Cho số phức $\Large z$ thỏa mãn $\Large 1+\overline{z}=\left|\overline

Cho số phức $\Large z$ thỏa mãn $\Large 1+\overline{z}=\left|\overline{z}-i\right|^2+(iz-1)^2$ và $\Large z$ có phần thực dương. Tính môđun của số phức $\Large z$.

• A.

  $\Large 5$.

• B.

  $\Large \sqrt{3}$.

• C.

  $\Large 3$.

• D.

  $\Large \sqrt{5}$.

Chọn D

Đặt $\Large z=x+yi\ (x; y\in\mathbb{R}, x > 0)$.

Ta có: $\Large 1+\overline{z}=\left|\overline{z}-i\right|^2+(iz-1)^2$ $\Large \Leftrightarrow 1+x-yi=\left|x-(y+1)i\right|^2+(xi-y-1)^2$

$\Large \Leftrightarrow 1+x-yi=2(y+1)^2-2x(y+1)i$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 1+x=2(y+1)^2\\ & y=2x(y+1)\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow y=2\left(2(y+1)^2-1\right)(y+1)$

$\Large \Leftrightarrow 4(y+1)^3-3(y+1)+1=0$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & y+1=-1\\ & y+1=\dfrac{1}{2}\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & y=-2\\ & y=-\dfrac{1}{2}\end{align}\right.$

Với $\Large y=-2$ thì $\Large x=2(y+1)^2-1=1 > 0$ thỏa mãn.

Với $\Large y=-\dfrac{1}{2}$ thì $\Large x=2(y+1)^2-1=-\dfrac{1}{2} < 0$ không thỏa mãn.

Vậy $\Large z=1-2i$ $\Large \Rightarrow |z|=\sqrt{5}$.