Cho tích phân $\large I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2x+\sin x}{

Cho tích phân $\large I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2x+\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}$. Thực hiện phép biến đổi $\large t=\sqrt{1+3\cos x}$, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?

• A.

  A. $\large =\int_2^1\dfrac{2}{9}(2t^2+1)dt$

• B.

  B. $\large =\int_2^1\dfrac{2}{9}(t^2+2)dt$

• C.

  C. $\large =\int_1^2\dfrac{2}{9}(2t^2+1)dt$

• D.

  D. $\large =\int_1^2\dfrac{2}{9}(t^2+2)dt$

Ta có: $\large I=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin 2x+\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{2\cos x+1}{\sqrt{1+3\cos x}}.\sin xdx  $

Đặt $\large t=\sqrt{1+3\cos x}\Rightarrow t^2=1+3\cos x\Rightarrow 2tdt=-3\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-\dfrac{2}{3}tdt$

Đổi cận $\large x=0\Rightarrow t=2; x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t =1$

Khi đó: $\large
I=\int_2^1\dfrac{2\left(\dfrac{t^2-1}{3} \right )+1}{t}.\left(-\dfrac{2}{3} \right )dt=\int_1^2\dfrac{2}{9}(2t^2+1)dt$