Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Lý thuyết về Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Sự biến thiên
Khi a>0 , hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-\dfrac{b}{2a} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( -\dfrac{b}{2a};+\infty \right)$và có giá trị nhỏ nhất là$-\dfrac{\Delta }{4a}$.
Khi$x=-\dfrac{b}{2a}$ a<0 hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-\dfrac{b}{2a} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( -\dfrac{b}{2a};+\infty \right)$và có giá trị lớn nhất là $-\dfrac{\Delta }{4a}$khi $x=-\dfrac{b}{2a}$
Bảng biến thiên :
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Cho hàm số $ y=f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-4x+12,\,\,\,\,\,\,\left( m > 0 \right) $ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A
- B
- C
- D
Ta có $ m > 0 $ và $ -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{m} $ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $ \left( -\infty ;\dfrac{2}{m} \right) $ và đồng biến trên khoảng $ \left( \dfrac{2}{m};+\infty \right) $ .
Câu 2: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $ \left( -\infty ;0 \right)? $
- A
- B
- C
- D
Xét $ y=\pi {{x}^{2}}-2018 $ , ta có $ -\dfrac{b}{2a}=0 $ và có $ a=\pi > 0 $ nên hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( 0;+\infty \right) $ và nghịch biến trên khoảng $ \left( -\infty ;0 \right) $ .
Câu 3: Cho hàm số $ y=f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-4x+2 $ . Khi đó,
- A
- B
- C
- D
Ta có $ a=-1 < 0 $ và $ -\dfrac{b}{2a}=-2 $ nên hàm số đồng biến trên $ \left( -\infty ;-2 \right) $ và nghịch biến trên $ \left( -2;+\infty \right) $ . Khi đó, hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-2 \right) $.
Câu 4: Cho hàm số $ f\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+1 $ . Khi đó,
- A
- B
- C
- D
Do $ a=1 > 0 $ và $ -\dfrac{b}{2\text{a}}=3 $ nên hàm số nghịch biến trên $ \left( -\infty ;3 \right) $ và đồng biến trên $ \left( 3;+\infty \right) $ .
Câu 5: Cho hàm số $ y=-{{x}^{2}}+4x+1. $ Khẳng định nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c $ với $ a < 0 $ nghịch biến trên khoảng $ \left( -\dfrac{b}{2a};+\infty \right) $ , đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-\dfrac{b}{2a} \right) $ .
Áp dụng: Ta có $ -\dfrac{b}{2a}=2. $ Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $ \left( 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;2 \right). $
Khẳng định (I) đúng; (II) sai.
Khẳng định (III) đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;2 \right) $ thì đồng biến trên khoảng con $ \left( -\infty ;-1 \right) $
Khẳng định (IV) đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng $ \left( 2;+\infty \right) $ thì nghịch biến trên khoảng con $ \left( 3;+\infty \right). $
Câu 6: Cho hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c\text{ }\left( a > 0 \right) $ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A
- B
- C
- D
Khẳng định "Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt" là sai
Ví dụ trường hợp đồ thị có đỉnh nằm phía trên trục hoành thì khi đó đồ thị hàm số không cắt trục hoành. (hoặc xét phương trình hoành độ giao điểm $ a{{x}^{2}}+bx+c=0 $ , phương trình này không phải lúc nào cũng có hai nghiệm).
Câu 7: Cho hàm số $ y=-\pi {{x}^{2}}-2\pi x-1 $. Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A
- B
- C
- D
Hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c $ với $ a < 0 $ nghịch biến trên khoảng $ \left( -\dfrac{b}{2a};+\infty \right) $ , đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-\dfrac{b}{2a} \right) $ .
Áp dụng:
Ta có $ -\dfrac{b}{2a}=-1 $ . Do đó, hàm số $ y=-\pi {{x}^{2}}-2\pi x-1 $ đồng biến trên khoảng $ \left( -\infty ;-1 \right) $ và nghịch biến trên khoảng $ \left( -1;+\infty \right). $
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới