Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Ta có $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right|=\left| \overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} \right|$ $\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI} \right|=\left| \overrightarrow{BA} \right|\Leftrightarrow 2MI=BA\Leftrightarrow MI=\dfrac{BA}{2}$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$.

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Khi đó, $C$ là trung điểm của $MI$ . Ta có

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AC}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AI}+2\overrightarrow{AC} =-\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+2\overrightarrow{AC} =-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC} .$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MI} \end{array}$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $AC$

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Thay vào ta được : $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=5\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{MG} \right|=5\Leftrightarrow MG=\dfrac{5}{3}$ , hay tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$ và bán kính bằng $\dfrac{5}{3}$

$\Rightarrow$ Có vô số điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ta có

$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC} \right)+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MK}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow$ $M$ là trung điểm của $KB$

$\Leftrightarrow$ $M$ là tâm của hình bình hành $BIKJ$.

Kẻ $MK//BP\,(K\in AC)$

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $K$ là trung điểm của $CP$

Vì $MK//BP\Rightarrow MK//NP$ mà $N$ là trung điểm của $AM$ nên suy ra $P$ là trung điểm của $AK$

Do đó: $AP=PK=KC$ .

Vậy $\overrightarrow{AC}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CP}\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}$