ta có: ${{S}_{100}}=50\left( 2{{u}_{1}}+99d \right)=24850\Rightarrow d=\dfrac{497-2{{u}_{1}}}{99}=5$

$\Rightarrow 5S=\dfrac{5}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{5}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+...+\dfrac{5}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{{{u}_{2}}-{{u}_{1}}}{{{u}_{1}}{{u}_{2}}}+\dfrac{{{u}_{3}}-{{u}_{2}}}{{{u}_{2}}{{u}_{3}}}+...+\dfrac{{{u}_{50}}-{{u}_{49}}}{{{u}_{49}}{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{2}}}+\dfrac{1}{{{u}_{2}}}-\dfrac{1}{{{u}_{3}}}+...+\dfrac{1}{{{u}_{48}}}-\dfrac{1}{{{u}_{49}}}+\dfrac{1}{{{u}_{49}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}$

$=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{50}}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}-\dfrac{1}{{{u}_{1}}+49d}=\dfrac{245}{246}$

$\Rightarrow S=\dfrac{49}{246}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\ {u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = 10\\ {u_1} + 4d = 13 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow { u _ 1 }=1,d=3$

Ta có ${ u _ 5 },{ u _ 7 },...,{ u _{2011}}$ lập thành CSC với công sai $d=6$ và có $\frac{{2011 - 5}}{2} + 1 = 1004$ số hạng nên $S=\dfrac{1004} 2 \left( 2{ u _ 5 }+1003.6 \right)=3034088$ .

 

${{u}_{n}}$ là cấp số cộng nên ta có : ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right).d\Rightarrow {{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=12$
${{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\dfrac{n(n-1)d}{2}\Rightarrow {{S}_{21}}= 21.{{u}_{1}}+\dfrac{21.21.d}{2}=504$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d = 12\\ 42{u_1} + 420d = 1008 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 4\\ d = 2 \end{array} \right.$

Từ công thức truy hồi của dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ , ta có $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=-3$
Do đó tổng của $125$ số hạng đầu tiên là. $S=\dfrac{125\left[ 2{{u}_{1}}+\left( 125-1 \right)d \right]}{2}=16875$

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có
$\left\{ \begin{array}{l} {{u}_{1}}+d=2017 \\ {{u}_{1}}+4d=1945 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{u}_{1}}=2041 \\ d=-24 \end{array} \right.$

$\Rightarrow {{S}_{20}}=20. 2041+\dfrac{20. \left( 20-1 \right). \left( -24 \right)}{2}=36260$.

${{u}_{n}}$ là cấp số cộng nên ta có : ${{u}_{n}}= {{u}_{1}}+ \left( n-1 \right).d$ ${{u}_{4}}+ {{u}_{97}}= 101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+ 3d +{{u}_{1}}+96d=101$

$\Leftrightarrow {{u}_{1}}~+ {{u}_{1}}+99d =101\Leftrightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{100}}=101$
Có : ${{S}_{n}}=\dfrac{({{u}_{1}}+{{u}_{n}}).n}{2}$ $\Rightarrow {{S}_{100}}=\dfrac{101.100}{2}=5050$

Gọi số hạng đầu và công sai của CSC $\left( {{u}_{n}} \right)$ là ${{u}_{1}},d,$ ta có $\left\{ \begin{array}{l} & {{u}_{1}}+4d=-15 \\ & {{u}_{1}}+19d=60 \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} & {{u}_{1}}=-35 \\ & d=5 \end{array} \right..$

Suy ra ${{S}_{20}}=\dfrac{20}{2}\left( -35+60 \right)=250.$

 

 

Ta có

$\begin{array}{l} {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}}\\ = \left( {7n - 2{n^2}} \right) - \left( {7\left( {n - 1} \right) - 2{{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)\\ = 7n - 2{n^2} - 7n + 7 + 2{n^2} - 4n + 2\\ = 9 - 4n\\ \Rightarrow {u_1} = 5;{u_2} = 1 \Rightarrow d = - 4\\ \Rightarrow - 143 = 5 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 4} \right) \Rightarrow n - 1 = 37 \Rightarrow n = 38 \end{array}$

Cách 2: Ta có

$\begin{array}{l} {u_n} = {S_n} - {S_{n - 1}} = 9 - 4n\\  \Rightarrow  - 143 = 9 - 4n \Leftrightarrow n = \dfrac{{152}}{4} = 38 \end{array}$

Ta có. ${{u}_{1}}+2{{u}_{5}}=0\Leftrightarrow 3{{u}_{1}}+8d=0$
${{S}_{4}}=14\Rightarrow \dfrac{4\left( 2{{u}_{1}}+3d \right)}{2}=14\Leftrightarrow 2{{u}_{1}}+3d=7$
Từ đây ta có hệ phương trình. $\left\{ \begin{array}{l} 3{{u}_{1}}+8d=0 \\ 2{{u}_{1}}+3d=7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{u}_{1}}=8 \\ d=-3 \end{array} \right.$
Tổng ${{S}_{50}}=50. 8-\dfrac{3. 50. 49}{2}=-3275$