Trong mặt phẳng phức, gọi N, M, A, B theo thức tự là điểm biểu diễn cá

Trong mặt phẳng phức, gọi N, M, A, B theo thức tự là điểm biểu diễn các số: $\Large z=x+y i, z=X+Y i=\dfrac{z+1}{z-1} ; 1 ;-1$. Tìm tập hợp điểm M khi N chạy trên đường tròn $\Large (x-1)^{2}+y^{2}=1$

• A.

  Đường tròn tâm $\Large I(2+\sqrt{2} ; 0)$, bán kính $\Large R=\sqrt{5+4 \sqrt{2}}$

• B.

  Đường tròn tâm $\Large i(0;1)$, bán kính R=1

• C.

  Trục tung

• D.

  Trục hoành

Ta có: $\Large Z=X+Y i=\dfrac{z+1}{z-1}$ $ = \dfrac{{x + yi + 1}}{{x + yi - 1}} = \dfrac{{(x + yi + 1).(x + yi - 1)}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1 - 2yi}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}$ $\Rightarrow X=\dfrac{x^{2}+y^{2}-1}{(x-1)^{2}+y^{2}} ; Y=\dfrac{-2 y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$

Vì N chạy trên đường tròn: $\Large (x-1)^{2}+y^{2}=1$ nên ta có $\Large (x-1)^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow X=0$

Vậy tập hợp điểm M là trục tung