Giáo án dạy thêm đại số 8 chủ đề hằng đẳng thức đáng nhớ
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TỔNG | HẰNG ĐẲNG THỨC VIẾT DẠNG TÍCH |
* Bình phương của tổng (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 * Bình phương của hiệu (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 * Lập phương của tổng (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 * Lập phương của hiệu (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 | * Hiệu hai bình phương A2 – B2 = (A + B)(A – B) * Tổng hai lập phương A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) * Hiệu hai lập phương A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) |
*Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC
(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)
(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C)
A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)
A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 +…….. +(-1)n-1 B n-1)
An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 +…….. + B n-1)
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 2
HẲNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
DẠNG 1: Khai triển biểu thức. Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức.
I/ Phương pháp.
- Nhận diện số A và số B trong hẳng đẳng thức.
- Viết khai triển theo đúng công thức của hằng đẳng thức đã học.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
1) (5x + 3yz)2 2) (y2x – 3ab)2 3) (x2 – 6z)(x2 + 6z) 4) (2x – 3)3
5) (a + 2b)3 6) (5x + 2y)2 7) (-3x + 2)2 8)
9) 10) 11) 12)
13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
1) 2) 3) (x – 2y + z)2 4) (2x – y + 3)2
Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:
1) x2 + 2x + 1 2) x2 + 5x + 3) 16x2 – 8x + 1 4) 4x2 + 12xy + 9y2
5) x2 + x + 6) x2 - 3x + 7) + x + 1 8) - x +
Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hay một hiệu:
a) x3 + 3x2 + 3x + 1 b) 27y3 – 9y2 + y -
c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 d) (x + y)3(x – y)3
Bài 5: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) b) c) d)
Bài 7 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) b)
c) d)
Bài 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) b)
c) d)
e) g)
Bài 9 : Viết biểu thức sau dưới dạng tích
a)
b)
c)
d)
DẠNG 2: Rút gọn biểu thức
I/ Phương pháp.
- Khai triển các hằng đẳng thức có trong biểu thức.
- Rút gọn các đơn thức đồng dạng.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a) A = (x + y)2 – (x – y)2
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) E = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
b) F = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1)
c) G = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
d) H = (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2
Bài 3: Rút gọn biểu thức.
a) A = (x + y)2 - (x - y)2
b) B = (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3
c) C = 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
DẠNG 3: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * trong đẳng thức.
I/ Phương pháp.
- Quan sát 2 vế cửa đẳng thức, xem đẳng thức thuộc hằng đẳng thức nào đã học.
- Từ vị trí số hạng đã biết trong hằng đẳng thức, xác định số hạng cần điền vào dấu *
II/ Bài tập vận dụng.
1) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
2) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3
3) x3 - * + * - * = (* - 2y)3
4) (* – 2)(3x + *) = 9x2 – 4
5) 27x3 – 1 = (3x – *)(* + 3x + 1)
6) * + 1 = (3x + 1)(9x2 - * + 1)
7) (2x + 1)2 = * + 4x + *
8) (* - 1)2 = 4x2 - * + 1
9) 9 - * = (3 – 4x)(3 + 4x)
10) (4x2 – 3) = (2x - *)(* + )
DẠNG 4: Tính nhanh:
I/ Phương pháp.
- Đưa tổng, hiệu, tích các số về dạng hằng đẳng thức
- Thực hiện phép tính trong hằng đẳng thức.
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tính nhanh
1) 1532 + 94 .153 + 472
2) 1262 – 152.126 + 5776
3) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1)
4) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + 1
Bài 2: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh
a. 252 - 152 b. 2055 - 952 c. 362 - 142
d. 9502 - 8502 e.
Bài 3. Tính:
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
DẠNG 5: Chứng minh biểu thức dương hoặc âm với mọi giá trị của biến x.
I/ Phương pháp.
- Đưa biểu thức về dạng hằng đẳng thức, khi đó nếu :
+ Biểu thức A có dạng (a ± b)2 thì A ≥ 0
+ Biểu thức A có dạng (a ± b)2 + c (c là hằng số dương) thì A > 0
+ Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 thì A ≤ 0
+ Biểu thức A có dạng - (a ± b)2 - c (c là hằng số dương) thì A < 0
II/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh rằng
a) – x2 + 4x – 5 < 0 với mọi x
b) x4 + 3x2 + 3 > 0 với mọi x
c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0 với mọi x
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến:
a) A = x2 – x + 1
b) B = (x – 2)(x – 4) + 3
c) C = 2x2 – 4xy + 4y2 + 2x + 5
DẠNG 6: Chứng minh đẳng thức.
I/ Phương pháp.
- Dùng hằng đẳng thức biến đổi một vế của đẳng thức sao cho bằng vế còn lại
II/ Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
Bài 2: Chứng minh:
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b)
Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a2 + b2)2 – 4a2b2 = (a + b)2(a – b)2
b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (bx + ay)2
c) a3 – b3 + ab(a – b) = (a – b)(a + b)2
d)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)
DẠNG 7: Tìm x trong phương trình f(x) = 0.
I/ Phương pháp
Cách 1:
- Đưa f(x) về một trong các dạng hằng đẳng thức sau: A2 – B2 ; A3 + B3 ; A3 - B3 ; A4 - B4
- Khai triển các hằng đẳng thức trên ta được: f(x) = 0
H(x) và K(x) là các đa thức đơn giản chứa x.
Cách 2:
- Nếu f(x) không đưa được về dạng các hằng đẳng thức như Cách 1 thì ta khai triển f(x) thành tổng các đơn thức
- Rút gọn các đơn thức đồng dạng sao cho chỉ còn lại a.x = c
=>
Chú ý: Nếu f(x) = => f(x) = 0 ⬄
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1 : Tìm x.
a) 9x2 – 6x – 3 = 0
b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0
c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3
Hướng dẫn
a) 9x2 – 6x – 3 = 0
⬄ 9x2 – 2.3x.1 + 1 – 4 = 0
⬄ (3x – 1)2 – 4 = 0 (Hiệu của hai bình phương)
⬄ (3x – 1 + 2)(3x – 1 – 2) = 0
⬄ (3x + 1)(3x – 3) =0
⬄
b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = 0
⬄ x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – 8 =0
⬄ (x + 3)3 – 8 = 0
⬄ (x + 3)3 – 23 = 0 (Hiệu của hai lập phương)
⬄ (x + 3 – 2)[(x + 3)2 + 2(x + 3) + 4] = 0
⬄ (x + 1)(x2 + 6x + 9 + 2x + 6 + 4) =0
⬄ (x + 1)(x2 + 8x + 19) = 0
⬄ (x + 1)[x2 + 2.4x + 16 + 3] = 0
⬄ (x + 1)[(x + 4)2 + 3] = 0
⬄ x + 1 = 0 Vì (x + 4)2 + 3 > 0 , với mọi giá trị của biến x.
⬄ x = -1
c) x(x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 3
⬄ x(x2 – 25) – (x3 + 8) – 3 = 0
⬄ x3 – 25x – x3 – 8 – 3 = 0 (Thu gọn đồng dạng)
⬄ - 25x = 11
⬄ x = -
Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0
Hướng dẫn
x2 + 2x + y2 – 6y + 4z2 – 4z + 11 = 0
⬄ (x2 + 2x + 1) + (y2 – 6y + 9) + (4z2 – 4z + 1) = 0
⬄ (x + 1)2 + (y – 3)2 + (2z – 1)2 = 0 (Tổng các bình phương)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) x2 – 4x + 4 = 25
b) (5 – 2x)2 – 16 = 0
c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15
Bài 4. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
DẠNG 8: Dùng hằng đẳng thức so sánh hai số.
I/ Phương pháp.
- Vận dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B)
- Biến đổi số phức tạp về dạng: kN – 1 => Khi đó số kN – 1 < kN
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: So sánh hai số sau:
a) 2003.2005 và 20042
b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)
Hướng dẫn
a) 2003.2005 và 20042
Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – 1 < 20042
b) 716 – 1 và 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)
Ta có: 716 – 1 = (78)2 – 1 = (78 + 1)(78 – 1)
= (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1)
= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1)
= (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8
Bài 2: So sánh hai số A và B biết :
A = 20162 và B = 2015 . 2017
Bài 3: So sánh hai số M và N biết :
M = 216 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1)
Hướng dẫn
Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1)
= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) (28 + 1)
= (24 – 1) (24 + 1) (28 + 1)
= (28 – 1)(28 + 1)
= 216 – 1
Suy ra : N = 216 – 1 < 216
Vậy : N < M
Bài 4: So sánh hai số M và N biết :
M = 22016 và N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) …(21008 + 1)
Hướng dẫn
Ta có: N = (2 – 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) …(21008 + 1)
= (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) …(21008 + 1)
= (24 – 1) (24 + 1) …(21008 + 1)
= (28 – 1)…(21008 + 1)
= 22016 – 1
Suy ra : N = 22016 – 1 < 22016 . Mà: M = 22016 . Vậy : N < M
Bài 5: So sánh hai số P và Q biết :
P = 4(32 + 1)(34 + 1) …(364 + 1) và Q = 3218 – 1
Hướng dẫn
Ta có : P = 4.(32 + 1).(34 + 1) …(364 + 1) = .(32 - 1). (32 + 1).(34 + 1) …(364 + 1)
= .(34 - 1).(34 + 1) …(364 + 1) = .(364 - 1).(364 + 1)
= .(3128 – 1)
Mà < 1 => .(3128 – 1) < 3128 – 1
Vậy P < Q.
DẠNG 9: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất.
I/ Phương pháp:
* Nếu biểu thức A ≤ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m
=> A đạt GTLN = m khi x = xo
* Nếu biểu thức A ≥ m với ∀x ∈ thuộc điều kiện và có giá trị x = xo thỏa mãn điều kiện (Nếu có) để A = m
=> A đạt GTNN = m khi x = xo
* Dùng hằng đẳng thức biến đổi A về dạng:
- Nếu A = (kx + c)2 + d ≥ d => Amin = d ⬄ kx + c = 0
- Nếu A = - (kx + c)2 + d ≤ d => Amax = d ⬄ kx + c = 0
II/ Bài tập vận dụng.
Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Hướng dẫn
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 4 = 0 ⇔ x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3
b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49
Hướng dẫn
a) M = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = (x – 2)2 + 3
Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 nên M ≥ 3
Hay GTNN của M bằng 3
Giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0 x – 2 = 0 x = 2
b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49
= (x2 – 4x – 5 )(x2 – 4x – 5 – 14) + 49
= (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49
= (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – 5 ) + 72
= (x2 – 4x – 5 – 7 )2 = (x2 – 4x – 12 )2
Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ 0 nên N ≥ 0
Hay GTNN của N bằng 0
Giá trị này đạt được khi x2 – 4x – 12 = 0 (x – 6)(x + 2) = 0
x = 6 ; hoặc x = -2
c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 = x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 + 2 = (x – 3)2 + (y – 1)2 + 2
Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; và (y – 1)2 ≥ 0 nên P ≥ 2
Hay GTNN của P bằng 2
Giá trị này đạt được khi x – 3 = 0 và y – 1 = 0
x = 3 và y = 1
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức A = (x2 + 1)2 + 4 nếu có.
Bài 4: Cho x và y là các số hữu tỉ và x ≠ y .Tìm GTNN của biểu thức B = (x – y)2 + 2 nếu có.
Bài 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 4x + 9
b) B = x2 – x + 1
c) C = 2x2 – 6x
Hướng dẫn
a) A = x2 – 4x + 9
Ta có : A = x2 – 4x + 4 + 5 = (x – 2)2 + 5
Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + 5 ≥ 5
Hay GTNN của A bằng 5 , giá trị này đạt được khi (x – 2)2 = 0
x – 2 = 0 x = 2
b) B = x2 – x + 1
Ta có: B = x2 – 2.x + = (x - )2 +
Vậy GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x =
c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – 2.x + ] = 2(x - )2 -
Vậy GTNN của C bằng - , giá trị này đạt được khi x =
Bài 4: Tìm GTLN của các đa thức:
a) M = 4x – x2 + 3
b) N = x – x2
c) P = 2x – 2x2 – 5
Hướng dẫn
a) M = 4x – x2 + 3 = - x2 + 4x – 4 + 7 = 7 – (x2 – 4x + 4) = 7 – (x – 2)2
Ta thấy: (x – 2)2 ≥ 0 ; nên - (x – 2)2 ≤ 0 .
Do đó: M = 7 – (x – 2)2 ≤ 7
Vậy GTLN của biểu thức M bằng 7, giá trị này đạt được khi x = 2
b) N = x – x2 = - x2 + 2.x - = 2
Vậy GTLN của N bằng , giá trị này đạt được khi x =
c) P = 2x – 2x2 – 5 = 2( - x2 + x – 5) = 2[( - x2 + 2. x – ) – ] = - - (x - )2 ≤ -
Vậy GTLN của biểu thức P bằng - , giá trị này đạt được khi x =
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2
HẰNG ĐẲNG THỨC
Bài 1. Điền vào chỗ trống cho thích hợp:
a) .......... b) .......... c) ...........
d) ...... e) ...... f) ......
g) ....... h) ...... i) ......
k) ....... l) ....... m) ......
n) ....... o) ........ p) ....
Bài 2. Thực hiện phép tính:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
k) l) m)
Bài 3. Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
a) với
b) với
ĐS: a) b) .
Bài 4. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) b)
c) với d)
e) f)
ĐS: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
ĐS: a) b) c) d)
Bài 6. So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
a) và b) và
c) và d) và
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) b) c)
d) e) f)
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) b) c)
d) e) f)
g)
HD: g)
Bài 9. Cho và . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây:
a) b) c)