Bài tập hình 8 bài hình chóp đều-hình chóp cụt đều có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

3. HÌNH CHÓP ĐỀU. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

• Hình chóp có:

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

- Trong hình trên: hình chóp có đỉnh là S, đáy là tứ giác , ta gọi đó là hình chóp tứ giác.

• Hình chóp đều

Hình chóp trên có đáy là hình vuông , các mặt bên , , và là những tam giác cân bằng nhau. Ta gọi là hình chóp tứ giác đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

- Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

- Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

• Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là phần hình chóp đều nằm giữa mặt phẳng đáy của hình chóp và mặt phẳng song song với đáy và cắt hình chóp.

– Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

• Diện tích xung quanh của hình chóp đều.

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng nữa tích của chu vi đáy với trung đoạn. (p là nữa chu vi đáy; d là trung đoạn của hình chóp)

– Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy. (S: diện tích đáy)

• Thể tích của hình chóp đều

– Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao.

(S: diện tích đáy, h: chiều cao)

III. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều . Gọi H là trung điểm CD. Chứng minh:

a) vuông góc với mặt phẳng

b)

a) Hình chóp là hình chóp tam giác đều nên tam giác CBD là tam giác đều các tam ACB, ACD, ADB là các tam giác cân tại A. H là trung điểm CD suy ra

Vậy CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng nên

b) Gọi E là trung điểm BD ta có

Vậy BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng nên suy ra CD vuông góc với mọi đường thẳng thuộc

Hay

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh

a) SO vuông góc với

b) vuông góc với

HD:a) Hình chóp tứ giác đều nên có là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau.

Ta có là tam giác cân tại A có nên SO là đường cao của tam giác hay

Tương tự, ta có

SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc nên

b) Ta có ;

Mà nên

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có , . Tính độ dài trung đoạn và chiều cao của hình chóp đều này.

HD: Hình chóp tứ giác đều có , , nên là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Ta có ;

Trong tam giác vuông vuông tại O, theo Pytago ta có

Vậy chiều cao hình chóp là

Gọi H là trung điểm AB, ta có SH là trung đoạn của hình chóp

Trong tam giác vuông tại H, theo Pytago ta có

Vậy độ dài trung đoạn là

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều có , cạnh bên . Tính chiều cao của hình chóp.

Hình chóp tam giác đều nên là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm AB, O là trong tâm tam giác ABC

Ta có CH là đường cao tam giác ABC

Trong tam giác CHB vuông tại H ta có

;

Trong tam giác vuông vuông tại O ta có

Vậy chiều cao của hình chóp là

Bài 5: Một hình chóp cụt đều có đáy lớn bằng , đáy bé bằng và cạnh bên bằng . Tính độ dài trung đoạn và chiều cao của hình chóp cụt đó.

HD: Hình chóp cụt đều ta thấy mặt bên là hình thang cân . Vẽ đường cao và , ta có

Vậy độ dài trung đoạn là 2 cm

Khai triển hình chóp cụt đều ta thấy

Trong hình thang vuông vẽ đường cao ta có

;

Vậy đường cao hình chóp cụt đều là

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và độ dài cạnh bên bằng 5cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

HD: Trong tam giác vuông SHB, theo pytago ta có

Diện tích đáy là

Diện tích xung quanh hình chóp là

Diện tích toàn phần hình chóp

Bài 7: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều biết

HD: Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên , ta có

Trong tam giác vuông , theo pytago ta có

Trong tam giác vuông tại O, theo Pytago ta có

Diện tích đáy là

Diện tích xung quanh hình chóp là

Diện tích toàn phần hình chóp

Bài 8: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng 10cm, cạnh bên bằng 13cm.

Bài giải

Tam giác BCA cân tại S có tại I, theo Pytago ta có

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh là nên chiều cao tam giác đều là

.

là hình chóp đều nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác, ta có và

Trong tam giác vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Diện tích đáy là

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp là

Bài 9: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều biết độ dài cạnh đáy bằng 6cm và độ dài cạnh bên bằng

Ta có . Suy ra

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông EFC ta có

Diện tích tứ giác đáy

Thể tích hình chóp:

Bài 10: Tính thể tích hình chóp tam giác đều biết chiều cao bằng và cạnh bên bằng 4cm.

là hình chóp đều nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác, ta có và

Trong tam giác SHC vuông tại H, theo định lí pytago ta có

Suy ra

Tam giác ABC là tam giác đều, giả sử có cạnh là a nên chiều cao tam giác đều là mà CI là chiều cao tam giác ABC nên cạnh tam giác đều là hay

Diện tích đáy là

Thể tích hình chóp là

Bài 11: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều biết độ dài cạnh đáy bằng 4cm và độ dài cạnh bên bằng

Bài giải

là hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, có cạnh

Ta có

Suy ra

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ta có

Chiều cao hình chóp là 4cm

Diện tích tứ giác đáy

Thể tích hình chóp

Bài 12: Tính thể tích hình chóp tam giác đều biết độ dài cạnh bên bằng và cạnh bên đáy 3cm.

Gọi H là trọng tâm tam giác , HC cắt AB tại D, ta có

Tam giác vuông tại D, theo định lí Pytago, ta có

và

Tam giác SHC vuông tại H, ta có

Thể tích của hình chóp đều là

Bài 13: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có trung đoạn bằng 5cm và diện tích xung quanh bằng .

HD: Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a cm, trung đoạn là 5cm:

Hay

Ta có

Ta có (vì là đường trung bình của tam giác ABC, tam giác có cạnh )

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông ta có

Thể tích hình chóp

Bài 14: Một hình chóp cụt đều có các cạnh đáy bằng a và 2a, đường cao của mặt bên bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh

b) Tính cạnh bên, đường cao của hình chóp cụt đều.

Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Chứng minh là hình chóp cụt tam giác đều.

Ta có ; nên

Mặt khác, là hình chóp tam giác đều nên

Suy ra , do đó là hình thang cân.

Tương tự ; là các hình thang cân

Vậy là hình chóp cụt tam giác đều.

Bài 15: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng diện tích toàn phần. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông cân.

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông, các cạnh bên là các tam giác cân tại S (1)

Gọi a là độ dài cạnh đáy, d là trung đoạn của hình chóp

Ta có ;

Mặt khác

Gọi G là trung điểm AB suy ra

Ta có SG là trung đoạn hình chóp

Vậy trong tam giác có và nên là tam giác vuông cân tại G (2)

Tương tự, ta có (3)

Từ (2), (3) suy ra (4)

Từ (1), (4) suy ra vuông cân tại S

Tương tự ta chứng minh được các cạnh bên của hình chóp là tam giác vuông cân.

TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều (nếu làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai )

a) Biết AB = 6cm , SI = 5cm.

b) Biết SH = 4cm , SB = 5cm.

c) Biết AB = 5cm , SB = 5cm.

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và lần lượt là trung điểm của các cạnh .

a) Chứng minh .

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.

1) Nếu biết ,

2) Nếu biết các mặt bên là các tam giác đều, ,

3) Nếu biết và

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều . Có cm, cm

a) Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp.

b) Gọi là trung điểm của SH. Cắt hình chóp bởi 1 mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng đáy ta được hình chóp cụt đều.Tính diện tích xung quanh và thể tich của hình chóp cụt. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ

III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 3:

Bài 4:

Bài 5:

Bài 8:

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM