Cho khối chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\large a, SA$

Cho khối chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\large a, SA$ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $\large A$ tới mặt phẳng $\large (SBC)$ bằng $\large\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích $\large V$ của khối chóp đã cho.

• A.

  A. $\large V=\frac{a^{3}}{2}$

• B.

  B. $\large V=a^{3}$

• C.

  C. $\large\frac{\sqrt{3}a^{2}}{9}$

• D.

  D. $\large V=\frac{a^{3}}{3}$

Kẻ $\large AH\perp SB(H\epsilon SB)\Rightarrow d(A,(SBC))=AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

(Có thể xem lại bài xác định nhanh khoảng cách). Ta có:

$\large\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}\Rightarrow \frac{1}{SA^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}-\frac{1}{AB^{2}}=\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\Rightarrow SA=a$

Suy ra: $\large V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\cdot a^{2}=\frac{a^{3}}{3}$

Đáp án D