Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

4.8/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 19 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

MỤC LỤC

Lý thuyết về Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐUỜNG THẲNG
1/ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $Δ:ax+by+c=0$ . Khoảng cách từ điểm $M(x_M;y_M)$ đến $Δ$ :
$d\left( M;\Delta \right)=\dfrac{\left| a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c \right|}{\sqrt[{}]{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$
2/ Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng $Δ:ax+by+c=0$ và điểm $M(x_M;y_M)$ . Nếu M’ là hình chiếu (vuông góc) của M trên Δ, ta có
$\overrightarrow{M'M}=k\overrightarrow{n}$ trong đó $k=\dfrac{a{{x}_{M}}+b{{y}_{M}}+c}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Ta có kết quả sau:
Cho đường thẳng $Δ: ax + bx + c = 0$ và điểm $M(x_M;y_M), N(x_N;y_N)$ không nằm trên $Δ$ . Khi đó
Hai điểm $M, N$ nằm cùng phía đối với $Δ$ khi và chỉ khi
$(ax_M + by_M + c)(ax_N + by_N + c) > 0$
Hai điểm $M, N$ nằm khác phía đối với $Δ$ khi và chỉ khi
$(ax_M + by_M + c)(ax_N + by_N + c) < 0$
Ví dụ
Cho tam giác $ABC; A=(74;3), B=(1;2), C=(−4;3)$ . Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$
Giải: Dễ thấy các đường thẳng $AB$ VÀ $AC$ có phương trình
$AB: 4x -3y + 2 = 0$ và $AC : y – 3 = 0$
Các đường phân giác ngoài của góc A có phương trình
hoặc
Hay : $4x +2y -13 =0$ (đường phân giác $d_1$ )
$4x – 8y +17 =0$ (đương phân giác $d_2$ )
Do hai điểm $B, C$ nằm cùng phía đối với đường phân giác ngoài và nằm khác phía đối với đường phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của $B , C$ đối với một trong hai đường , chẳng hạn $d_2$ . Thay toạ độ của $B ,C$ lần lượt vào vế trái
của $d_2$ . Ta được
$4 – 16 + 17 = 5 > 0$ và $-16 – 24 +17 = -23 < 0$ tức là $B,C$ nằm khác phía đối với $d_2$
Vậy phương trình đường phân giác trong của góc $A$ là
$d_2:4x−8y+17=0$

Bài tập tự luyện có đáp án

Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\,{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ và ${{\Delta }_{2}}:\,{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ được xác định theo công thức

A
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}$ .
B
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$ .
C
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{{{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$ .
D
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có:
$\cos \left( {{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}} \right)=\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{1}},\,{{\overrightarrow{n}}_{2}} \right) \right|=\dfrac{\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$ .
Với ${{\overrightarrow{n}}_{1}},\,{{\overrightarrow{n}}_{2}}$ lần lượt là các vecto pháp tuyến của hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}$ .

Câu 2: Khoảng cách từ điểm $B(5;-1)$ đến đường thẳng $d:3x+2y+13=0$ là:

A
$\dfrac{\sqrt{13}}{2}.$
B
$2\sqrt{13}.$
C
$2.$
D
$\dfrac{28}{\sqrt{13}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$d\left( B,d \right)=\dfrac{\left| 3.5-2.1+13 \right|}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$ .

Câu 3: Khoảng cách từ điểm $M\left( 0;1 \right)$ đến đường thẳng $\Delta :5x-12y-1=0$ là :

A
$1$ .
B
$\sqrt{13}$ .
C
$3$ .
D
$\dfrac{11}{13}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có : $d\left( M,\Delta \right);\dfrac{\left| 5.0-12.1-1 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{\left( -12 \right)}^{2}}}}=1$ .

Câu 4: Khoảng cách từ $A\left( 3;1 \right)$ đến đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} & x=1+t \\ & y=3-2t \end{array} \right.$ gần với số nào sau đây ?

A
1
B
0,95.
C
0,85.
D
0,9.

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Phương trình tổng quát của $d:2x+y-5=0$

Khoảng cách từ điểm $A\left( 3;1 \right)$ đến đường thẳng $\left( d \right)$ là $d\left( A;d \right)=\dfrac{\left| 2.3+1-5 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Câu 5: Cho tam giác có $A B=2, A C=3, \widehat{B A C}=120^{\circ}$ . Độ dài $BC$ bằng

A
$\sqrt{7}$
B
$4$
C
$\sqrt{10}$
D
$\sqrt{19}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos A}=\sqrt{19}$ .

Câu 6: Khoảng cách từ $M\left( 3\,;\,2 \right)$ đến đường thẳng $\Delta :x+2y-7=0$ là

A
$3$ .
B
$2$ .
C
$\text{1}$ .
D
$0$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $d\left( M\,;\,\Delta \right)=\dfrac{\left| \left( 3 \right)+2\left( 2 \right)-7 \right|}{\sqrt[{}]{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=0$

Câu 7: Khoảng cách từ điểm $A\left( 1;3 \right)$ đến đường thẳng $3x+y+4=0$ là:

A
$\dfrac{5}{2}$
B
$\sqrt{10}$
C
$1$
D
$2\sqrt{10}$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$d\left( A,\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.1+3+4 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{10}$ .

Câu 8: Khoảng cách từ điểm $M\left( 15;1 \right)$ đến đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x=2+3t \\ y=t \\ \end{matrix} \right.$ là:

A
$\dfrac{1}{\sqrt{10}}.$
B
$\sqrt{10}.$
C
$\sqrt{5}.$
D
$\dfrac{16}{\sqrt{5}}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$d:x-3y-2=0\Rightarrow d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 15-3.1-2 \right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ .

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-1;2), và đường thẳng d: $2x-3y+1=0$ . Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) là:

A
$\sqrt{13}$ .
B
$7\sqrt{13}$ .
C
7.
D
$\dfrac{7\sqrt{13}}{13}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có: $d(M;d)=\dfrac{|2(-1)-3.2+1|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\dfrac{7}{\sqrt{13}}=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}$ .

Câu 10: Khoảng cách từ điểm $M\left( 2;0 \right)$ đến đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x=1+3t \\ y=2+4t \\ \end{matrix} \right.$ là:

A
$2.$
B
$\dfrac{2}{5}.$
C
$\dfrac{10}{\sqrt{5}}.$
D
$\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Đường thẳng d có phương trình tổng quát $d:4x-3y+2=0\Rightarrow d\left( M,d \right)=\dfrac{\left| 4.2-3.0+2 \right|}{5}=2$

Câu 11: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , khoảng cách từ điểm $M\left( 2;\,-1 \right)$ đến đường thẳng $\Delta :\,3x-4y-12=0$ bằng

A
$-\dfrac{2}{5}$ .
B
$2$ .
C
$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ .
D
$\dfrac{2}{5}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Ta có $d\left( M,\,\Delta \right)=\dfrac{\left| 3.2-4.\left( -1 \right)-12 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}}=\dfrac{2}{5}$ .

Câu 12: Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $d:\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{8}=1$ là:

A
$6.$
B
$\dfrac{1}{14}.$
C
$4,8$
D
$\dfrac{1}{10}.$

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

$d:8x+6y-48=0\Rightarrow d\left( O,d \right)=\dfrac{\left| -48 \right|}{100}=4,8$ .

Câu 13: Trong mặt phẳng $Oxy$ , khoảng cách từ điểm $M\left( 2;\,-3 \right)$ đến đường thẳng $\Delta :2x+3y-7=0$ là

A
$\dfrac{12}{\sqrt{13}}$ .
B
$\dfrac{5}{\sqrt{13}}$ .
C
$\dfrac{12}{13}$ .
D
$\dfrac{5}{13}$ .

Bấm vào đây để xem đáp án chi tiết

Khoảng cách cần tìm là
$d\left( M,\Delta \right)=\dfrac{\left| 2.2+3.\left( -3 \right)-7 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}$ .

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới