Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0;y0) với y0=f(x0).
Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm tại x0. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0;y0) có phương trình là
y=f′(x0)(x−x0)+y0=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
Trong đó:
f′(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
x0 là hoành độ tiếp điểm.
y0=f(x0) là tung độ của tiếp điểm.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+2x2−x+1 tại điểm M(1;3).
Ta có: f′(x)=3x2+4x−1⇒f′(1)=6
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1;3) là:
y=6(x−1)+3=6x−3.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1;3) là y=6x−3
Tiếp điểm có tọa độ (1;−2)
y′=(2x+1)(x−2)−(x2+x)(x−2)2=x2−4x−2(x−2)2
⇒y′(1)=−5
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=−5x+3
Ta có f′(−2)=−11
Tập xác định:D=R.
Ta có x0=32⇒y0=1.
Đạo hàm của hàm số y′=6x2−6x.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M0(32;y0) là k=92.
Phương trình của tiếp tuyến là y=92x−234
Tập xác định:D=R∖{π2+kπ,k∈Z}.
Đạo hàm: f′(x)=1cos2x⇒f′(π4)=2.
Gọi tọa độ tiếp điểm là (x0;y0)
Ta có: y0=−2⇔3x0+21−x0=−2 ⇔{x0≠1x0=−4⇔x0=−4
y′=5(1−x)2⇒y′(−4)=15
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=15x−65
f′(x)=3x2+4x−15⇒f′(2)=5
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:y=5(x−2)−2⇔y=5x−12
Ta có y=5⇔x4−3x2+1=5⇔[x=2x=−2.
Có y′=4x3−6x⇒{y′(2)=20y′(−2)=−20.
Suy ra PTTT thỏa mãn đề bài là [y=20(x−2)+5y=−20(x+2)+5⇔[y=20x−35y=−20x−35.
Qua một điểm bất kì nằm ngoài đồ thị, kẻ được vô số tiếp tuyến tới đồ thị đó là khẳng định sai.
Tập xác định:D=R∖{−1}.
Đạo hàm: y′=2(x+1)2.
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo=0⇒y′o=2.
Ta có: y′=3−12x2. Tại điểm A∈(C)có hoành độ: x0=0⇒y0=0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k=y′(0)=3 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm Alà : y=k(x−x0)+y0⇔y=3x.
Ta có phương trrình tiếp tuyến tại M(0;1) là y=f′(0)(x−0)+1=x+1
Ta có: x0=4⇒y0=√2y′=2x−52√x2−5x+6⇒y′(4)=3√24
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=3√24x−2√2
y′=cosx , k=y′(π3)=cos(π3)=12.
Ta có: y′=−12x√2x. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k=y′(12)=−1 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y=k(x−x0)+y0⇔2x+2y=3.
f′(x)=3x2+4x−15⇒f′(2)=5
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:y=5(x−2)−2⇔y=5x−12
TXĐ: D=R∖{−dc}
Ta có y′=ad−bc(cx+d)2
Để tiếp tuyến song song với trục hoành thì y′=0(VL).
Vậy không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục hoành
Ta có y′=−4(x−1)2⇒y′(−1)=−1,y(−1)=−2.
Suy ra PTTT tại điểm có hoành độ
x=−1 là y=−(x+1)−2⇔y=−x−3.
Ta có: f′(x)=3x2−4x. Tại điểm Acó hoành độ x0=−2⇒y0=f(x0)=−18
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k=f′(−2)=20 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y=k(x−x0)+y0⇔y=20x+22.
Ta có: x0=4⇒y0=√2
y′=2x−52√x2−5x+6⇒y′(4)=3√24
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=3√24x−2√2
Tiếp tuyến tại điểm M(a;b) của đồ thị có dạng y=f′(a).(x−a)+b=x−a+b.
Ta có y′=x3+x⇒y′(−1)=−2.
Ta có: y′=x2−2x(x−1)2. Tại điểm A∈(C)có hoành độ: x0=3⇒y0=72
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k=y′(3)=34 .
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y=k(x−x0)+y0⇔y=34x+54
f′(x)=−16cosx3 ⇒f′(π)=−16cosπ3=−112
f′(x)=2(x+2)2
Ta có x0=−1; y0=−1; f′(x0)=2
Phương trình tiếp tuyến y=2x+1.