Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính:

b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết:

Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng:

Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ . Biết . Tính và

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: a) ; b) 27 < 3ⁿ < 243

Bài 2. Thực hiện phép tính:

Bài 3. a) Tìm x biết:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng.

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC.

Câu 1: Tìm các cặp số (x; y) biết:

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = +5 ; B =

Câu 3: Cho tam giác ABC có Â < 90⁰. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a, Chứng minh: DC = BE và DC BE

b, Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME và ΔABC= ΔEMA

Chứng minh: MA BC

Câu 1 ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : a- ; b-

Câu 2 ( 2 điểm) a, Tìm số nguyên a để là số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0

Câu 3 ( 2 điểm) a, Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0

b, Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .

Câu 4 ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 45⁰ , góc C bằng 120⁰. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE

Câu 5 ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x²-2y²=1

Bài 1: a) So sánh hợp lý: và  ; b) Tính A =

c) Cho x, y, z là các số khác 0 và x² = yz , y² = xz , z ² = xy. Chứng minh rằng: x = y = z

Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)⁴ = 16 b) (2x+1)⁴ = (2x+1)⁶

c) d)

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)²⁰⁰⁶ +(y² - 1)²⁰⁰⁸ + (x - z) ²¹⁰⁰ = 0

b) và x² + y² + z² = 116

Bài 4 : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x­₁­, x_{­ 2}­ là hai giá trị bất kì của x; y_­1­, y_­2­ là hai giá trị tương ứng của y.Tính y_­1­, y_­2­ biết y_­1­²+ y_­2­² = 52 và x­₁­=2 , x_{­ 2}­= 3.

b) Cho hàm số : f(x) = a.x² + b.x + c với a, b, c, d ∈Z

Biết .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.

c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC.

Câu 1. Tìm x biết: a) b) 3x +x² = 0 c) (x-1)(x-3) < 0

Câu 2. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và

b) Cho (a, b, c, d > 0)

Tính A =

Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên)

Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax² + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.

a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC.

c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.

d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.

Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b

Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a,⎟5x-3⎟ < 2 b,⎟3x+1⎟ >4 c, ⎟4- x⎟ +2x =3

Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =⎟x⎟ +⎟8 -x⎟

Câu 4: Biết rằng :1²+2²+3³+...+10²= 385. Tính tổng : S= 2²+ 4²+...+20²

Câu 5 :

Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại D.

a. Chứng minh AC=3 AD

b. Chứng minh ID =1/4BD

Câu 1 . ( 2đ) Cho: . Chứng minh: .

Câu 2. (1đ). Tìm A biết rằng: A = .

Câu 3. (2đ). Tìm để A∈ Z và tìm giá trị đó.

a). A = . b). A = .

Câu 4. (2đ). Tìm x, biết:

a) = 5 . b). ( x+ 2) ² = 81. c). 5 ^x + 5 ^{x+ 2} = 650

Câu 5. (3đ). Cho △ ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chứng minh △ MHK vuông cân

Bài 1: (1,5 điểm) Tính biết ; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho và .Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm) Tìm biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x³ + 4x² - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x²+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 30⁰.Chứng minh tam giác BFE đều.

Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: = = , và x – y + z = 4

Bài 2: (1 điểm) Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c.

Chứng minh rằng: = .

Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

Bài 1:(2 đ)a. Tìm x, y biết: = và x+ y = 22; b. Cho và . Tính M =

Bài 2: ( 2,0 điểm) a. Cho H = . Tính 2010^H

b. Thực hiện tính M =

Bài 3: ( 2,5 điểm) Tìm x biết:a.

b. ; c. - = 7

Bài 4: ( 3,5đ) Cho tam giác ABC có B < 90⁰ và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB.

b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC.

c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.

Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính:

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết: a. ; b.

Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b, Cho . Chứng minh rằng:

Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE

b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng

c) Từ E kẻ . Biết = 50^o ; =25^o . Tính và

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:

a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC

Câu 1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức

Câu 2. (4 điểm) Chứng minh:

Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số

a. Vẽ đồ thị 2 h/số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trên vuông góc với nhau.

Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân, . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính

Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh:

a. O là trọng tâm của ∆IKC. b. .

Câu1: (2 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

Tìm giá trị biểu thức: M=

Câu2: (1 điểm) . Cho S =. Chứng minh rằng S không phải là số chính phương.

Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M.

Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.

a. Chứng minh rằng:

b. Biết và tia BO là tia phân giác của góc B. CMR: Tia CO là tia phân giác của góc C.

Câu 5: (1,5điểm). Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20⁰.

Câu 6: (1,5điểm). Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6… 11. Hãy lập bảng tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó.

Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

A = . Với a = ; b = -2 ; x = ; y = 1

Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 0 < a₁ < a₂ < ….. < a₉ thì:

Bài 3: Có 3 mảnh đất hình chữ nhật: A; B và C. Các diện tích của A và B tỉ lệ với 4 và 5, các diện tích của B và C tỉ lệ với 7 và 8; A và B có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27m. B và C có cùng chiều rộng. Chiều dài của mảnh đất C là 24m. Hãy tính diện tích của mỗi mảnh đất đó.

Bài 4: Cho 2 biểu thức: A = ; B =

a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên

b) Tìm giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.

Bài 5: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD = CE. a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE

c) Từ B và C vẽ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh BH = CK

d) Chứng minh 3 đường thẳng AM; BH; CK gặp nhau tại 1 điểm.

ĐÁP ÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 1 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)

b) (1.5 điểm) = =

= = 10( 3ⁿ -2ⁿ)

Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2:(2 điểm)

Bài 3: (2 điểm) Từ suy ra khi đó =

Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét và có :

AM = EM (gt )

(đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : = (c.g.c ) AC = EB

Vì = (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Suy ra AC // BE .

b/ (1 điểm ) Xét và có :

AM = EM (gt )

( vì )

AI = EK (gt )

Nên ( c.g.c ) Suy ra:

Mà ( tính chất hai góc kề bù )

Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( có

BME là góc ngoài tại đỉnh M của

Nên

( định lý góc ngoài của tam giác )

( Học sinh giải theo cách khác đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa)

ĐÁP ÁN ĐỀ 2 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) ; => 2^4n-3 = 2ⁿ => 4n – 3 = n => n = 1

b) 27 < 3ⁿ < 243 => 3³ < 3ⁿ < 3⁵ => n = 4

Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

=

=

Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) Tìm x biết:

Ta có: x + 2 0 => x - 2.

+ Nếu x - thì => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 x < - Thì => - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Thoả mãn)

+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1

+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013

Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:

x – y = (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do đó:

=> x = (giờ)

Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là giờ

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI tại F

D

B

A

H

I

F

E

M

ABM = DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

= DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => IDAC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung)

=> IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ),

BAH = ACB ( cùng phụ ABC)

=> EAF = ACB (5)

Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB

=>AE = BC

ĐÁP ÁN ĐỀ 3 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7

Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết ; 0 =>= 0; 1; 2; 3 ; 4

* = 0 => a = 0; * = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 ; * = 2 => a = 2 hoặc a = - 2

* = 3 => a = 3 hoặc a = - 3; * = 4 => a = 4 hoặc a = - 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn và nhỏ hơn

Gọi mẫu phân số cần tìm là x. Ta có: =>

=> -77 < 9x < -70. Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = 8 . Vậy phân số cần tìm là

Câu 3. Cho 2 đa thức: P = x + 2mx + m và Q = x + (2m+1)x + m. Tìm m biết P (1) = Q (-1)

P(1) = 1² + 2m.1 + m² = m² + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m² = m² – 2m

Để P(1) = Q(-1) thì m² + 2m + 1 = m² – 2m 4m = -1 m = -1/4

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: =>

=> x² = 4.49 = 196 => x = 14 => y² = 4.4 = 16 => x = 4

Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

=> => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:

=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = . Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = +5

Ta có : 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5.

Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1.

• B = = = 1 +

Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0 x + 3 3 ( 2 vế dương )

4 1+ 1+ 4 B 5

Dấu = xảy ra x = 0 . Vậy : Max B = 5 x = 0.

ĐA:ĐỀ 3- Câu 6:

a/ Xét ΔADC và ΔBAF ta có:

DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cùng bằng 90⁰ + BAC )

=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE

Xét AIE và TIC

I₁ = I₂ ( đđ)

E₁ = C₁( do DAC = BAE)

=> EAI = CTI

=> CTI = 90⁰ => DC BE

b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)

=> D₁ = MEN, AD = ME

mà AD = AB ( gt)

=> AB = ME (đpcm) (1)

Vì D₁ = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180⁰ ( trong cùng phía )

mà BAC + DAE = 180⁰

=> BAC = AEM ( 2 )

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH

Xét AHC và EPA có:

CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )

AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)

=> AHC = EPA

=> EPA = AHC

=> AHC = 90⁰

=> MA BC (đpcm)

ĐÁP ÁN ĐỀ 4 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 5 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1: = >

Cách 2: > =

c) Vì x, y, z là các số khác 0 và x² = yz , y² = xz , z ² = xy ⇒.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ⇒

Bài 2: (1,5 điểm):

a) (2x-1)⁴ = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)

b) (2x+1)⁴ = (2x+1)⁶. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)

c)

; x = 25; x = - 31

: vô nghiệm

d)

Bài 3:

a) (3x - 5)²⁰⁰⁶ +(y² - 1)²⁰⁰⁸ + (x - z) ²¹⁰⁰ = 0 (3x - 5)²⁰⁰⁶ = 0; (y² - 1)²⁰⁰⁸ = 0; (x - z) ²¹⁰⁰ = 0

3x - 5 = 0; y² - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1

b) và x² + y² + z² = 116

Từ giả thiết

Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 )

Bài 4: a) Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

Với y_­1­­= - 6 thì y_­2­ = - 4 ;

Với y_­1­ = 6 thì y_­2­= 4 .

b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) vì ( 2; 3) = 1

Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

c) =

= = = 10( 3ⁿ -2^n-1)

Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.

N

Bài 5:

1. ΔAIC = ΔBHA ⇒ BH = AI (0,5điểm)
2. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)
3. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN AC (0,75điểm)
4. ΔBHM = ΔAIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA (0,25điểm)

mà : ∠ IMA + ∠BMI = 900 ⇒ ∠BMH + ∠BMI = 900 (0,25điểm)

⇒ ΔHMI vuông cân ⇒ ∠HIM = 450 (0,25điểm)

mà : ∠HIC = 900 ⇒∠HIM =∠MIC= 450 ⇒ IM là phân giác ∠HIC (0,25điểm)

*) Ghi chú:

Nếu học sinh có cách giải khác đúng, vẫn được điểm tối đa

ĐÁP ÁN ĐỀ 6 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM

Lưu ý:

- Lời giải chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

- Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.

ĐÁP ÁN ĐỀ 7 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)²=36abc

+, Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0

+,Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36

+, Từ abc =36 và ab=c ta được c²=36 nên c=6;c=-6

+, Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a²=36 nên a=3; a=-3

+, Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b²=36 nên b=2; b=-2

-, Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2

-, Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2

Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán

(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6)

Câu 2. (3đ)

a.(1đ) ⎮5x-3⎮<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)

… 1/5<x<1 (0,5đ)

b.(1đ) ⎮3x+1⎮>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ)

*Nếu 3x+1>4=> x>1

*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3

Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ)

c. (1đ) ⎮4-x⎮+2x=3 (1)

* 4-x≥0 => x≤4 (0,25đ)

(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ)

*4-x<0 => x>4 (0,25đ)

(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ)

Câu3. (1đ) Áp dụng ⎮a+b⎮ ≤⎮a⎮+⎮b⎮Ta có

A=⎮x⎮+⎮8-x⎮≥⎮x+8-x⎮=8

MinA =8 <=> x(8-x) ≥0 (0,25đ)

*=>0≤x≤8 (0,25đ)

*=> không thoã mãn(0,25đ)

Vậy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25đ)

Câu4. Ta có S=(2.1)²+(2.2)²+...+ (2.10)²(0,5đ) =2².1²+2².2²+...+2².10²

=2²(1²+2²+...+10²) =2².385=1540(0,5đ)

Câu5.(3đ)

A

B

M

C

D

E

Chứng minh: a (1,5đ)

Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ)

Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)

Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ)

Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ)

So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ)

b.(1đ)

Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)

Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)

So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ 8 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu 1. Ta có (1) Ta lại có (2)

Từ (1) và(2) => .

Câu 2. A = .= .

Nếu a+b+c ≠ 0 => A = .

Nếu a+b+c = 0 => A = -1.

Câu 3. a). A = 1 + để A ∈ Z thì x- 2 là ước của 5.

=> x – 2 = (± 1; ±5)

* x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2

* x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0

b) A = - 2 để A ∈ Z thì x+ 3 là ước của 7.

=> x + 3 = (± 1; ±7)

* x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1

* x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 .

Câu 4. a). x = 8 hoặc - 2

b). x = 7 hoặc - 11

c). x = 2.

Câu 5. ( Tự vẽ hình)

△ MHK là △ cân tại M .

Thật vậy: △ ACK = △ BAH. (gcg) => AK = BH .

△ AMK = △ BMH (g.c.g) => MK = MH.

Vậy: △ MHK cân tại M .

ĐÁP ÁN ĐỀ 9 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài1: (1,5 điểm)

+ Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)

+ Với x = -; y = -1 ⇒ A = - (0,5đ)

+ Với x = ; y = -1 ⇒ A= - (0,5đ)

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ + = 2 ⇔ (2 – x)( + ) = 0 ⇔ x = 2 (0,75đ)

+ Thay x = 2 ⇒ = = = = = 2. (1đ)

+ ⇒ x + y + z = 100 (0,25đ)

Bài 3: (2 điểm)

+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ)

+ Chỉ ra được x, y Z ⇒ x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ)

+ Lập bảng. (1đ)

Bài 4: (2 điểm).

a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 ⇒ đpcm. (0,5đ)

(hoặc tính được P(1) = 0 ⇒ đpcm).

b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)

+ Biến đổi được P = (3 + 3) + ( + x) – 9x + 1

= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ)

+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)

(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)

Bài 5: (2,5 điểm)

+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1): (0,25đ)

a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của Δ BEC (0,5đ)

⇒ F trung trực BC ⇒ ΔBFC cân (0,5đ)

(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm).

K F

b) + Tính được EBC = 15. (0,5đ)

+ Hạ FK AB ⇒ ΔFKB = ΔFHC (ch + cgv) B (0,75đ)

⇒ΔBFC vuông cân ⇒ FBC = 45. (0,25đ)

+ Kết luận ΔBFE đều. (0,25đ)

A F H C

ĐÁP ÁN ĐỀ 10 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

ĐÁP ÁN ĐỀ 11 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1: (2,0 điểm)

Bài 2: ( 2,0 điểm)

Bài 3: ( 2,5 điểm)

Bài 4: ( 3,5 điểm)

ĐÁP ÁN ĐỀ 12 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Bài 1:(4 điểm):

Bài 2:(4 điểm)

Bài 3: (4 điểm)

Bài 4: (4 điểm)

a/ (1điểm) Xét và có :

AM = EM (gt )

= (đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nên : = (c.g.c )

AC = EB

Vì = =

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )

Suy ra AC // BE .

b/ (1 điểm )

Xét và có :

AM = EM (gt )

= ( vì )

AI = EK (gt )

Nên ( c.g.c )

Suy ra =

Mà + = 180^o ( tính chất hai góc kề bù )

+ = 180^o

Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vuông BHE ( = 90^o ) có = 50^o

= 90^o - = 90^o - 50^o =40^o

= - = 40^o - 25^o = 15^o

là góc ngoài tại đỉnh M của

Nên = + = 15^o + 90^o = 105^o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)

suy ra

Do đó

b) ABC cân tại A, mà (gt) nên

ABC đều nên

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .

Tia BM là phân giác của góc ABD

nên

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ;

Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

ĐÁP ÁN ĐỀ 13 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu1: (3 điểm)

(mỗi bước đúng 1điểm)

Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm)

Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm

a) (mỗi bảng 0,25điểm)

Đồ thị là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm)

Đồ thị là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm)

-4

5

5

b) Cần chứng minh

Xét ∆OMA và ∆ONB có:

(1điểm)

(1điểm)

Vậy

Câu 4: 4,5 điểm

1. Chứng minh ∆BME đều

∆ABC cân (gt), (0,25đ)

cân tại C (0,25đ)

(0,25đ)

(1) (0,25đ)

(0,25đ)

Vì (1đ)

cân tại M (2) (0,25đ)

Từ (1) và (2) đều. (0,25đ)

b) (0,25đ)

(0,25đ)

Vì (1,25đ)

5. a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ)

Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ)

Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ)

b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ)

(đđ); MA = MC (gt) (0,5đ)

Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ)

và AI = KC (1) (0,25đ)

∆ABC có I là trọng tâm (2) (0,25đ)

Mặt khác (3) (0,25đ)

Từ (1), (2) và (3) KN = IE (0,25đ)

∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ)

; IB =IK (0,25đ)

Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ)

mà (4) (0,25đ)

∆IKC có O là trọng tâm nên (5) (0,25đ)

Từ (4) và (5) (0,25đ)

ĐÁP ÁN ĐỀ 14 THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN

Câu 1:

Mỗi tỉ số đã cho đều bớt đi 1 ta được:

=

+, Nếu a+b+c+d 0 thì a = b = c = d lúc đó M = 1+1+1+1=4

+, Nếu a+b+c+d = 0 thì a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b);

d+a = -(b+c), lúc đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4.

Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c).

Vì 0 < a+b+c27 nên a+b+c 37. Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S không thể là số chính phương.

Câu 3:

Quãng đường AB dài 540 Km; nửa quảng dường AB dài 270 Km. Gọi quãng đường ô tô và xe máy đã đi là S₁, S₂. Trong cùng 1 thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc do đó (t chính là thời gian cần tìm).

A

M

B

t=

Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M.

Câu 4:

a, Tia CO cắt AB tại D.

+, Xét BOD có là góc ngoài nên =

A

B

C

D

O

+, Xét ADC có góc D₁ là góc ngoài nên

Vậy =+

b, Nếu thì =

Xét BOC có:

• tia CO là tia phân giác của góc C.

Câu 5:

Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho. 9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đương thẳng đã cho. Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 360⁰ do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 360⁰ : 18 = 20⁰, từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20⁰.

Câu 6:

Tổng số điểm ghi ở hai mặt trên của hai con súc sắc có thể là:

2 = 1+1

3 = 1+2 = 2+1

4 = 1+3 =2 +2 = 3+1

5 = 1+4 =2+3=3+2=4+1.

6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1

7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1

8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2

9=3+6=4+5=5+4=6+3

10=4+6=5+5=6+4

11=5+6=6+5

12=6+6.

Như vậy tổng số 7 điểm có khả năng xảy ra nhất tới 16,7%

ĐÁP ÁN ĐỀ … THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 7. Môn: TOÁN