Cho $\Large n \in \mathbb N$ thỏa mãn $\Large C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdo

Cho $\Large n \in \mathbb N$ thỏa mãn $\Large C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}=1023$. Tìm hệ số của $\Large x^2$ trong khai triển $\Large [(12-n) x+1]^{n}$ thành đa thức

• A. 90
• B. 45
• C. 180
• D. 2

Ta có:

$\Large C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}=1023 \Leftrightarrow C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}=1024$ $\Large \Leftrightarrow 2^{n}=1024 \Leftrightarrow n=10$

Do đó 

$\Large [(12-n) x+1]^{n}=(2 x+1)^{10}$ $\Large =\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(2 x)^{k}(1)^{10-k}=\sum_{k=0}^{10} C_{k}^{10} 2^{k} x^{k}$

Số hạng tổng quát trong khai triển $\Large (2 x+1)^{10}$ thành đa thức là $\Large C_{10}^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{k}$

Vậy hệ số của $\Large x^2$ là $\Large C_{10}^{2}-2^{2}=180$

Chọn dáp án C