Có bao nhiêu số nguyên $\large m \leq100$ để hàm số $\large y= 6\sin x

Có bao nhiêu số nguyên $\large m \leq100$ để hàm số $\large y= 6\sin x- 8\cos x+ 5mx$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$ ?

• A.

  A. 100 số.

• B.

  B. 99 số.

• C.

  C. 98 số.

• D.

  D. Đáp án khác.

Xét hàm số hàm số $\large y=6\sin x-8\cos x+5mx$

Tập xác định: $\large D=\mathbb{R}$

Ta có: $\large y'=6\cos x+8\sin x+5m$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\large \mathbb{R} \Leftrightarrow y'\geq  0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow 5m\geq -6\cos x-8\sin x, \forall x\in \mathbb{R}$ (1)

Cách 1:
Ta lại có: $\large (-6\cos x-8\sin x)^2\leq ((-6)^2+(-8)^2)(\sin^2x+\cos^2x)=100, \forall x\in\mathbb{R}$

$\large \Leftrightarrow -10\leq -6\cos x-8\sin x\leq 10, \forall x\in\mathbb{R}$

Do đó $\large (1) \Leftrightarrow 5m\geq 10\Leftrightarrow  m\geq 2$

Kết hợp với điều kiện $\large m\leq 100$ ta được $\large 2\leq m\leq 100$

Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Chọn đáp án B.

Cách 2:
Ta có: $\large -6\cos x-8\sin x=-10[\sin (x+\alpha)]$ 

Mà: $\large -1\leq \sin (x+\alpha)\leq 1, \forall x\in\mathbb{R}, \Rightarrow -10\leq -10[\sin (x+\alpha)]\leq 10, \forall x\in \mathbb{R}$ 

Hàm số đã cho đồng biến trên $\large \mathbb{R} \Leftrightarrow y'\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow  5m\geq max(-6\cos x-8\sin x)$

$\large \Leftrightarrow  5m\geq 10\Leftrightarrow m\geq 2$

Kết hợp với điều kiện $\large m\leq 100$ ta được $\large 2\leq m\leq 100$

Vì m là số nguyên nên có 99 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.