Tính tích phân $\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}

Tính tích phân $\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}{x}\mathrm{d}x$ bằng cách đặt $\Large t=\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

• A.

  A. $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t\mathrm{d}t.$

• B.

  B. $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t^2\mathrm{d}t.$

• C.

  C. $\Large I=\dfrac{2}{9}\int\limits_1^et^2\mathrm{d}t.$

• D.

  D. $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^e t\mathrm{d}t.$

Chọn B

$\Large I=\int\limits_1^e\dfrac{\sqrt{1+3\mathrm{ln}x}}{x}\mathrm{d}x$

+) Đặt $\Large t=\sqrt{1+3\mathrm{ln}x} \Leftrightarrow t^2=1+3\mathrm{ln}x \Rightarrow 2t\mathrm{d}t=\dfrac{3}{x}\mathrm{d}x.$

+) Đổi cận: Với $\Large x=1 \Rightarrow t = 1;$ với $\Large x=e \Rightarrow t=2.$

Khi đó: $\Large I=\dfrac{2}{3}\int\limits_1^2t^2\mathrm{d}t.$