Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
Với mọi a, b∈N (b≠0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 ≤ r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: b), hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b (a:b).
2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
Bài 1: Chứng minh rằng:
Bài 2: Chứng minh rằng:
Bài 3: Chứng minh rằng:
Bài 1: Chứng minh rằng:
A = (1 + 3) + 32.(1 + 3) + … + 310(1 + 3)
A = 4 + 32.4 + … + 310.4
A = 4.(1 + 32 + 310) 4(đpcm)
B = (24)5 + 215
B = 220 + 215
B = 215.(1 + 25)
B = 215.33 33 (đpcm)
C = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + … + 56.(5 + 52)
C = 30 + 52.30 + … + 56.30
C = 30.(1 + 52 +…+ 56) 30 (đpcm)
Ta có: 45 9; 99 9; 180 9 nên D = 45 + 99 + 180 9 (đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
E = (1 + 3 + 32) + 33.(1 + 3 + 32) + … + 3117.(1 + 3 + 32)
E = 13 + 33.13 + … + 3117.13
E = 13.(1 + 33 + … + 3117) 13 (đpcm)
Ta thấy: 72 = 8.9
Ta có:
1028 + 8 9 vì tổng các chữ số bằng 9
1028 + 8 8 vì có tận cùng là 008
Mà (8;9) = 1 nên 1028 + 8 8.9 = 72 (đpcm)
G = (23)8 + 220
G = 224 + 220
G = 220.(24 + 1)
G = 220.17 17 (đpcm)
Ta có:
H = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + … + 259.(1+2)
H = 2.3 + 23.3 + … + 259.3
H = 3.(2 + 23 + .. . + 259) 3
Ta có:
H = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) + … + 258.(1 + 2 + 22)
H = 2.7 + 24.7 + … + 258.7
H = 7.(2 + 24 +…+ 258) 7
Ta có:
H = 2.(1 + 2 + 22 + 23) + 25.(1 + 2 + 22 + 23) +…+ 257.(1 + 2 + 22 + 23)
H = 2.15 + 25.15 + … + 257.15
H = 15.(2 + 25 +…+ 257) 15
Vậy H chia hết cho 3, 7, 15.
Ta có:
I = (1 + 3 + 32) + 33.(1 + 3 + 32) + … + 31989.(1 + 3 + 32)
I = 13 + 33.13 + … + 31989.13
I = 13.(1 + 33 + … + 31989) 13 (đpcm)
Ta có:
I = (1 + 32 + 34 + 36) + (3 + 33 + 35 + 37) + … + (31984 + 31986 + 31988 + 31990 ) + (31985 + 31987 + 31989 + 31991 )
I = (1 + 32 + 34 + 36) + 3.(1 + 32 + 34 + 36) +…+ 31984.(1 + 32 + 34 + 36) + 31985.(1 + 32 + 34 + 36)
I = 820.(1 + 3+ …+ 31984 + 31985)
I = 41.20.(1 + 3+ …+ 31984 + 31985) 41
Vậy I chia hết cho 13, 41.
Ta có:
J = 10n + 18n – 1 = (10n - 1) + 18n
J = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
j = 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1)
J = 9.L
Xét biểu thức trong ngoặc
L = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3
=> 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3
=> L chia hết cho 3
=> 9.L chia hết cho 27 hay J =10n + 18n – 1 chia hết cho 27 (đpcm)
Ta có:
K = 10n + 72n – 1
K =10n - 1 + 72n
K =(10-1)[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] + 72n
K =9.[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1] - 9n + 81n
K =9. [10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n
K =9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] + 81n
Ta có:
10k - 1 = (10-1)[10k-1 + ... + 10 +1] chia hết cho 9
=>9[(10n-1 - 1)+(10n-2 - 1)+...+(10-1) + (1 – 1)] chia hết cho 81
=>9[10n-1 + 10n-2+...+ 10 + 1- n] + 81n chia hết cho 81
=>K = 10n + 72n – 1 81 (đpcm).
Bài 2: Chứng minh rằng:
Ta có: = 1000 + = 1001. = 7.11.13. 7; 11; 13 (đpcm)
Ta có: = 1000 + = 1000.2. +
= (2000 + 1) = .2001 = .23.29.3 23; 29 (đpcm)
= 100.a + 10.a + a = 111.a a (đpcm)
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Lấy A chia cho B ta được thương là C=10..010..01.
Như vậy : A=B.C , trong đó B chia hết cho 9, C chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 27 (đpcm).
Ta có: 29
⬄ 1000.a + 100.b + 10.c + d 29
⬄ 2000.a + 200.b + 20.c +2d 29
⬄ 2001.a – a + 203.b – 3.b + 29.c – 9.c + 29.d – 27.d 29
⬄ (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) – (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
⬄ (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
⬄ (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29 (đpcm)
Ta có:
= 100a + 10b + c
= 100a - 84a +10b - 42b + c + 63c +84a + 42b -63c
= 16a - 32b + 64c + 84a + 42b -63c
= 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63c
chia hết cho 21, 84a + 42b -63c chia hết cho 21 => a-2b+4c (đpcm)
Bài 3: Chứng minh rằng:
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2
Tổng của ba số là: a + a +1 + a +2 = 3.a + 3 3(đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
Ta có:
60 15 => 60n 15 ; 45 15 => 60n + 45 15 (theo tính chất chia hết của một tổng)
60 30 => 60n 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia hết cho 30 ( theo tính chất chia hết của một tổng).
Giả sử có số a N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
=> Mâu thuẫn
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn. (đpcm)
Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b
Vì 1005 chia hết cho 5 nên 1005a chia hết cho 5 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 5 nên 2100b chia hết cho 5 với mọi b
Mà (3;5) = 1 => (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với mọi a,b
Vì n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong 2 số liên tiếp luôn luôn có 1 số chẵn => n.(n+1) là số chẵn, cộng thêm 1 sẽ là số lẻ => n.(n+1) + 1 là số lẻ, không chia hết cho 2.
Để chứng minh n.(n+1) + 1 không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n+1 có thể có các chữ số tận cùng sau:
n tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tương ứng số tận cùng của n+ 1 như sau:
n+ 1 tận cùng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
=> tích của n.(n+1) tận cùng là:
0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0
Hay là n.(n+1) tận cùng là 0, 2, 6
=> n.(n+1) +1 tận cùng là: 1, 3, 7 không chia hết cho 5
Ta xét các trường hợp:
(+) Nếu n là số lẻ thì n + 3 là số chẵn ; n + 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng là số chẵn => (n+3) (n+6) chia hết cho 2.
(+) Nếu n là số chẵn thì n+3 là số lẻ ; n+6 là số chẵn. Mà tích của 1 số lẻ với 1 số chẵn có tận cùng là số chẵn nên => (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Vậy thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).
Vì a – b = 4 => a = b + 4 mà chia hết cho 9 => 15 + a + b chia hết cho 9 => 19 + 2b chia hết cho 9 => b = 4; a = 8.
n chia hết cho 9
+ chia hết cho 9
7 + a + 5 + 8 + b + 4 chia hết cho 9
24 + a + b chia hết cho 9.
Mà a, b 9 a + b 18
a + b = 3 hoặc a + b = 12.
- a + b = 3
a = (3 + 6) : 2 = 9/2 không thuộc N (loại)
- a + b = 12
a = (12 + 6) : 2 = 9 ; b = 9 - 6 = 3 (chọn)
Vậy a = 9 và b = 3.
Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: 9 ⬄ * = 9; và hiệu của chúng bằng 9 ⬄ * = 3.
Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.
Ta có = .1000 +
= (.1000 + ).1000 +
= 1001..1000 +
= 7.143..1000 + 7
Mà 7.143..1000 7 => 7
= 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) 7
Mà 196 7 => 4 + a 7 => a = 3
Gọi số phải tìm là . Ta có:
37 => 199900 + 37
Vậy = {11; 48; 85}
Gọi thương của số tự nhiên x cần tìm tuần tự là a và b
Theo đề, ta có:
x = 4a + 1
x = 25b + 3
<=> 4a + 1 = 25b + 3
4a = 25b + 2
a = (25b + 2)/4
b = 2 ; a = 13 <=> x = 53
b = 6 ; a = 38 <=> x = 153
b = 10 ; a = 63 <=> x = 253
b = 14 ; a = 88 <=> x = 353
b = 18 ; a = 113 <=> x = 453
...
Đáp số:
Tất cả các số tự nhiên, tận cùng là 53 đều thoả mãn điều kiện.
Goi số đó là (a, b, c,d, e là các chữ số và a khác 0). Theo đề bài ta có:
= 45*a*b*c*d*e
= 5*9*a*b*c*d*e
chia hết cho 5 nên e = 0 (loại) hoăc e = 5. Dễ thấy e = 5. Số abcd5 là số lẻ nên a, b,c, d, e đầu là các chữ số lẻ.
= 5*9*a*b*c*d*5
= 25*9*a*b*c*d
Do đó, chia hết cho 25. Mà = abc*100 + d5. d5 chia hết cho 25 và d lẻ => d = 7.
Ta có = chia hết cho 9 nên a + b + c + 7 + 5 = a + b + c + 12 chia hết cho 9. Mà 2 < a + b + c < 28.
Do đó: a + b + c = 6; 15 hoặc 24
Vì a, b, c lẻ nên a + b + c lẻ = > a + b + c = 15
Mà 15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 7 + 7 = 3 + 3 + 9 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
Vì ta có 45*a*b*c*7*5 < 100000
nên a*b*c < 64. Do đó ta chỉ còn xét hai trường hợp, ba chữ số a, b, c có tổng là 1 + 5 + 9 và 1 + 7 + 7.
Thử chọn thấy 77175 là thích hợp.
Đ/S: 77175.
Ta có: = + = 100. + chia hết cho .
=> chia hết cho . Đặt = k. (1 ≤ k ≤ 9)
có .100 + k. chia hết cho . = .k.
=> 100 + k chia hết cho k. (1) => 100 chia hết cho k
=> k = {1, 2, 4, 5}
+ k = 1; = ; từ (1) => 101 chia hết cho vô lí vì 101 nguyên tố
+ k = 2; = 2., từ (1) => 102 chia hết cho 2. => 51 chia hết cho
không thể là 51 (vì nếu thế thì = 102 vô lí) => = 17 => = 34
Số cần tìm là 1734 (dễ kiểm tra 1734 : (17.34) = 3)
+ k = 4; = 4. => 104 chia hết cho 4. => 26 chia hết cho => = 13, = 52 (nhận) hoặc = 26, = 104 (loại)
+ k = 5; = 5., từ (1) => 105 chia hết cho 5. => 21 chia hết cho
=> = 21 => = 105 vô lí
Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu là: 1734 và 1352
chia hết cho 2 và 5 => = .
Vì chia hết cho 9 nên tổng các số phải chia hết cho 9
Số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 3. Vậy số cần tìm là: 9630
Ta có: 36 = 9.4 mà ƯC(4;9) = 1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
chia hết cho 9 ⬄ 3+4+x+5+y 9 ⬄ 12 + x + y (1)
chia hết cho 4 ⬄ chia hết cho 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x, y) cần tìm là: (4; 2), (0; 6), (9; 6).
Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 100 là: 2; 4; 6; 8; …; 100
(100 – 2) : 2 + 1= 50 (số)
Các số chia hết cho 5 từ 1 đến 100 là: 5; 10; 15; …; 100
(100 – 5) : 5 + 1= 20 (số)
Số chia cho 5 và dư 3 nhỏ hơn 100 là: 3; 8; 13; 18; …; 98
Vậy có: +1= 19 + 1 = 20 số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia cho 5 và dư 3
Các số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số là: 102; 105; 108; …; 999
Vậy có: + 1 = 299+1 = 300 số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số.
Các số tự nhiên chia hết cho cả 2 và 5 là: 0; 2; 4 ; 6; 8; …; 998; 1000
Các số tự nhiên chẵn chia hết cho 5 là: 0; 10; 20;…;990;1000
Vậy có: [ + 1] -[ + 1 ] = 501 – 101 = 400 số tự nhiên nhỏ hơn 1000 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới