Phương trình đối xứng với sinsin và cos.cos.
Dạng: a(sinx+cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0a(sinx+cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0 (1)
hoặc: a(sinx−cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0a(sinx−cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0 (2)
Với a,b≠0a,b≠0.
Phương pháp:
Đặt sinx+cosx=t (−√2≤t≤√2)⇒sinxcosx=t2−12sinx+cosx=t (−√2≤t≤√2)⇒sinxcosx=t2−12 (đối với phương trình (1))
hoặc sinx−cosx=t (−√2≤t≤√2)⇒sinxcosx=1−t22sinx−cosx=t (−√2≤t≤√2)⇒sinxcosx=1−t22 (đối với phương trình (2))
Ví dụ: Giải phương trình:
1+sin3x+cos3x=32sin2x (1)1+sin3x+cos3x=32sin2x (1)
Giải:
(1)⇔1+(sinx+cosx)(sin2x−sinxcosx+cos2x)=3sinxcosx⇔1+(sinx+cosx)(1−sinxcosx)−3sinxcosx=0 (2)
Đặt: sinx+cosx=t (−√2≤t≤√2)⇒sinxcosx=t2−12
(2)⇔1+t(1−t2−12)−3t2−12=0⇔t3+3t2−3t−5=0⇔[t=−1t=−1−√6<−√2(L)t=−1+√6>√2(L)
⇒sinx+cosx=−1⇔cos(x−π4)=−1√2=cos3π4⇔[x=π+k2πx=−π2+k2π(k∈Z)
Vậy phương trình có nghiệm [x=π+k2πx=−π2+k2π (k∈Z)
2cos2x+cosx−cos3x+sinxcos2x=m(sinx+cosx)(1)⇔2(cosx−sinx)(cosx+sinx)+cosxsin2x+sinxcos2x=m(sinx+cosx)⇔(sinx+cosx)(2cosx−2sinx+sinxcosx)=m(sinx+cosx)⇔[sinx+cosx=02cosx−2sinx+sinxcosx=m(2)
Với sinx+cosx=0 ⇔x=3π4+kπ ⇒ Không có nghiệm thuộc [0;π2]
Để (1) có nghiệm thuộc [0;π2] thì pt (2) phải có nghiệm thuộc [0;π2]
Đặt
cosx−sinx=tt=√2cos(x+π4)x∈[0;π2]⇒x+π4∈[π4;3π4]⇒cos(x+π4)∈[−1√2;1√2]⇒t∈[−1;1]
Khi đó sinx+cosx=1−t22
Phương trình (2) trở thành
2t+1−t22=m⇔−t2+4t+1=2m
Kẻ bảng biến thiên của hàm số f(t)=−t2+4t+1 , ta suy ra
PT có nghiệm t∈[−1;1]
⇔−4≤2m≤4⇔−2≤m≤2