Cho hàm số $\Large\mathrm{f}(\mathrm{x})$ xác định trên $\Large\mathbb

Cho hàm số $\Large\mathrm{f}(\mathrm{x})$ xác định trên $\Large\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{1}{2}\right\},$ thỏa $\Large\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\dfrac{2}{2 \mathrm{x}-1}, \mathrm{f}(0)=1$ và $\Large\mathrm{f}(1)=2$. Giá trị của biểu thức f(-1) + f(3) bằng

• A. ln 15
• B. 2 + ln 15
• C. 3 + ln 15
• D. 4 + ln 15

Ta có $\Large\mathrm{f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2 x-1} \Rightarrow f(x)=\int \dfrac{2}{2 x-1} d x=\ln |2 x-1|+C=\left\{\begin{array}{ll}\ln (1-2 x)+C_{1} & ; x<\dfrac{1}{2} \\ \ln (2 x-1)+C_{2} & ; x>\dfrac{1}{2}\end{array}\right.}$
Tới đây ta xét hai trường hợp
$\Large\bullet$ Nếu $\Large\mathrm{f(0)=1 \Rightarrow \ln (1-2.0)+C_{1}=1 \rightarrow C_{1}=1}$
$\Large\bullet$ Nếu $\Large\mathrm{f(1)=2 \Rightarrow \ln (2.1-1)+C_{2}=2 \rightarrow C_{2}=2}$
Do đó $\Large\mathrm{f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (1-2 x)+1 \text { khi } x<\dfrac{1}{2} \\ \ln (2 x-1)+2 \text { khi } x>\dfrac{1}{2}\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}f(-1)=\ln 3+1 \\ f(3)=\ln 5+2\end{array}\right.\right.}$
$\Large\Rightarrow f(-1)+f(3)=3+\ln 5+\ln 3=3+\ln 15$