Các dạng toán về phương trình bậc hai liên quan đến hệ thức vi-et có lời giải
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
Câu 1: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: .
Đáp án:
a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 4.6 = 1 . Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m
Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ 0 (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
Mặt khác theo bài ra thì (3). Từ (1) và (3) suy ra x1 = 4; x2 = 1 hoặc x1 = 1; x2 = 4 (4)
Từ (2) và (4) suy ra: m = 4. Thử lại thì thoả mãn.
Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2.
Đáp án:
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4
Phương trình (1) có nghiệm (*).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.
Suy ra: ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 = 2
x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = 0(x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0
m2 + m – 2 = 0 .
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Đáp án:
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, ∀m ∈ R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1.
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = ± 1.
Câu 4: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ).
Đáp án:
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆0 - 3 – 4m0 4m (1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3m2 = 4 m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Câu 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1-x2 = 4
Đáp án:
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0
b) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ∆’ = 9 - m ≥ 0 m ≤ 9
Theo hệ thứcViét ta có
Theo yêu cầu của bài ra x1 - x2 = 4 (3)
Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 6: Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2.
Đáp án:
a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11
x1 = ; x2 =
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > (*)
Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0
m2 - 4m = 0 (thoả mãn điều kiện (*))
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.
Câu 7: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0.
a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = 0.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích 2 nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng 2 nghiệm của phương trình.
Đáp án:
a) Phương trình có nghiệm x = 0 nên: m + 1 = 0.
b) Phương trình có 2 nghiệm khi:
∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ 0 m2 - m2 + 1 ≥ 0, đúng m.
Ta có x1.x2 = 5 = 5 m + 1 = 5m - 5 .
Với m = ta có phương trình: x2 - 3x + x2 - 6x + 5 = 0
Khi đó x1 + x2 =
Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Đáp án:
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
m2 - m + 4 > 0 đúng
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
Theo hệ thức Vi ét ta có:
Ta có = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10
4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10
4m2 - 6m + 10 = 10
c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8
x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Câu 9: Cho phương trình x2 - 2mx - 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
Tìm m để - x1x2 = 7
Đáp án:
a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a. c = 1 . (-1) = -1 < 0
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Do đó:
(2m)2 - 3 . ( -1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1.
Câu 10: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
Đáp án:
a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =
b) Ta có ∆ = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m
= 1 - 16m.
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0
Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m.
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6
m2 + 5m - 6 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6.
Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - 6 là giá trị cần tìm.
Câu 11: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
- Giải phương trình (1) khi m = 2.
- Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2)
Đáp án:
a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0
Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3
b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
3 - m 0 m 3 (1)
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có :
= 5 (x1+ x2) (x+ x)2- 2x1x2 = 5 (x1 + x2)
42 - 2 (m +1) = 5.42 (m + 1) = - 4 m = - 3
Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3
Câu 12: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn
Đáp án:
x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0
a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5
b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0
m = - 20
c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24
= m2 + 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó:
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Câu 13: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:
x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).
Đáp án: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0
x (x2 - 2mx + m2) + x - m = 0
x (x - m)2 + (x - m) = 0
(x - m) (x2 - mx + 1) = 0
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m.
Dễ thấy x = m không là nghiệm của (2). Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
∆ = m2 - 4 > 0 .
Vậy các giá trị m cần tìm là:
Câu 14: Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
.
Đáp án:
a) Với , ta có phương trình: . Các hệ số của phương trình thoả mãn nên phương trình có các nghiệm: , .
b) Phương trình có biệt thức nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi .
Theo định lý Viet, ta có: .
Điều kiện đề bài . Từ đó ta có: .
Phương trình này có tổng các hệ số nên phương trình này có các nghiệm .
Vậy các giá trị cần tìm của là .
Câu 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0
biết p + q = 198.
Đáp án:
Phương trình có nghiệm khi 0⬄ p2 + 4q 0; gọi x1, x2 là 2 nghiệm.
- Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q
mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198
⬄ (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 1 . 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z )
Nên ta có :
x1 - 1 | 1 | -1 | 199 | -199 |
x2 - 1 | 199 | -199 | 1 | -1 |
x1 | 2 | 0 | 200 | -198 |
x2 | 200 | -198 | 2 | 0 |
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên:
(2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0)
Câu 16: Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
Đáp:
a) Khi phương trình trở thành
; .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Khi đó theo định lí Vi-et ta có: (1) và (2).
Điều kiện bài toán
(do (1)) (3).
Từ (1) và (3) ta có: . Thay vào (3) ta được: , thoả mãn điều kiện.
Vậy .
Câu 17: Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi và .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: .
Đáp án:
- Khi và ta có phương trình: .
Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm .
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1).
Bài toán yêu cầu (2).
Từ hệ (2) ta có: , kết hợp với (1) được .
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Câu 18: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ).
Đáp án:
a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
- Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆0
1 – 4m0 (1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m
Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:
(m – 1)2 = 9 m2 – 2m – 8 = 0.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Câu 19: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Đáp án:
a) Ta có = m2 + 1 > 0, ∀m ∈ R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7
(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7m2 = 1 m = .
Câu 20: Cho phương trình (1) với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi là các nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = .
Đáp án:
a) Với phương trình trở thành .
nên phương trình có hai nghiệm , .
b) Phương trình có biệt thức với mọi .
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm . Khi đó theo định lý Viet thì .
Biểu thức A = = == = .
Do nên , suy ra A ≥ .
Dấu bằng xảy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , đạt được khi .
Câu 21: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
Đáp án:
a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 + 3x + 2 = 0
Vì a = 1; b = 3; c = 2 => a - b + c = 0
Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - 2
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi: .
Câu 22: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) + m + 1 = 0 với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: Đặt = t, được t2 + 2(m - 1)t + m + 1 = 0 (1)
Phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt ⬄ (1) có 2 nghiệm khác dấu hoặc (1) có nghiệm kép t > 0.
+) (1) Có 2 nghiệm khác dấu <=> m + 1 < 0 <=> m < -1
+) = 0 <=> m2 - 3m = 0 <=>
Thay vào (1) để xét thì m = 0 thỏa mãn, m = 3 bị loại.
Vậy m < - 1 hoặc m = 0.
Câu 23: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án:
a) Với m = 2, ta có phương trình
(x2 - x - 2)(x - 1) = 0 <=>
Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2
b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1
.
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m = - ; m = 0.
Câu 24: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án:
a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t , với ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 4
Từ đó, ta được: .
Vậy phương trình có 4 nghiệm
b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2)
(với y = x2 ; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⬄phương trình (2):
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=> .
2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu .
Vậy m = hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
Câu 25: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
= 1.
Đáp án:
a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - 3 = 0
Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3
b) Phương trình có nghiệm > 0 1 - m > 0 m < 1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1)
(2)
Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 <=> m2 + 2m - 4 = 0
= 1 + 4 = 5 => = nên m = -1 + (loại);
m = - 1 - (T/m vì m < 1).
Vậy giá trị m cần tìm là:
Câu 26: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Đáp án:
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0
= 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.
- Phương trình (1) có nghiệm m2 + 6m
(2)
Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3)
Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi:
(4)
Từ (3), (4), ta có: (TMĐK (2))
Vậy các giá trị m cần tìm là .
Câu 27: Cho phương trình: (1)
a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là . Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là và .
Đáp án :
a) Do nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b) Vì là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có:
, .
Do đó: .
và P =.
Vậy phương trình bậc 2 cần tìm là: .
Câu 28: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = 3.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
Đáp án:
a) Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2
b) Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì
Mà theo ĐL Vi-ét ta có:
Từ ta có:
thoả mãn (*)
Vậy m phải tìm là -2.
Câu 29:Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Đáp án:
a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
⇔⇔
Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.
b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: ⇔
⇔ Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới