Sự tồn tại nguyên hàm
Lưu về Facebook:
Lý thuyết về Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí. Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$
Ví dụ.
- Hàm số $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ có nguyên hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và $\displaystyle\int{x^{\frac{2}{3}}}dx=\dfrac{3}{5} \cdot x^{\frac{5}{3}}+C$
- Hàm số $g(x)=\dfrac{1}{\sin^2{x}}$ có nguyên hàm trên từng khoảng $\left( k\pi ;\left( k+1 \right)\pi \right),\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ và $\displaystyle\int{\dfrac{1}{\sin^2{x}}dx}=-\cot x+C$
Bài tập tự luyện có đáp án
Câu 1: Tìm nguyên hàm $ F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x $ .
- A
- B
- C
- D
$ F\left( x \right)=\int{{{\pi }^{2}}}\text{d}x={{\pi }^{2}}x+C $ .
Câu 2: Hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ có nguyên hàm trong khoảng
- A
- B
- C
- D
Do hàm số $y={{\left( x-1 \right)}^{\dfrac{1}{2}}}$ luôn liên tục trên tập xác định nên nó có nguyên hàm trên tập xác định, tức trên tập $\left( 1;+\infty \right)$.
Câu 3: Cho $ f\left( x \right),g\left( x \right) $ là các hàm số xác định và liên tục trên $ \mathbb{R} $ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A
- B
- C
- D
Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Câu 4: Hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right) $ trên khoảng $ K $ nếu
- A
- B
- C
- D
Theo lý thuyết nguyên hàm:
Hàm số $ F\left( x \right) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left( x \right) $ trên khoảng $ K $ khi và chỉ khi $ {F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in K $ .