Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình $\Large \log_{\sqrt{3}}x\lef

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình $\Large \log_{\sqrt{3}}x\left(1+\dfrac{1}{3}\log_{\sqrt[3]{3}}3x \right )\leq 6$ là $\Large [a; b]$. Tính $\Large T=81a^2+b^2$

 

• A.

  A. $\Large T=\dfrac{82}{9}$

   
• B.

  B. $\Large T=\dfrac{84}{3}$

   
• C.

  C. $\Large T=\dfrac{80}{9}$

   
• D.

  D. $\Large T=\dfrac{80}{3}$

Chọn A

ĐK: x>0

$\Large \log_{\sqrt{3}}x\left(1+\dfrac{1}{3}\log_{\sqrt[3]{3}}3x \right )\leq 6$

$\Large \Leftrightarrow 2{\log _3}x\left( {1 + {{\log }_3}3x} \right) \le 6$ $\Large  \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {2 + {{\log }_3}x} \right) \le 3$ $\Large  \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} + 2{\log _3}x - 3 \le 0$

Đặt $\Large t=\log_{3}x$, ta có bất phương trình $\Large t^2+2t-3\leq0$, suy ra $\Large -3\leq t\leq 1$ hay $\Large \dfrac{1}{27}\leq x \leq 3$. Do đó, $\Large [a; b]=\left[\dfrac{1}{27}; 3\right]$, dẫn đến $\Large T=81a^2+b^2=\dfrac{82}{9}$