Tính chất ba đường trung tuyến

Tam giác $ABC$ đều nên $AM=BN=CQ$ và $AG=\dfrac{2}{3}AM;\,\,\,CG=\dfrac{2}{3}CQ;\,\,\,BG=\dfrac{2}{3}BN$ nên $GA=GB=GC$ và $GN=GM=GQ$ ; $GM=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}CG$ .

$GN=\dfrac{1}{3}BN$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $BG=\dfrac{2}{3}BM\,;\,CG=\dfrac{2}{3}CN$ .

Mà $BM=CN$ nên $BG=CG$ và $NG=MG.$

Khi đó: $\Delta GBN=\Delta GCM\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \,\,BN=CM$ $\Rightarrow \,\,AB=AC$ $\Rightarrow \,\Delta ABC$ cân tại A.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG là đường trung tuyến, tức là AG đi qua trung điểm của BC.

Mà $\Delta ABC$ cân tại A nên $AG\bot BC$ .

Do $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $AG=\dfrac{2}{3}AM\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}AG$

Mà $G$ là trung điểm của $A{G}'$ nên $AG=GG'$

$GM=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}GG'\Rightarrow \,M$ là trung điểm đoạn $GG'$ .

$\Rightarrow MG'=\dfrac{1}{2}GG'=\dfrac{1}{2}AG$ .

Do $\Delta DEF$ có $DE=DF\Rightarrow \Delta DEF$ cân tại $D$

Mà $I$ là trung điểm của $EF$ nên $IE=IF=\dfrac{1}{2}EF=3$ cm.

Xét tam giác $\Delta DEI$ và tam giác $\Delta DFI$ có

$DE=DF$ , $DI$ chung, $EI=FI$

$\Rightarrow \Delta DEI=\Delta DFI$ (c-c-c)

Ta có $\widehat{DIE}=\widehat{DIF}$ ( góc tương ứng)

Mà hai góc kề bù nên $\widehat{DIE}=\widehat{DIF}={{90}^{o}}$

Xét $\Delta DEI$ có $DI\bot \,EF$ : $D{{I}^{2}}+I{{E}^{2}}=D{{E}^{2}}$ (định lí pytago)

$\Rightarrow DI=\sqrt{D{{E}^{2}}-I{{E}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ cm.

Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=CM=\dfrac{1}{2}BC=\,4cm$

Xét tam giác $\Delta ABM$ và tam giác $\Delta ACM$ có

$AB=AC$ , $AM$ chung, $BM=CM$

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta ACM$ (c-c-c)

Ta có $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ ( góc tương ứng)

Mà hai góc kề bù nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}={{90}^{o}}$

Áp dụng định lí pytago trong tam giác $\Delta ACM$

$\begin{array}{l} A{{C}^{2}}=C{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}\, \\ \Rightarrow AM\,=\sqrt{A{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3cm. \end{array}$

Ta có: $\Delta DEI=\Delta DFI\left( c.c.c \right)\Rightarrow \widehat{DIE}=\widehat{\text{DIF}}.$

Mà $\widehat{DIE}+\widehat{\text{DIF}}={{180}^{0}}$ nên $\widehat{DIE}=\widehat{\text{DIF}}={{90}^{0}}.$

$IE=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{10}{2}=5\left( cm \right).$

$\Delta DIE$ vuông tại I nên theo định lí Py-ta-go ta có: $D{{I}^{2}}=D{{E}^{2}}-I{{E}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=169-25=144={{12}^{2}}.$

Vậy $DI=12cm.$

Xét $\Delta GBC$ có: $GB+GC > BC$ (bất đẳng thức tam giác).

Mặt khác: $GB=\dfrac{2}{3}BN,GC=\dfrac{2}{3}CP$ (tính chất trọng tâm $\Delta ABC$ ).

Từ đó, ta có: $\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP > BC\Leftrightarrow BN+CP > \dfrac{3}{2}BC.$

Vì G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $BG=\dfrac{2}{3}BD\,;\,CG=\dfrac{2}{3}CE$ .

Mà $BD < CE$ nên $BG < CG\Rightarrow {{\widehat{C}}_{1}} < {{\widehat{B}}_{1}}.$

Vậy $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}.$

Xét $\Delta ABD$ có trung tuyến BC, M là điểm trên BC và $MB=\dfrac{2}{3}BC$ (do $BM=2CM$ )

$\Rightarrow$ M là trọng tâm của $\Delta ABD$ .

$\Rightarrow$ M thuộc trung tuyến AN.

$\Rightarrow$ Ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Tam giác DEF với ba trung tuyến DM, EN, FP và trọng tâm G, ta có:

$GD=2GM$ ; $GN=\dfrac{1}{3}EN\,;\,GP=\dfrac{1}{2}GF$ ; $DM=\dfrac{3}{2}GD.$

Do đó (1) và (4) đúng.

Trong $\Delta DEF:$ DH là đường trung tuyến, mà G là trọng tâm nên $\dfrac{GH}{DH}=\dfrac{1}{3}.$

Gọi G là giao điểm của BD và CE, ta có $BG=\dfrac{2}{3}BD,CG=\dfrac{2}{3}CE.$

Do $BD=CE$ nên $BG=CG,GD=GE.$

$\Delta BGE=\Delta CGD\left( c.g.c \right)\Rightarrow BE=CD.$

Ta lại có: $BE=\dfrac{1}{2}AB,CD=\dfrac{1}{2}AC$ nên $AB=AC.$

Ta có: $CM=BM=2IM$ (Vì I là trung điểm của BM).

$\Rightarrow \,CM=\dfrac{2}{3}CI$ .

Xét $\Delta ACE,$ ta có CI là đường trung tuyến và $CM=\dfrac{2}{3}CI$

$\Rightarrow$ M là trọng tâm của tam giác $ACE$ .

Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, đường trung tuyến AM.

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho $MD=MA.$

Ta có: $AM=\dfrac{1}{2}AD.$ (1)

Dễ thấy: $\Delta BMD=\Delta CMA\left( c.g.c \right)\Rightarrow BD=AC,{{\widehat{B}}_{1}}=\widehat{C}$ , do đó $BD//AC.$

Ta lại có: $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$ nên $\widehat{ABD}={{90}^{0}}.$

Xét $\Delta CAB$ và $\Delta DBA$ có:

Cạnh AB chung, $\widehat{CAB}=\widehat{DBA}={{90}^{0}},AC=BD$

$\Rightarrow$ $\Delta CAB=\Delta DBA$ $\Rightarrow$ $BC=AD.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AM=\dfrac{1}{2}BC.$