10 đề tuyển sinh 10 môn toán không chuyên 2020 có đáp án và lời giải-tập 1

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

SỞ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2019- 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 120 phút

(Đề thi gồm 2 trang) Ngày thi : 13/ 06/ 2019.

Bài 1 (3.5 điểm).

a) giải phương trình:

b) giải hệ phương trình:

c) Rút gọn biểu thức:

d) giải phương trình:

Bài 2 (1.5 điểm).

Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): (với m là tham số).

a) Vẽ parabol (P).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện

Bài 3 (1.0 điểm).

Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi (chân núi có dạng đường tròn tâm O, bán kính 3 km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A (tham khảo hình vẽ). Do chưa biết đường đi nào để đến vị trí tai nạn nhanh hơn nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:

Xe thứ nhât : đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là 40 km/h.

Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình 60 km/h, rồi đi từ C đến B theo đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình 30 km/h ( 3 điểm A, O, C thẳng hàng và C ở chân núi). Biết đoạn đường AC dài 27 km và .

a) Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B.

b) Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng một lúc tại A thì xe nào thì xe nào đến vị trí tai nạn trước ?

Chân núi

Bài 4 (3.5 điểm).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và E là điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó (E khác A, B). Lêy1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B). Tia AH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau tại I. Đường thẳng IH cắt nửa đường tròn tại P và cắt AB tại K.

a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn.

b) chứng minh

c) Chứng minh:

d) Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK.

Bài 5 (0.5 điểm).

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

----------------------------HẾT ----------------------------

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN

Bài 1 (3.5 điểm).

a) giải phương trình:

có nên pt có 2 nghiệm phân biệt

b) giải hệ phương trình:

Vậy hệ pt có 1 nghiệm duy nhất :

c) Rút gọn biểu thức:

d) giải phương trình:

Đặt , khi đó ta có

* Với t = 3

* Với t = (pt vô nghiệm)

Vậy pt đã cho có hai nghiệm:

Bài 2 (1.5 điểm).

a) vẽ Parabol (P):

Bảng giá trị:

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn điều kiện

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

- Vì là hai nghiệm của pt hoành độ giao điểm, nên ta có:

Khi đó : (Thỏa ĐK)

Bài 3 (1.0 điểm).

a) OA = AC + R = 27 + 3 = 30 km

Xét vuông tại B, có:

b) t/gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: (giờ)

t/gian xe thứ hai đi từ A đến C là: (giờ)

Xét vuông tại B, có:

Độ dài đoạn đường từ C đến B là

T/gian đi từ C đến B là : giờ

Suy ra thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là : 0,45 + 0,15 = 0,6 giờ

Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ nhất.

Bài 4 (3.5 điểm).

a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn.

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(kề bù với )

T. tự, ta có:

Suy ra: + +

tứ giác IEHF nội tiếp được đường tròn (tổng hai góc đối nhau bằng )

b) chứng minh

Ta có: (cùng chắn cung EH)

Mà: (cùng chắn cung AE)

Suy ra:

c) Chứng minh:

ta có: nên suy ra H là trực tâm của

Tam giác ABP vuông tại P có PK là đường cao nên ta có:

BP.PA = AB.PK và

Suy ra: BP.PA + + AB.PK

d) Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn , chứng minh EF vuông góc với EK.

Ta có: SA // IH (cùng vuông góc với AB)

Tứ giác AHIS là hình thang.

Mà tứ giác AHIS nội tiếp được đường tròn (gt)

Suy ra: AHIS là hình thang cân.

vuông cân tại F

vuông cân tại F

Ta lại có:

Bài 5 (0.5 điểm).

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=

Ta lại có:

Khi đó:

Vậy

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm)

Câu 1: Giá trị của tham số để đường thẳng song song với đường thẳng là

A. B. C. D.

Câu 2: Tổng hai nghiệm của phương trình bằng

A. B. C. D.

Câu 3: Giá trị nào của dưới đây là nghiệm của phương trình ?

A. B. C. D.

Câu 4: Đường thẳng có hệ số góc bằng

A. B. C. D.

Câu 5: Cho biết là một nghiệm của phương trình . Khi đó ta có

A. B. C. D.

Câu 6: Tất cả các giá trị của để biểu thức có nghĩa là

A. B. C. D.

Câu 7:  Cho tam giáccó . Phát biểu nào dưới đây đúng?

A. Tam giácvuông. B. Tam giácđều.

C. Tam giácvuông cân. D. Tam giáccân.

Câu 8: Giá trị của tham số để đường thẳng đi qua điểm là

A. B. C. D.

Câu 9: Căn bậc hai số học của là

A. B. C. và D.

Câu 10: Với thì biểu thức có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 11: Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 12: Hệ phương trình có nghiệm là . Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 13: Cho tam giác vuông tại, có . Tính

A. B. C. D.

Câu 14: Tam giác cân tại có và nội tiếp đường tròn Bán kính của đường tròn bằng

A. B. C. D.

Câu 15: Biết rằng đường thẳng cắt parabol tại hai điểm. Tọa độ của các giao điểm là

A. và B. và C. và D. và

Câu 16: Cho hàm số , với m là tham số. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 17: Hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn . Khi đó giá trị của là

A. B. C. D.

Câu 18: Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

A. B. C. D.

Câu 19: Cho tam giác vuông tại, có Đường tròn đường kính cắt tại ( không trùng với ), tiếp tuyến tại của đường tròn đường kính cắt tại Độ dài đoạn bằng

A. B. C. D.

Câu 20: Cho đường tròn và dây cung thỏa mãn Độ dài cung nhỏ bằng

A. B. C. D.    

PHẦN II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

b) Rút gọn biểu thức với .

Câu 2 (1,0 điểm). Cho phương trình là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi

b) Tìm giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn

Câu 3 (1,5 điểm). Đầu năm học, Hội khuyến học của một tỉnh tặng cho trường A tổng số 245 quyển sách gồm sách Toán và sách Ngữ văn. Nhà trường đã dùng số sách Toán và số sách Ngữ văn đó để phát cho các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Biết rằng mỗi bạn nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Hỏi Hội khuyến học tỉnh đã tặng cho trường A mỗi loại sách bao nhiêu quyển?

Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường kính . Trên đoạn thẳng lấy điểm bất kỳ Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Kẻ vuông góc với vuông góc với

a) Chứng minh rằng tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Cho độ dài đoạn thẳnglà và . Tính diện tích tam giác

c) Đường thẳng đi qua song song với cắt đường thẳng tại Chứng minh rằng khi thay đổi trên đoạn thẳng thì điểm luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 5 (0,5 điểm). Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-------------------------------Hết--------------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh:...........................................................

Cán bộ coi thi 1 (Họ tên và ký): .........................................................................................................

Cán bộ coi thi 2 (Họ tên và ký): .........................................................................................................

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm đúng khác thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.

- Với Câu1 ý a nếu học sinh dùng MTCT bấm và cho được kết quả đúng thì cho 0,75 điểm

- Với Câu4, nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm.

- Điểm toàn bài không được làm tròn.

----------------*^*^*----------------

.

Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

a)

b) .

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng . Tìm tọa độ gia0 điểm của và bằng phép tính.

Câu 3: (6,0 điểm)

Cho phương trình: (m là tham số).

a) Giải phương trình khi .

b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Gọi ; là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để:

.

Câu 4: (6,0 điểm)

Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ và BI.

a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.

b) Chứng minh: .

c) Biết . Tính giá trị biểu thức: theo R.

-----------Hết-----------

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Câu 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

a)

b)

Giải:

a)

b)

(do )

.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

b) Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng . Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Giải:

a)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

b) Phương trình hoành độ giao điểm:

Phương trình có hệ số:

Phương trình có hai nghiệm:

- Với

- Với

Vậy tọa độ giao điểm của và là và .

Câu 3: (6,0 điểm)

Cho phương trình: (m là tham số).

a) Giải phương trình khi .

b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Gọi ; là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để:

Giải:

a) Thay vào phương trình ta có:

Vậy với thì phương trình có tập nghiệm

b) Ta có:

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Do phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m, gọi là hai nghiệm của phương trình

Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

Ta có:

(do là nghiệm của nên )

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: (6,0 điểm)

Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ và BI.

a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.

b) Chứng minh: .

c) Biết . Tính giá trị biểu thức: theo R.

Giải:

a) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác CIHQ có

tứ giác CIHQ nội tiếp

b) Xét và có:

c) Ta có:

Tứ giác AIBQ nội tiếp (cùng phụ với )

Xét và có:

Suy ra:

-----------Hết-----------

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 BẮC NINH NĂM HỌC 2019-2020

I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn phương án trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1: Khi biểu thức có giá trị là

A.. B.. C.. D..

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?

A.. B.. C.. D..

Câu 3: Số nghiệm của phương trình là

A.. B.. C.. D..

Câu 4: Cho hàm số . Điểm thuộc đồ thị hàm số khi

A.. B.. C.. D..

Câu 5: Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính . Biết ,số đocủa cung nhỏ là

A.. B.. C.. D..

Câu 6: Cho tam giác vuông tại . Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh . Biết , . Độ dài đoạn là

A.. B.. C.. D..

II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Câu 7: Cho biểu thức với , .

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm là số chính phương để là số nguyên.

Câu 8: An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm và điểm của mình thấynhiều hơn bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm và điểm đó là . Hỏi An được bao nhiêu bài điểm và bao nhiêu bài điểm ?

Câu 9: Cho đường tròn , hai điểm nằm trên sao cho . Điểm nằm trên cung lớn sao cho và tam giác có ba góc đều nhọn. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm. cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác nội tiếp một đường tròn.

b) là đường kính của đường tròn .

c) song song với .

Câu 10: a) Cho phương trình với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho.

b) Cho hai số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

====== Hết ======

LỜI GIẢI

I. TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm) Chọn phương án trả lời đúng trong các câu sau:

Câu 1: Khi biểu thức có giá trị là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn: D

Thay (thỏa mãn) vào biểu thức ta tính được biểu thức có giá trị bằng

.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ?

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn: B

Hàm số đồng biến trên .

Câu 3: Số nghiệm của phương trình là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn: D

Đặt . Khi đó phương trình tương đương .

Ta thấy . Nên phương trình có hai nghiệm (thỏa mãn); (thỏa mãn).

Khi đó

Câu 4: Cho hàm số . Điểm thuộc đồ thị hàm số khi

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn .

Vì thuộc đồ thị hàm số nên ta có

(thỏa mãn).

Câu 5: Từ điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính . Biết , số đo của cung nhỏ là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn: A.

Từ giả thiết ta suy ra tứ giác nội tiếp nên , mà sđ nên

Số đo cung nhỏ là .

Câu 6: Cho tam giác vuông tại . Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh . Biết , . Độ dài đoạn là

A.. B.. C.. D..

Lời giải

Chọn: B

Theo đề bài ta có: . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có

II. TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Câu 7: Cho biểu thức với , .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm là số chính phương để là số nguyên.

Lời giải

b) .

là số nguyên khi và chỉ khi là ước nguyên dương của gồm: .

+) , thỏa mãn.

+) , thỏa mãn.

+) , thỏa mãn.

+) , thỏa mãn.

+) , thỏa mãn.

+) , thỏa mãn.

Câu 8: An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm và điểm của mình thấynhiều hơn bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm và điểm đó là . Hỏi An được bao nhiêu bài điểm và bao nhiêu bài điểm ?

Lời giải

Gọi số bài điểm và điểm của An đạt được lần lượt là (bài).

Theo giả thiết .

Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là nên .

Ta có .

Do và nên .

Ta có hệ (thỏa mãn).

Vậy An được bài điểm và bài điểm .

Câu 9: Cho đường tròn , hai điểm nằm trên sao cho . Điểm nằm trên cung lớn sao cho và tam giác có ba góc đều nhọn. Các đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm. cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm (khác điểm); cắt tại điểm. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác nội tiếp một đường tròn.

b) là đường kính của đường tròn .

c) song song với .

Lời giải

c) Do là đường kính của nên . Do đó, là trực tâm tam giác hay .

Do cùng nhìn dưới góc nên tứ giác nội tiếp.

Suy ra, là điểm chính giữa của cung .

Vì nên không cân tại do đó không thẳng hàng. Từ đó suy ra .

Câu 10: a) Cho phương trình với là tham số. Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho.

b) Cho hai số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải

a) .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Áp dụng ĐL Vi-ét ta có .

Ta có ĐK (*)

Vì thỏa mãn . Do đó, hay vô nghiệm.

Vậy giá trị cần tìm là .

b) Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vì nên .

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi .

+) Vì nên Suy ra .

Mặt khác . Suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.

Giá trị lớn nhất của biểu thức là  đạt được khi

---------------Hết---------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10

BẾN TRE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG LẬP NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chung)

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 2. (2.0 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol Vẽ

b) Tìm để đường thẳng song song với đường thẳng .

c) Hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm B và lần lượt cắt trục tại điểm A, C (hình 1). Xác định tọa độ các điểm A, B, C và tính diện tích tam giác ABC.

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Tìm để phương trình: vô nghiệm.

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho tam giác vuông tại đường cao Biết Tính đọ dài đường cao tính và chu vi tam giác

Câu 5. (1,5 điểm)

a) Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019-2020, học sinh hai lớp 9A và 9B tặng lại thư viện trường 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B tặng 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.

b) Một bồn chứa xăng đặt trên xe gồm hai nửa hình cầu có đường kính là và một hình trụ có chiều dài (hình 2). Tính thể tích của bồn chứa xăng (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy).

Câu 6. (2.0 điểm)

Cho tam giác vuông cân ở đường cao Trên lấy điểm và vẽ đường tròn đường kính Kẻ cắt tại và cắt đường tròn tại Đường thẳng cắt đường tròn tại Chứng minh rằng:

a) Tứ giác là một tứ giác nội tiếp.

b)

----------HẾT----------

ĐÁP ÁN

Bài 1 (2 điểm)

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

1) 2) 3)

Bài 2 (1,5 điểm) Cho Parabol và đường thẳng ( là tham số)

1) Vẽ đồ thị

2) Gọi là hai giao điểm phân biệt của và Tìm tất cả các giá trị của tham số để và

Bài 3 (1,5 điểm) Cho phương trình: ( là tham số).

Tìm các giá trị của tham số để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả điều kiện:

Bài 4 (1,5 điểm)

Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm.

Bài 5. (3,5 điểm)

Cho đường tròn . Từ một điểm ở ngoài đường tròn sao cho , vẽ hai tiếp tuyến với ( là hai tiếp điểm). Lấy một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên

1) Tính diện tích tứ giác theo

2) Chứng minh:

3) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

4) Giả sử thẳng hàng. Chứng minh:

HẾT

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Bài 1.

1)

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

2)

(*)

Đặt . Khi đó ta có phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

3) Ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Bài 2.

1) Vẽ đồ thị hàm số

Ta có bảng giá trị

Vậy đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm

Đồ thị hàm số

2) Gọi là hai giao điểm phân biệt của và Tìm tất cả các giá trị của tham số để và

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và là:

(*)

Theo đề bài ta có: cắt tại hai điểm phân biệt

(*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy với thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài ta có:

Kết hợp các điều kiện của ta được

Vậy thoả mãn bài toán.

Bài 3.

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt ()

+Áp dụng định lí Vi-ét.

+Sử dụng các biến đổi và .

Cách giải:

.

Ta có .

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì (*).

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: .

Theo bài ra ta có:

Mà .

Ta có:

.

Với thoả mãn điều kiện (*).

Vậy có 2 cặp số thoả mãn yêu cầu bài toán là hoặc .

Chú ý: Khi tìm được cặp số phải đối chiếu lại với điều kiện.

Bài 4

Phương pháp:

Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là (sản phẩm) ( )

Dựa vào các giả thiết bài cho để biểu diễn số sản phẩm tổ công nhân sản xuất theo kế hoạch và thời gian tổ hoàn thành sản phẩm theo kế hoạch và theo thực tế.

Lập phương trình và giải phương trình.

Đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là (sản phẩm) ( )

Thời gian thực tế mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm là: (ngày).

Theo kế hoạch mỗi ngày tổ công nhân đó sản xuất được số sản phẩm là: (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm là: ngày.

Theo đề bài ta có thời gian thực tế hoàn thành xong sớm hơn so với thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình:

Vậy thực tế mỗi ngày tổ công nhân đã làm được14 sản phẩm.

Chú ý: Nếu bạn học sinh nào gọi số sản phẩm tổ công nhân dự định làm trong 1 ngày thì sau khi giải phương trình, ta cần tìm số sản phẩm tổ công nhân làm được theo kế hoạch rồi mới kết luận.

Bài 5

Cách giải

1. Tính diện tích tứ giác theo .

Xét tam giác và tam giác ta có:

(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau);

(c.c.c)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:

.

(đvdt).

2) Chứng minh

Xét tứ giác có: Tứ giác là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Mà (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung của )

(đpcm).

3. Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

Xét tứ giác ta có

Mà hai góc này là hai góc đối diện

là tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn ta có:

Xét ta có:

Lại có: ;

Mà là hai góc đối diện Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

4) Giả sử thẳng hàng. Chứng minh:

Theo đề bài ta có: thẳng hàng là trung điểm của

Ta có: là trung điểm của .

Lại có: là đường trung trực của

Xét ta có:

Xét có: là tam giác đều.

(đpcm)

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

2) Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của để .

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Cho parabol và đường thẳng .

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ .

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt tại điểm có hoành độ bằng .

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình:

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình (1) với là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi .

b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa .

2) Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mũ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và song trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mũ cao su.

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại có đường cao và đường trung tuyến . Biết . Hãy tính và diện tích tam giác .

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi là trung điểm của , qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và . Trên cung nhỏ lấy điểm ( khác và ). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tính giá trị của các biểu thức sau:

2) Cho biểu thức với .

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của để .

Lời giải

a) Rút gọn biểu thức .

b) Tìm giá trị của để .

Vậy thì .

Câu 2. (2,0 điểm)

1) Cho parabol và đường thẳng .

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ .

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt tại điểm có hoành độ bằng .

Lời giải

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ .

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số là đường Parabol đi qua các điểm ; ; và nhận làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm và điểm

b) Viết phương trình đường thẳng song song với và cắt tại điểm có hoành độ bằng .

Lời giải

Vì đường thẳng song song với nên ta có phương trình của đường thẳng

Gọi là giao điểm của parabol và đường thẳng .

Mặt khác, , thay tọa độ của điểm vào phương trình đường thẳng , ta được: (nhận)

Vậy phương trình đường thẳng

2) Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình (1) với là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi .

b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa .

Lời giải

a) Giải phương trình (1) khi .

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy thì phương trình (1) có 2 nghiệm:

b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa .

Lời giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi

Theo đề bài, ta có:

Đặt , ta có:

(vì )

(nhận)

2) Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mũ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và song trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác được bao nhiêu tấn mũ cao su.

Lời giải

Gọi số tấn mũ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là (tấn)

(Điều kiện: )

Thời gian dự định khai thác mũ cao su của nông trường là: (ngày)

Trên thực tế, mỗi ngày nông trường khai thác được: (tấn)

Thời gian thực tế khai thác mũ cao su của nông trường là: (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình:

(1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

(nhận) hoặc (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày nông trường cao su khai thác 26 tấn.

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho tam giác vuông tại có đường cao và đường trung tuyến . Biết . Hãy tính và diện tích tam giác .

Lời giải

Xét vuông tại , theo định lí Pitago, ta có:

Xét vuông tại , có đường cao .

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Xét vuông tại , theo định lí Pitago, ta có:

vuông tại , là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Diện tích tam giác :

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi là trung điểm của , qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và . Trên cung nhỏ lấy điểm ( khác và ). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh .

c) Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh .

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.

Vì tại nên ;

Ta có: (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác có:

Mà là hai góc đối nhau.

Suy ra: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

Xét và có:

;

là góc chung;

Do đó:

Vậy

c) Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh .

Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho

Xét có là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (vì là trung điểm của )

cân tại .

Mà

là tam giác đều

Ta có: (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

vuông tại .

Xét vuông tại có:

(1)

Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp nên

Mặt khác: (cách dựng) cân tại

Và là tam giác đều. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Xét vuông tại có:

Mà tại

là trung điểm của (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung).

(vì )

Xét và có:

(Hai góc nội tiếp cùng chắn )

Do đó:

(Hai cạnh tương ứng)

Mà (vẽ hình)

Suy ra:

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT

NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: Toán

Ngày thi: 06/06/2019

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

Đề chính thức

1. Câu 1: 1. Giải phương trình: .

2. Cho biểu thức: với

a) Tính giá trị biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức khi .

1. Câu 2: 1. Cho phương trình: . Tìm để phương trình trên có một nghiệm
2. bằng . Tính nghiệm còn lại.

2. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng

Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng và .

1. Câu 3: Hai đội công nhân cùng làm chung trong giờ thì hoàn thành được công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?
2. Câu 4: Cho đường tròn tâm , bán kính và một đường thẳng không cắt đường tròn . Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại điểm . Trên đường thẳng lấy điểm (khác điểm ), qua vẽ hai tiếp tuyến và với đường tròn , ( và là các tiếp điểm) sao cho và nằm về hai phía của đường thẳng .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh rằng và là điểm cố định khi điểm chạy trên đường thẳng cố định.

c) Khi . Tính diện tích tam giác theo .

1. Câu 5: Cho là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

LỜI GIẢI

Câu 1.

1. Giải phương trình: .

2. Cho biểu thức: với

a) Tính giá trị biểu thức khi .

b) Rút gọn biểu thức khi .

Lời giải

1. Ta có

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là .

2.

a) Khi , ta có

.

Vậy khi thì .

b) Với , ta có

Vậy khi thì .

Câu 2.

1. Cho phương trình: . Tìm để phương trình trên có một nghiệm bằng . Tính nghiệm còn lại.

2. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng

Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng và .

Lời giải

1.

Thay vào phương trình ta được

Thay vào phương trình ta được

Ta có các hệ số: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là .

Vậy với phương trình đã cho có một nghiệm bằng , nghiệm còn lại là .

2. Phương trình đường thẳng .

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .

Câu 3. Hai đội công nhân cùng làm chung trong giờ thì hoàn thành được công việc. Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là (giờ, ).

Thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là (giờ, ).

Mỗi giờ đội thứ nhất làm được công việc, đội thứ hai làm được công việc.

Trong giờ đội thứ nhất làm được công việc, đội thứ hai làm được công việc.

Theo đề ta có hệ phương trình

thế vào ta được

Vậy nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 15 giờ, đội thứ hai là 10 giờ.

Câu 4. Cho đường tròn tâm , bán kính và một đường thẳng không cắt đường tròn . Dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại điểm . Trên đường thẳng lấy điểm (khác điểm ), qua vẽ hai tiếp tuyến và với đường tròn , ( và là các tiếp điểm) sao cho và nằm về hai phía của đường thẳng .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.

b) Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh rằng và là điểm cố định khi điểm chạy trên đường thẳng cố định.

c) Khi . Tính diện tích tam giác theo .

Lời giải

a) Ta có ,

Xét tứ giác có

nên là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có nên là tứ giác nội tiếp và đỉnh cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông nên năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính

Xét tam giác và tam giác có (đối đỉnh) và (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ). Do đó .

Xét tứ giác có là góc nội tiếp chắn cung OB, là góc nội tiếp chắn cung OA; Mà nên .

Xét và có góc chung và (cmt).

Do đó .

Ta lại có đường thẳng cố định nên OH không đổi ().

Vậy điểm cố định khi chạy trên đường thẳng cố định.

c) Gọi là giao điểm của OK và AB

Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB;

Lại có nên OK là đường trung trực của AB, suy ra tại và .

Theo câu b) ta có .

Xét vuông tại , có

Suy ra

Xét vuông tại , có

Suy ra

Diện tích là .

Câu 5. Cho là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải

Với , ta có

Vì và .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương , ta có

Suy ra .

Dấu đẳng thức xảy ra .

Mà

Vậy tại hoặc

ĐỀ THI GỒM 2 PHẦN: TRẮC NGHIỆM VÀ TỰ LUẬN

HƯỚNG DẪN GIẢI

Mã đề 401

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm; gồm 20 câu, từ câu 1 đến câu 20).

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu 1: Giá trị rút gọn của biểu thức

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Câu 2: Gọi là hai nghiệm của phương trình Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Áp dụng định lý Vi – et cho phương trình trên:

Câu 3: Trên đường tròn lấy các điểm phân biệt sao cho (như hình vẽ bên dưới). Số đo của bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

(Tính chất góc nội tiếp chắn cung)

Câu 4: Cho hàm số có đồ thị là đường thẳng như hình vẽ bên dưới. Hệ số góc của đường thẳng bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta thấy đi qua điểm nên:

Vậy hệ số góc của là

Câu 5: Điều kiện của đề biểu thức có nghĩa là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi:

Câu 6: Hàm số nào sau đâu là hàm số bậc nhất?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Hàm số bậc nhất có dạng

Câu 7: Bạn Thanh trình bày Lời giải hệ phương trình theo các bước sau:

*Bước 1: Hệ phương trình đã cho tương đường với

*Bước 2: Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được Suy ra

*Bước 3: Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được

*Bước 4: Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Số bước giải đúng trong Lời giải của bạn Thanh là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu 8: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đó là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số có bề lõm hướng lên và đi qua điểm nên và

Vậy hàm số đó là

Câu 9: Cho đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Biết khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng 8 cm và độ dài đoạn thẳng bằng 12 cm. Bán kính của đường tròn bằng

A. 10 cm. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Gọi là chân đường cao kẻ từ lên

và là trung điểm của

Xét tam giác vuông tại có:

Câu 10: Xét hai đường tròn bất kỳ có tâm không trùng nhau và Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong thì

B. Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì

C. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì

D. Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì

Lời giải

Chọn A

Câu 11: Điểm nào sau đây là giao điểm của đường thẳng và parabol

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Giao điểm cần tìm là và .

Câu 12: Diện tích của một hình tròn có bán kính bằng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Diện tích hình tròn có bán kính là

Câu 13: Nghiệm của hệ phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Tự luận

Nghiệm của hệ phương trình là .

Trắc nghiệm

Bấm máy: và nhập các hệ số tương ứng của hệ phương trình.

Câu 14: Tập nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Tự luận

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là

Trắc nghiệm

và nhập các hệ số tương ứng của phương trình.

Câu 15: Thể tích của một hình cầu có bán kính bằng là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Thể tích của hình cầu có bán kính là .

Câu 16: Cho điểm là giao điểm của hai đường thẳng và như hình vẽ bên.

Cặp số là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Dựa hình vẽ, giao điểm của đường thẳng và là

HPT có nghiệm là .

HPT có nghiệm là .

HPT có nghiệm là .

HPT có nghiệm là .

Câu 17: Khi thả chìm hoàn toàn tượng một con ngựa nhỏ bằng đá vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên và không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng Thể tích của tượng ngựa đá bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Thể tích phần nước trong ly dâng lên chính là thể tích của tượng ngựa đá.

Diện tích đáy ly nước hình trụ là

Chiều cao mực nước dâng lên .

Thể tích cần tìm là

Câu 18: Anh Bình đứng tại vị trí cách một đài kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh của đài này dưới một góc so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên dưới). Biết khoảng cách từ mắt của anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m. Chiều cao của đài kiểm soát không lưu bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Xét vuông tại ta có

Chiều cao của đài kiểm soát không lưu bằng

Câu 19: Cho đường thẳng song song với đường thẳng và cắt trục tung tại điểm Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

Vậy .

Câu 20: Đề chuẩn bị tốt cho việc tham gia kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT, bạn An đến của hàng sách mua thêm 1 bút bi để làm bài tự luận và 1 bút chì để làm bài trắc nghiệm khách quan. Bạn An trả cho của hàng hết 30000 đồng khi mua hai cây bút trên. Mặt khác, người bán hàng cho biết tổng số tiền thu được khi bán 5 bút bi và 3 bút chì bằng với tổng số tiền thu được khi bán 2 bút bi và 5 bút chì. Giá bán của mỗi bút bi và mỗi bút chì lần lượt là

A. 12000 đồng và 18000 đồng. B. 18000 đồng và 12000 đồng.

C. 16000 đồng và 14000 đồng. D. 14000 đồng và 16000 đồng.

Lời giải

Chọn A

Gọi gia bán của một bút bi và một bút chì lần lượt là và (đồng) với

Số tiền khi mua 1 bút bi và 1 bút chì:

Số tiền 5 bút bi và 3 bút chì bằng 2 bút bi và 5 bút chì:

Giải hệ phương trình

Vậy giá mỗi bút bi là đồng và giá mỗi bút chì là đồng.

B. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm; gồm 4 câu, từ câu 1 đến câu 4).

Câu 1: (0,5 điểm) Vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải

Bảng giá trị

Vẽ đồ thị hàm số

Câu 2: (1,5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

b)

c)

Lời giải

a)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

Vậy tập nghiệm của phương trình

b)

Đặt

Phương trình trở thành

Với ta được

Vậy tập nghiệm của phương trình

c)

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu 3: (1,5 điểm)

a) Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol và đường thẳng ( là tham số thực). Tìm các giá trị của để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thoả mãn điều kiện

b) Trong kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2019, tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và trường THPT B là 900 học sinh. Do cả hai trường đều có chất lượng giáo dục rất tốt nên sau khi hết hạn thời gian điều chỉnh nguyên vọng thì số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A và Trường THPT B tăng lần lượt là 15% và 10% so với chỉ tiêu ban đầu. Vì vậy, tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010. Hỏi số lượng thí sinh đăng ký dự tuyển của mỗi trường là bao nhiêu?

Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của và là

và cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt

với mọi

Ta có là giao điểm của và nên với là hai nghiệm của phương trình

Áp dụng định lý Vi – et đối với

Theo đề bài ta có

Vậy hoặc thoả mãn yêu cầu bài toán.

b) Gọi (thí sinh) lần lượt là chỉ tiêu của trường THPT A và THPT B và

Tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và trường THPT B là 900 học sinh:

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là (thí sinh)

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là (thí sinh)

Tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là thí sinh.

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là thí sinh.

Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm Các đường cao và cắt nhau tại thuộc thuộc Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và

a) Chứng minh các tứ giác và nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh là trực tâm của tam giác

Lời giải

a) Ta có:

thuộc đường tròn đường kính

Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

Do lần lượt là trung điểm và

Tứ giác có:

mà và là hai góc đối nhau

là tứ giác nội tiếp.

b) Cách 1:

là lần lượt là trung điểm của là đường trung bình của

(so le trong)

Mặt khác, ta có:

(tứ giác nội tiếp)

(kề bù)

Từ và

Xét và có:

góc chung

Cách 2:

Xét và có:

góc chung

c) là giao điểm của và là trực tâm của

mà nên

Gọi là giao điểm của và

Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác

(góc nội tiếp cùng chắn cung )

Xét có:

cắt tại

Từ là trực tâm của

------------------------- Hết -------------------------

Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Bài 1: (1,5điểm)

a) Tính :

b) Cho biểu thức với . Tìm x sao cho B có giá trị là 18.

Bài 2: (2,0 điểm )

a) Giải hệ phương trình :

b) Giải phương trình :

Bài 3: ( 1,5 điểm )

Cho hai hàm số và y = -2x + 4.

a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ hai giao điểm A và B của hai đồ thị đó. Tính khoảng cách từ điểm M (-2 ; 0) đến đường thẳng AB.

Bài 4 : (1 điểm)

Cho phương trình , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:

Bài 5:(1 điểm )

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 80m². Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 20m². Tính kích thước của mảnh đất.

Bài 6: (3 điểm )

Cho đường tròn (O) tâm O, đường kính AB và C là điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( với C khác B). Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Gọi K là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn đường kính BC.

a) Chứng minh tứ giác DHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CE song song với AD và ba điểm E, C, K thẳng hàng.

c) Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N ( với M thuộc cung nhỏ ). Chứng minh rằng

----------------------------Hết----------------------------

Lời giải:

Bài 1:

1. a)

b)

Bài 2:a)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;2).

b)

Đặt ta được

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vì nên ta chọn

Vậy

Bài 3:

a) Học sinh tự vẽ

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

Phương trình có dạng

Với

Với

Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm A(1;2) và B(-2;8)

b)

Gọi H là hình chiếu của M lên (d) thì MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng AB.

Gọi C, D lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy

Trong đó

Vậy khoảng cách cần tìm là

Bài 4: Ta có: (1)

Suy ra Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Phương trình (1) có dạng

Suy ra phương trình có nghiệm và

Th1: Nếu và

Theo đề ta có:

TH2: Nếu và

Theo đề ta có :

Loại vì vế trái luôn dương

Vậy thì thỏa mãn điều kiện của bài toán

Bài 5: Gọi x (mét) là chiều rộng của mảnh đất :

Y (mét) là chiều dài của mảnh đất:

Điều kiện:

Diện tích mảnh đất là 80 m2 nên ta có phương trình:

Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là x – 3 (m).

Nếu tăng chiều dài lên 10m thì chiều dài mới là y + 10 (m).

Theo đề ta có:

Vậy chiều dài mảnh đất là 10m, chiều rộng là 8m.

Bài 6:

a) Ta có

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC)

( Kè bù với )

Xét tứ giác DHKC ta có:

Mà và đối nhau

Suy ra DHKC là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có H là trung điểm của DE ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Tứ giác ADCE có H là trung điểm của AC và DE và

Nên ADCE là hình thoi

AD // CE.

Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Mà (cmt)

hai đường thẳng CE và CK trùng nhau E, C, K thẳng hàng.

c) Vẽ đường kính MI của đường tròn O

Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MI)

Mà

NI // DE ( cùng vuông góc với MN)

DN = EI (hai dây song song chắn hai cung bằng nhau)

Ta lại có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MI)

vuông tại E

( Định lý py-ta-go)

Mà DN = EI

MI = AB =2R