Trong không gian $\Large Oxyz$, cho đường thẳng $\Large d:\left\{\begi

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho đường thẳng $\Large d:\left\{\begin{align}&x=4-3t\\&y=3+4t\\&z=0\\\end{align}\right.$. Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d. Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên đường thẳng d sao cho $\Large MN=OM+AN$. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OA. Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\Large (M,d)$ có tọa độ là

• A. $\Large (4;3;5\sqrt{2})$
• B. $\Large (4;3;10\sqrt{2})$
• C. $\Large (4;3;5\sqrt{10})$
• D. $\Large (4;3;10\sqrt{10})$

Theo đề $\Large \left\{\begin{align}&M\in Oz\Rightarrow M(0;0;m)\\&N\in d\Rightarrow N(4-3t;3+4t;0)\\&d\subset (Oxy)\\\end{align}\right.$

Vì A là hình chiếu vuông góc của O trên d nên tìm được A(4;3;0). I là trung điểm đoạn thẳng $\Large OA\Rightarrow I\left(2;\dfrac{3}{2};0\right)$

Mặt khác $\Large MN=OM+AN\Rightarrow \sqrt{(3t-4)^{2}+(4t+3)^{2}+m^{2}}=|m|+5|t|$(*)

$\Large \Leftrightarrow 2|mt|=5\Leftrightarrow |mt|=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow |m|=\dfrac{5}{2|t|}(t\neq 0)$

Trên tia đối của tia $\Large Oz$, lấy điểm H thỏa OH=AN. Ta chứng minh được $\Large \Delta IMH=\Delta IMN$

Khi đó $\Large S_{\Delta IMN}=S_{\Delta IMH}=\dfrac{1}{2}IO.MH=\dfrac{5}{4}MN=\dfrac{5}{4}(|m|+5|t|)$ do (*)

$\Large =\dfrac{5}{4}\left(\dfrac{5}{2|t|}+5|t|\right)=\dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{2|t|}+|t|\right)\geq \dfrac{25\sqrt{2}}{4}$

Dấu "=" đạt tại $\Large \dfrac{1}{2|t|}=|t|\Leftrightarrow |t|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |m|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$. Vậy $\Large M\left(0;0;\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right)$

Ta có $\Large \overrightarrow{MA}=\left(4;3;-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right);\overrightarrow{u_d}=(-3;4;0)$

Mặt phẳng $\Large (M,d)$ có một VTPT $\Large \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_d}]=\left(10\sqrt{2};\dfrac{5\sqrt{2}}{2};25\right)=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}(4;3;5\sqrt{2})$