Phương pháp giải hệ thức giữa các tỉ số lượng giác toán 9

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Chuyên đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC VÀ

A. Đặt vấn đề

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho , chứng minh rằng

Áp dụng: Cho tính

Giải

Xét vuông tại A,

Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.

Khi đó

Ta có cân tại M, do đó

vuông tại A, ta có ;

Xét vuông tại H, ta có

Ta có

Từ và suy ra

Áp dụng: Nếu thì

Do đó . Vậy

Nhận xét: Việc xét vuông tại A là để có và . Việc vẽ đường trung tuyến AM là để xuất hiện . Vẽ thêm đường cao AH để có thể tính

Ví dụ 2. Cho . Chứng minh các hệ thức sau:

a)

b)

Giải

a) Ta có

Do đó:

Vì nên (xem bài 2.26). Vậy

Lưu ý: Tiếp tục biến đổi các hệ thức trên ta được các hệ thức sau

Vậy

b) Ta có

Chia cả tử và mẫu cho ta được:

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại C,, với . Chứng minh rằng:

Giải

vuông tại C nên

Mặt khác, nên

Ta có nên

Do đó

Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy tính:

,,

Giải

Tìm hướng giải

Vì bằng một nửa của góc , nên ta dùng công thức tỉ số lượng giác của góc nhân đôi để giải.

Trình bày lời giải

Ta có

Với , ta được:

Suy ra

Ta có

Với , ta được:

Suy ra

C. Bài tập vận dụng

4.1. Cho , chứng minh rằng

4.2. Cho

a)

b)

4.3. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: ,,

4.4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: ,,

4.5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính:

,,

4.6. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính:

a)

b) Từ đó hãy tính , ,,

4.7. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Đặt , tính

4.8. Cho tam giác ABC vuông tại A, , . Vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng:

4.9. Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho , . Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng là tam giác cân

4.10. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

4.1. Ta có

Do đó

Ta có nên

4.2.

a) Ta có

Do đó

Vậy

b) Từ công thức suy ra

Do đó . Vậy

4.3. Ta có

Với , ta được:

Do đó

Với , ta được:

Do đó

Ta có

Cách giải khác: Tính trực tiếp theo định nghĩa tỉ số lượng giác.

Cách thứ nhất

Xét vuông tại A, ,

Để tính , , ta cần phải biết AB, BC

Vẽ đường trung trực của BC cắt AB tại N.

cân tại N. Ta có

Xét vuông tại A có , nên

;

Xét vuông tại A có

Do đó

Vậy

Cách thứ hai

Xét vuông tại A, ,

Vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH.

Ta có

cân tại M,

Xét vuông tại H, nên

Ta có

Suy ra

Ta có

Vậy

4.4. Dùng kết quả bài 4.3 ta được:

4.5. Dùng kết quả ví dụ 4 ta được:

4.6.

a) Vẽ cân tại A, , . Khi đó

Vẽ đường phân giác BD

Dễ thấy các tam giác BCD, ABD là những tam giác cân.

Do đó . Vẽ thì

Ta đặt

Xét vuông tại H, ta có

Do đó

Xét có ;

Vì BD là đường phân giác nên:

Vậy

b) Vận dụng hệ thức ta được

Cũng vận dụng hệ thức trên ta được

Do đó

Từ đó suy ra

4.7. Ta đặt thì BM = DN = a

Dùng định lí Py-ta-go ta tính được

Đặt , khi đó

Vậy và là hai góc phụ nhau

Ta có

Cách giải khác

Gọi H là giao điểm của AN với DM

. Suy ra

Ta có nên

Suy ra

Ta đặt thì ,

Suy ra

Do đó

Ta có

4.8.

vuông cân tại A, AM là đường trung tuyến nên

cân tại M

Xét vuông cân ta có

Ta có

Vì nên

Do đó

4.9. cân tại A, nên

Ta có

Áp dụng định lí vào các tam giác OBM, OAB, OAN ta được:

Vì nên:

Suy ra do đó cân tại O

4.10. Ta có ; ;

Ta có

Bất đẳng thức cuối đúng (xem bài 2.8). Do đó bất đẳng thức đã cho là đúng.