Cho hình lăng trụ đứng $\large ABC.A'B'C'$ có $\large AB=AC=a,\widehat

Cho hình lăng trụ đứng $\large ABC.A'B'C'$ có $\large AB=AC=a,\widehat{BAC}=120^{\circ}$ và cạnh $\large BB'=a$. Gọi $\large I$ là trung điểm của $\large CC'$. Tính Cosin của góc tạo bởi hai mặt  phẳng $\large (ABC)$ và $\large (AB'I)$

• A.

  A. $\large\frac{\sqrt{15}}{5}$

• B.

  B. $\large\frac{\sqrt{15}}{8}$

• C.

  C. $\large\frac{\sqrt{30}}{6}$

• D.

  D. $\large\frac{\sqrt{30}}{10}$

Ta có tam giác $\large ABC$ là hình chiếu vuông góc của tam giác $\large AB'I$ trên mặt phẳng $\large (ABC)$

Khi đó gọi $\large\varphi=((ABC),(AB'I))$, suy ra $\large\cos \varphi=\frac{S_{ABC}}{S_{AB'I}}\left(^{*}\right)$

Ta có

$\large BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=3a^{2}\Rightarrow BI=\sqrt{BC^{2}+CI^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$

Khi đó $\large AB'^{2}+AI^{2}=\left(AB^{2}+BB'^{2}\right)+\left(AC^{2}+CI^{2}\right)=2a^{2}+\frac{5a^{2}}{4}=\frac{13a^{2}}{4}=BI^{2}\Rightarrow \bigtriangleup AB'I$ vuông tại $\large A$

Suy ra $\large S_{\bigtriangleup AB'I}=\frac{1}{2}AB'\cdot AI=\frac{a^{2}\sqrt{10}}{4}$

Mặt khác $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$

Áp dụng (*), ta có $\large\cos \varphi=\frac{S_{ABC}}{S_{AB'I}}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}: \frac{a^{2}\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{30}}{10}$

Đáp án D