Có bao nhiêu cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large 10^{\frac{10}{x+y}}=

Có bao nhiêu cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn $\Large 10^{\frac{10}{x+y}}=\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).10^{\frac{1}{xy}}$ và $\Large x\in\mathbb{N}^*$, $\Large y > 0$.

• A. 14.
• B. 7.
• C. 21.
• D. 10.

Chọn A
Với $\Large x > 0$, $\Large y > 0$ ta có $\Large 10^{\frac{10}{x+y}}=\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).10^{\frac{1}{xy}}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\log\left(10^{\frac{1}{xy}}.\left ( x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )\right)$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\dfrac{1}{xy}+\log\left (x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=\dfrac{1}{xy}+\log\dfrac{(x+y)(xy+1)}{xy}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}+\log\dfrac{xy}{(x+y)(xy+1)}=\dfrac{1}{xy}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}+\log\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{xy}+\log\dfrac{xy+1}{xy}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}+\log\dfrac{10}{x+y}=\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)+\log\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)$ (1).

Xét hàm $\Large f(t)=t+\log t$ với $\Large t\in (0; +\infty)$.

Ta có $\Large {f}'(t)=1+\dfrac{1}{t\ln 10} > 0$, $\Large \forall t > 0$. Suy ra hàm $\Large f(t)$ đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty)$.

Từ (1) ta được: $\Large f\left(\dfrac{10}{x+y}\right)=f\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{10}{x+y}=1+\dfrac{1}{xy}$

$\Large \Leftrightarrow 10-x-\dfrac{1}{x}=y+\dfrac{1}{y}\geq 2$ $\Large \Rightarrow x+\dfrac{1}{x}\leq 8$ $\Large \Leftrightarrow x^2-8x-1\leq 0$ $\Large \Leftrightarrow x\in\left[4-\sqrt{15}; 4+\sqrt{15}\right]$.

Do $\Large x\in\mathbb{N}^*$ nên ta có $\Large x\in \begin{Bmatrix}1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 \end{Bmatrix}$

Mặt khác ta lại có $\Large y+\dfrac{1}{y}=10-x-\dfrac{1}{x}$. Mà với mỗi $\Large x\in \begin{Bmatrix}
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
\end{Bmatrix}$ thì $\Large a=10-x-\dfrac{1}{x} > 2$.

Suy ra phương trình $\Large y+\dfrac{1}{y}=a\Leftrightarrow y^2-ay+1=0$ luôn có hai nghiệm dương phân biệt (vì $\Large \left\{\begin{align} & \Delta =a^2-4 > 0\\ & S=a > 0\\ & P=1 > 0\end{align}\right.$, $\Large \forall a > 2$). Vậy có tất cả 14 cặp $\Large (x; y)$ thỏa mãn ycbt.