Phương pháp giải toán 9 giải bài toán bằng cách lập phương trình

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Bài 8. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Bước 1. Lập phương trình
• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
• Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số;
• Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết;
• Bước 2. Giải phương trình;
• Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm dm và cạnh đáy giảm đi dm thì diện tích của nó tăng thêm dm. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

ĐS: và .

Ví dụ 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích m. Nếu tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

ĐS: và .

Ví dụ 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng . Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là . Tìm số đã cho. ĐS: .

Ví dụ 4. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là . Tìm hai số đó.

ĐS: và .

Ví dụ 5. Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định ngày. Hỏi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? ĐS: .

Ví dụ 6. Một người dự định sản xuất sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của người đó. ĐS: .

Ví dụ 7. Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? ĐS: và .

Ví dụ 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong giờ phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? ĐS: và .

Ví dụ 9. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ hai đỉnh và cách nhau km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ tăng vậc tốc thêm km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ . ĐS: và .

Ví dụ 10. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ để đi đến với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy phút. Tính vận tốc mỗi xe. ĐS: và .

Ví dụ 11. Một ca nô xuôi từ đến với vận tốc xuôi dòng là km/h, sau đó lại ngược từ về . Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là giờ phút. Tính khoảng cách giữa hai bến và biết vận tốc dòng nước là km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược dòng là không đổi.

ĐS: .

Ví dụ 12. Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài km, cả đi và về mất giờ phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là km/h. ĐS: .

Ví dụ 13. Hai giá sách có cuốn. Nếu chuyển cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá. ĐS: và .

Ví dụ 14. Có hai thùng dầu chứa tất cả lít dầu. Biết rằng nếu rót từ thùng thừ nhất sang thùng thứ hai lít dầu thì số dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số dầu ban đầu ở mỗi thùng.

ĐS: và .

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là m. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm m. ĐS: và .

Bài 2. Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng . Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là . Tìm số đã cho. ĐS: .

Bài 3. Một đội xe theo kế hoạch chở hết tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định ngày và chở thêm được tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? ĐS: .

Bài 4. Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong ngày thì xong công việc. Nếu đội thứ nhất làm ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp ngày thì được công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao nhiêu ngày? ĐS: và .

Bài 5. Quãng đường từ A đến B dài km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. ĐS: .

Bài 6. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng km, sau đó chạy xuôi dòng km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng giờ. ĐS: .

Bài 7. Hùng và Long có tất cả viên bi. Nếu Hùng cho Long viên, thì số bi của Long gấp số bi của Hùng. Tính số bi ban đầu của Long và Hùng. ĐS: và .

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm dm và cạnh đáy giảm đi dm thì diện tích của nó tăng thêm dm. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.

Lời giải.

Gọi (dm) là chiều cao của tam giác lúc ban đầu, .

Suy ra cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu là (dm).

Diện tích tam giác ban đầu là (dm).

Diện tích tam giác sau khi tăng chiều cao thêm dm và giảm cạnh đáy đi dm là (dm).

Theo đề, diện tích tam giác tăng thêm dm cho nên ta có phương trình

(thỏa đk).

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tam giác lúc ban đầu lần lượt là dm và dm.

1. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích m. Nếu tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn.

Lời giải.

Gọi (m) là chiều dài của mảnh vườn .

Khi đó chiều rộng của mảnh vườn là (m).

Diện tích của mảnh vườn sau khi tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m là (m).

Vì diện tích sau khi tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m vẫn không đổi, do đó ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (thỏa đk) và (không thỏa đk).

Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu lần lượt là m và m.

1. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng . Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là . Tìm số đã cho.

Lời giải.

Gọi chữ số hàng chục là , .

Khi đó chữ số hàng đơn vị là .

Tích của hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy số tự nhiên cần tìm là .

1. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là . Tìm hai số đó.

Lời giải.

Gọi , , là hai số tự nhiên liên tiếp.

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy hai số cần tìm là và .

1. Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định ngày. Hỏi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Lời giải.

Gọi (sản phẩm) là số sản phẩm phân xưởng dự định mỗi ngày sản xuất được .

Khi đó số ngày hoàn thành kế hoạch trên dự định sẽ là (ngày).

Do mỗi ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên số sản phẩm mỗi ngày trên thực tế sản xuất được là (sản phẩm).

Khi đó số ngày hoàn thành kế hoạch trên thực tế sẽ là (ngày).

Vì phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định ngày nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm.

1. Một người dự định sản xuất sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của người đó.

Lời giải.

Gọi năng suất dự kiến của người đó là , .

Khi đó thời gian hoàn thành dự kiến sẽ là (giờ).

Do tăng năng suất sản phẩm mỗi giờ nên năng suất trên thực tế là .

Khi đó thời gian hoàn thành trên thực tế sẽ là (giờ).

Vì thời gian hoàn thành sớm hơn dự kiến giờ nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy năng suất dự kiến của người đó là sản phẩm mỗi giờ.

1. Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?

Lời giải.

Gọi (giờ) là số giờ người thứ nhất làm một mình xong công việc .

Khi đó trong một giờ người thứ nhất làm được công việc;

và trong giờ người thứ nhất làm được công việc.

Do mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất làm xong công việc ít hơn người thứ hai giờ cho nên số giờ người thứ hai làm một mình xong công việc là (giờ).

Khi đó trong một giờ người thứ hai làm được công việc;

và trong giờ người thứ hai làm được công việc.

Như vậy ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Như vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm xong công việc trong giờ và người hai làm xong công việc trong giờ.

1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong giờ phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?

Lời giải.

Gọi (giờ) là số giờ vòi thứ nhất chảy riêng thì đầy bể ().

Khi đó trong một giờ vòi thứ nhất chảy được bể;

và trong giờ phút ( giờ) vòi thứ nhất chảy được bể.

Vì nếu chảy riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai giờ nên số giờ vòi thứ hai chảy riêng thì đầy bể là giờ.

Khi đó trong một giờ vòi thứ hai chảy được bể;

và trong giờ vòi thừ hai chảy được bể.

Như vậy ta có phương trình Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Như vậy nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy trong giờ và vòi thứ hai chảy trong giờ thì đầy bể.

1. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ hai đỉnh và cách nhau km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ tăng vậc tốc thêm km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ .

Lời giải.

Gọi (km/h) là vận tốc của ô tô xuất phát từ A ().

Vì ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm km/h bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ B nên vận tốc của ô tô xuất phát từ B sẽ là (km/h).

Sau giờ (lúc gặp nhau) quãng đường ô tô thứ nhất đi được là (km) và quãng đường ô tô thứ hai đi được là (km).

Như vậy ta có phương trình Giải phương trình này ta được (thỏa đk).

Vậy vận tốc của ô tô xuất phát từ A là km/h và ô tô xuất phát từ B là km/h.

1. Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ để đi đến với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường dài km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy phút. Tính vận tốc mỗi xe.

Lời giải.

Gọi (km/h) là vận tốc của ô tô .

Do vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy km/h nên vận tốc xe máy là (km/h).

Thời gian ô tô và xe máy đi hết quãng đường AB lần lượt là (giờ), giờ.

Vì ô tô đến sớm hơn xe máy phút ( giờ) cho nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là km/h và km/h.

1. Một ca nô xuôi từ đến với vận tốc xuôi dòng là km/h, sau đó lại ngược từ về . Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược là giờ phút. Tính khoảng cách giữa hai bến và biết vận tốc dòng nước là km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược dòng là không đổi.

Lời giải.

Gọi (km) là khoảng cách giữa hai bến A và B .

Thời gian ca nô xuôi dòng là (h).

Vận tốc thực của ca nô là (km/h).

Suy ra vận tốc ngược dòng của ca nô là (km/h).

Thời gian ca nô ngược dòng là (km/h).

Vì thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược dòng là giờ phút ( giờ) nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (thỏa đk).

Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là km.

1. Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài km, cả đi và về mất giờ phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là km/h.

Lời giải.

Gọi (km/h) là vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng .

Suy ra vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của tàu thủy lần lượt là và (km/h).

Thời gian xuôi dòng và ngược dòng của tàu thủy lần lượt là (h) và (h).

Thời gian cả đi lẫn về là giờ phút nên ta có phương trình sau

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là km/h.

1. Hai giá sách có cuốn. Nếu chuyển cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên mỗi giá.

Lời giải.

Gọi (cuốn) là số sách trên giá thứ nhất .

Suy ra số sách trên giá thứ hai sẽ là . (cuốn)

Theo đề ta có phương trình sau .

Giải phương trình này ta được (thỏa đk).

Vậy số sách trên giá sách thứ nhất và thứ hai lần lượt là cuốn và cuốn.

1. Có hai thùng dầu chứa tất cả lít dầu. Biết rằng nếu rót từ thùng thừ nhất sang thùng thứ hai lít dầu thì số dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số dầu ban đầu ở mỗi thùng.

Lời giải.

Gọi (lít) là số lít dầu ban đầu ở thùng thứ nhất .

Suy ra số lít dầu ban đầu ở thùng thứ hai là lít.

Theo đề ta có phương trình

Vậy số lít dầu ban đầu ở thùng thứ nhất và thùng thứ hai lần lượt là lít và lít.

1. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là m. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm m.

Lời giải.

Gọi (m) là chiều rộng của của thửa ruộng .

Khi đó chiều dài của thửa ruộng là (m).

Diện tích của thửa ruộng sau khi tăng chiều rộng lên m và giảm chiều dài đi m là (m).

Vì diện tích của thửa ruộng tăng thêm m nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng lần lượt là m và m.

1. Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng . Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là . Tìm số đã cho.

Lời giải.

Gọi chữ số hàng chục là , .

Khi đó chữ số hàng đơn vị là .

Tích của hai chữ số đó nhỏ hơn số đã cho là đon vị nên ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy số cần tìm là .

1. Một đội xe theo kế hoạch chở hết tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định ngày và chở thêm được tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Lời giải.

Gọi (ngày) là số ngày đội xe dự định hoàn thành công việc .

Khi đó mỗi ngày đội xe dự định chở được (tấn).

Do hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định ngày nên số ngày thực tế hoàn thành công việc là (ngày).

Khi đó mỗi ngày trên thực tế đội xe chở được là (tấn).

Vì mỗi ngày chở vượt mức tấn và chở thêm đươc tấn cho nên ta có phương trình

Giải phương trình trên ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày.

1. Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong ngày thì xong công việc. Nếu đội thứ nhất làm ngày, sau đó đội thứ hai làm tiếp ngày thì được công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì mất bao nhiêu ngày?

Lời giải.

Gọi (ngày) là số ngày đội xe thứ nhất làm một mình xong công việc .

Khi đó trong ngày đội xe thứ nhất làm một mình được công việc.

Vì đội thứ thứ nhất làm một mình trong ngày, sau đó đội thứ hai làm một mình tiếp ngày thì được công việc cho nên đội thứ hai làm một mình trong ngày thì được công việc.

Suy ra trong ngày đội thứ hai làm một mình được công việc.

Ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (thỏa đk).

Vậy nếu làm một mình thì đội thứ nhất làm xong công việc hết ngày, đội hai làm xong công việc hết ngày.

1. Quãng đường từ A đến B dài km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về A là giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Lời giải.

Gọi (km/h) là vận tốc xe máy đi từ A đến B .

Suy ra thời gian xe máy đi từ A đến B là (h).

Vận tốc của xe máy đi trở về từ B đến A là (km/h).

Suy ra thời gian xe máy trở về từ B đến A là (h).

Ta có phương trình

Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là km/h.

1. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng km, sau đó chạy xuôi dòng km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng giờ.

Lời giải.

Gọi (km/h) là vận tốc thực của tàu tuần tra .

Vận tốc xuôi dòng và ngược dòng của tàu tuần tra là lần lượt là (km/h) và (km/h).

Khi đó thời gian xuôi dòng và ngược dòng của tàu tuần tra lần lượt là (h) và (h).

Thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng giờ nên ta có phương trình Giải phương trình này ta được (không thỏa đk) và (thỏa đk).

Vậy vận tốc thực của tàu tuần tra là km/h.

1. Hùng và Long có tất cả viên bi. Nếu Hùng cho Long viên, thì số bi của Long gấp số bi của Hùng. Tính số bi ban đầu của Long và Hùng.

Lời giải.

Gọi (viên bi) là số bi ban đầu của Hùng .

Suy ra số bi ban đầu của Long là (viên bi).

Theo đề ta có phương trình

Vậy số bi ban đầu của Hùng và Long lần lượt là và viên.

--- HẾT ---