Đề thi hsg toán 12 trường đồng đậu năm 2019-2020 có đáp án

TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN

(Đề thi gồm 01 trang)

Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THPT

ĐỒNG ĐẬU

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 12

NĂM HỌC: 2019 - 2020

MÔN: TOÁN

Thời gian: 180 phút, (không kể thời gian giao đề)

Câu

Đáp án

Điểm

1

a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên .

1

Ycbt

0,25

0,25

Ta có:

0,25

0,25

b) Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA, OB bằng .

1

Phương trình hoành độ:

0,25

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi . Khi đó, .

0,25

Điều kiện để OA, OB tạo với nhau một góc là:

0,25

0,25

2

a) Giải phương trình lượng giác sau .

1

ĐKXĐ: . Phương trình đã cho biến đổi thành:

0,25

0,25

0,25

Vậy nghiệm của phương trình là:

0,25

b) Giải hệ phương trình sau .

1

ĐK: . Biến đổi phương trình đầu về dạng:

0,5

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

. Vế trái pt là hàm đồng biến trên mà là nghiệm nên nghiệm đó duy nhất. Suy ra: (tm)

0,25

Vậy, nghiệm của hệ là:

0,25

3

Cho hình lăng trụ đứng có , , và góc . Gọi M là điểm trên cạnh sao cho .

a) Chứng minh rằng .

b) Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng .

2

a) Chứng minh rằng .

Từ giả thiết suy ra:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC.

0,5

Sử dụng Pitago, dễ dàng tính được: và .

0,25

Từ đó suy ra: hay tam giác vuông tại M.

0,25

b) Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng . Đặt , gọi K là hình chiếu vuông góc của lên và H là hình chiếu vuông góc của lên AK. Ta có

0,25

Do theo tỉ số nên dễ dàng suy ra: và theo định lí cosin suy ra:

0,25

0,25

Trong tam giác vuông ta có:

Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng .

0,25

4

Cho dãy số có số hạng tổng quát .

Tính .

1

Ta có:

0,25

Suy ra:

0,5

Do đó,

0,25

5

Cho đa giác lồi có n đỉnh (). Biết số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của và không có cạnh nào là cạnh của gấp 5 lần số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của và có đúng một cạnh là cạnh của . Xác định n.

1

Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) là:

0,25

Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 2 cạnh là cạnh của (H) là: n

0,25

Số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng 1 cạnh là cạnh của (H) là:

0,25

Theo giả thiết, ta có:

Vậy đa giác (H) có 35 đỉnh.

0,25

6

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là , điểm là trọng tâm tam giác ABC, điểm thuộc đường cao kẻ từ D của tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho, biết rằng diện tích tứ giác AGCD bằng 32 và đỉnh A có tung độ dương.

1

Vì nên

.

Ta có,

0,25

Vì D và G nằm khác phía so với AC nên

0,25

Vì . Từ gt nên

0,25

Từ . Vậy tọa độ 4 đỉnh của hình bình hành là:

0,25

7

Cho và . Chứng minh bất đẳng thức:

1

Đưa bất đẳng thức về dạng: ­­

Ta chứng minh BĐT phụ: .

Thật vậy, ta có: BĐT phụ tương đương với: luôn đúng, .

Dấu bằng xảy ra khi .

0,25

Vì a, b, c là ba số dương có tổng bằng 3 nên: .

Áp dụng BĐT phụ cho 3 số a, b, c:

.

0,25

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên , ta có:

(đpcm)

0,25

Dấu bằng xảy ra khi .

0,25