Tính chất ba đường phân giác của tam giác

$\Delta ABC$ có BE là đường phân giác của góc B, AE là đường phân giác ngoài tại A nên CE là đường phân giác góc ngoài tại C.

Do đó: ${{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{C}}_{2}}=\dfrac{{{150}^{0}}}{2}={{75}^{0}}.$

Vậy $\widehat{BCE}={{30}^{0}}+{{75}^{0}}={{105}^{0}}.$

Kẻ $\,OE\bot AB$ $(E\in AB)$ .

Vì O là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC nên $OE=OD$ . (1)

Xét tam giác AEO vuông tại E có OA là cạnh huyền

$\Rightarrow \,\,OE < OA$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OD < OA.$

Vì các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của góc A

$\Rightarrow {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}.$

$DE//AB\Rightarrow {{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{D}}_{1}}\Rightarrow {{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{D}}_{1}}.$

$\Rightarrow \Delta ADI$ cân tại D $\Rightarrow AD=DI$ (1)

Chứng minh tương tự: $BE=EI.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AD+BE=DI+EI=DE.$

Vậy khẳng định sai cần chọn là: " $AD=EI$ ".

Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ta có

$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AB=\dfrac{BD.AC}{CD}=\dfrac{9.10}{8}=\dfrac{45}{4}$ cm.

Xét tam giác BOC có $\widehat{BOC}={{135}^{o}}$ $\Rightarrow \,\,{{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{1}}={{180}^{o}}-{{135}^{o}}={{45}^{o}}$

Vì BO là tia phân giác của góc B, CO là tia phân giác của góc C nên ta có:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2{{\widehat{B}}_{1}}+2{{\widehat{C}}_{1}}=2\left( {{\widehat{B}}_{1}}+{{\widehat{C}}_{1}} \right)={{2.45}^{o}}={{90}^{o}}$ .

$\Rightarrow \,\Delta ABC$ vuông tại A.

Vì $\widehat{BAC}={{120}^{o}}$ , AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên: ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}={{\widehat{A}}_{3}}={{\widehat{A}}_{4}}={{60}^{o}}$ .

- Xét tam giác ABD có AC là tia phân giác ngoài tại đỉnh A, tia BE là tia phân giác trọng của góc B, hai tia phân giác này cắt nhau tại E nên DE là tia phân giác ngoài tại đỉnh D.

- Xét tam giác ADC, chứng minh tương tự ta có DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh D.

Từ đó suy ra $DE\bot DF$ tại D $\Rightarrow \,\,\Delta DEF$ vuông tại D.

Theo định lí Py-ta-go ta có: $EF=\sqrt{D{{F}^{2}}+D{{E}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10\,(cm).$

Áp dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ta có:

$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow CD=\dfrac{BD.AC}{AB}=\dfrac{4.9}{6}=6$ cm.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$AB=AC,\,\,{{\widehat{B}}_{1}}={{\widehat{C}}_{1}}$ (Vì $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ), $\widehat{A}$ chung.

$\Rightarrow$ $\Delta ABD=\Delta ACE\left( g.c.g \right)$

$\Rightarrow BD=CE\,;\,\,\widehat{AEC}=\widehat{ADB}$ .

$\widehat{IKL}+\widehat{ILK}={{180}^{0}}-\widehat{I}={{180}^{0}}-{{62}^{0}}={{118}^{0}}.$

Vì KO, LO lần lượt là tia phân giác của $\widehat{IKL}$ và $\widehat{ILK}$ nên

$\begin{array}{l} {{\widehat{K}}_{1}}+{{\widehat{L}}_{1}}=\dfrac{\widehat{K}+\widehat{L}}{2}={{59}^{0}}. \\ \Rightarrow \widehat{KOL}={{180}^{0}}-\left( {{\widehat{K}}_{1}}+{{\widehat{L}}_{1}} \right)={{180}^{0}}-{{59}^{0}}={{121}^{0}}. \end{array}$

Do $I$ nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác nên $I$ thuộc trung tuyến kẻ từ $A$ .

$\Delta ABC$ cân tại $A$ mà $G$ là trọng tâm nên $G$ thuộc trung tuyến kẻ từ $A$ .

$\Rightarrow$ $A,\text{ }G,\text{ }I$ thẳng hàng.

Vì các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ .

Ta có: $\widehat{BIH}={{90}^{0}}-{{\widehat{B}}_{1}}={{90}^{0}}-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$ (1)

$\widehat{CID}={{\widehat{A}}_{2}}+{{\widehat{C}}_{2}}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}={{90}^{0}}-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BIH}=\widehat{CID}.$

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AM$ vừa là đường trung tuyến, vừa là phân giác kẻ từ đỉnh $A$ của $\Delta ABC\Rightarrow K$ cách đều các cạnh của $\Delta ABC$ .

K là giao của 3 đường phân giác của tam giác $\Delta ABC$

$CE$ là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ .

Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của $\Delta ABC.$

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{A}={{100}^{0}},\widehat{B}={{50}^{0}}\Rightarrow \widehat{C}={{30}^{0}}\Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}}={{15}^{0}}.$

Ta có: $CO\bot CI$ (hai tia phân giác của hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat{OCI}={{90}^{0}}.$

Khi đó: $\widehat{BCO}={{\widehat{C}}_{1}}+\widehat{OCI}={{15}^{0}}+{{90}^{0}}={{105}^{0}}$ .

$\widehat{CAD}$ phụ với góc ${{\widehat{A}}_{1}},\widehat{ADC}$ phụ với góc ${{\widehat{A}}_{2}}$ mà ${{\widehat{A}}_{1}}={{\widehat{A}}_{2}}$ nên $\widehat{CAD}=\widehat{ADC}.$

Suy ra $\Delta ACD$ cân tại C. (1)

Tam giác AHC có các đường phân giác AI và HI cắt nhau ở I nên CI là đường phân giác của góc C. (2)

Từ (1) và (2) suy ra CI đi qua trung điểm của cạnh đáy AD.