Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2

Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+f(x).{f}''(x)=2{{x}^{2}}-x+1,\forall x\in R$ và $\Large f(0)={f}'(0)=3$ . Giá trị của $\Large {{\left[ f(1) \right]}^{2}}$ bằng.

• A.

  A. $\Large 28$

• B.

  B. $\Large 22$

• C.

  C. $\Large \dfrac{19}{2}$

• D.

  D. $\Large 10$

Ta có 

${{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+f(x).{f}''(x)=2{{x}^{2}}-x+1$

$\Leftrightarrow {{\left[ f(x).{f}'(x) \right]}^{\prime }}=2{{x}^{2}}-x+1$

$\Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=\int{(2{{x}^{2}}-x+1)dx}$

$\Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+C$

Thay $x=0$ ta được $f(0).{f}'(0)=C\Leftrightarrow C=9$

Khi đó

$f(x).{f}'(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+9$

$\Leftrightarrow \int{f(x).{f}'(x)dx=\int{\left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+9 \right)dx}}$

$\Leftrightarrow \int{f(x)d\left[ f(x) \right]=\frac{1}{6}{{x}^{4}}-\frac{1}{6}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+9x+{{C}_{1}}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{f}^{2}}(x)=\frac{1}{6}{{x}^{4}}-\frac{1}{6}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+9x+{{C}_{1}}$

$\Leftrightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{1}{3}{{x}^{4}}-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+18x+2{{C}_{1}}$

Thay $x=0$ ta được ${{f}^{2}}(0)=2{{C}_{1}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=\frac{9}{2}$

Vậy ${{f}^{2}}(x)=\frac{1}{3}{{x}^{4}}-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+18x+9$ nên ${{f}^{2}}(1)=28$

Chọn đáp án A