Phương trình đối xứng với sin và cos

Phương trình đối xứng với sin và cos

4.3/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 20 Aug 2022

Lưu về Facebook:
Hình minh họa Phương trình đối xứng với sin và cos

Lý thuyết về Phương trình đối xứng với sin và cos

Phương trình đối xứng với sinsincos.cos.

Dạng: a(sinx+cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0a(sinx+cosx)k+b(sinxcosx)m+c=0 (1)

hoặc: a(sinxcosx)k+b(sinxcosx)m+c=0a(sinxcosx)k+b(sinxcosx)m+c=0 (2)

Với a,b0a,b0.

Phương pháp:

Đặt sinx+cosx=t (2t2)sinxcosx=t212sinx+cosx=t (2t2)sinxcosx=t212 (đối với phương trình (1))

hoặc sinxcosx=t (2t2)sinxcosx=1t22sinxcosx=t (2t2)sinxcosx=1t22 (đối với phương trình (2))

Ví dụ: Giải phương trình:

1+sin3x+cos3x=32sin2x (1)1+sin3x+cos3x=32sin2x (1)

Giải:

(1)1+(sinx+cosx)(sin2xsinxcosx+cos2x)=3sinxcosx1+(sinx+cosx)(1sinxcosx)3sinxcosx=0 (2)

Đặt: sinx+cosx=t (2t2)sinxcosx=t212

(2)1+t(1t212)3t212=0t3+3t23t5=0[t=1t=16<2(L)t=1+6>2(L)

sinx+cosx=1cos(xπ4)=12=cos3π4[x=π+k2πx=π2+k2π(kZ)

Vậy phương trình có nghiệm [x=π+k2πx=π2+k2π (kZ)

 

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: 2cos2x+cosxcos3x+sinxcos2x=m(sinx+cosx) Tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;π2] . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn?

  • A
  • B
  • C
  • D
Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

2cos2x+cosxcos3x+sinxcos2x=m(sinx+cosx)(1)2(cosxsinx)(cosx+sinx)+cosxsin2x+sinxcos2x=m(sinx+cosx)(sinx+cosx)(2cosx2sinx+sinxcosx)=m(sinx+cosx)[sinx+cosx=02cosx2sinx+sinxcosx=m(2)

Với sinx+cosx=0 x=3π4+kπ Không có nghiệm thuộc [0;π2]

Để (1) có nghiệm thuộc [0;π2] thì pt (2) phải có nghiệm thuộc [0;π2]

Đặt 

cosxsinx=tt=2cos(x+π4)x[0;π2]x+π4[π4;3π4]cos(x+π4)[12;12]t[1;1]

Khi đó sinx+cosx=1t22

Phương trình (2) trở thành

2t+1t22=mt2+4t+1=2m

Kẻ bảng biến thiên của hàm số f(t)=t2+4t+1 , ta suy ra

PT có nghiệm t[1;1]

42m42m2