Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $\Large m\in [-1; 1]$ sao

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $\Large m\in [-1; 1]$ sao cho phương trình $\Large \mathrm{log}_{m^2+1}(x^2+y^2)=\mathrm{log}_2(2x+2y-2)$ có nghiệm nguyên $\Large (x; y)$ duy nhất?

• A. 3.
• B. 2.
• C. 1.
• D. 0.

Chọn B
Nhận xét nếu $\Large (x; y)$ là nghiệm thì $\Large (y; x)$ cũng là nghiệm của phương trình.

Tồn tại nghiệm duy nhất khi $\Large x=y$. Phương trình trở thành $\Large \mathrm{log}_{m^2+1}(2x^2)=\mathrm{log}_2(4x-2)$.

Với điều kiện $\Large x > \dfrac{1}{2}$, $\Large x\in \mathbb{Z}$ $\Large \Rightarrow x\geq 1\Rightarrow 4x-2 > 1$. Khi $\Large m\neq 0$ ta có 

$\Large 2(x-1)^2\leq 0$$\Large \Rightarrow 2x^2\geq 4x-2\Rightarrow \mathrm{log}_{m^2+1}(2x^2)\geq \mathrm{log}_{m^2+1}(4x-2)$$\Large \Rightarrow \mathrm{log}_2(4x-2)\geq \mathrm{log}_{m^2+1}(4x-2)$

$\Large \Rightarrow \dfrac{1}{\mathrm{log}_{4x-2}2}\geq \dfrac{1}{\mathrm{log}_{4x-2}(m^2+1)}$ $\Large \Rightarrow \mathrm{log}_{4x-2}(m^2+1)\geq \mathrm{log}_{4x-2}2$

$\Large \Rightarrow m^2+1\geq 2$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & m\geq 1 \\ & m\leq -1 \end{align}\right.$

Mà $\Large m\in [-1; 1]$ nên $\Large m\in \begin{Bmatrix} -1; 1 \end{Bmatrix}$. Khi đó phương trình đều trở thành

$\Large \mathrm{log}_2(x^2+y^2)=\mathrm{log}_2(2x+2y-2)$ $\Large \Leftrightarrow x^2+y^2-2x-2y+2=0$

$\Large \Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=0$$\Large \Rightarrow x=y=1$.

Nghiệm duy nhất xảy ra nên tồn tại hai giá trị $\Large m$ thỏa mãn bài toán.