Các dạng bài tập số phức trắc nghiệm và tự luận có đáp án

4.3/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 22 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC

TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM

I – LÝ THUYẾT CHUNG

1. Khái niệm số phức

• Tập hợp số phức: C

• Số phức (dạng đại số) :

(a, b, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i² = –1)

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

• Hai số phức bằng nhau:

Chú ý:

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức)

M(a;b)

3. Cộng và trừ số phức:

• •

• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

• biểu diễn z, biểu diễn z' thì biểu diễn z + z’ và biểu diễn z – z’.

4. Nhân hai số phức :

•

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

• ;

• z là số thực ⇔ ; z là số ảo ⇔

6. Môđun của số phức : z = a + bi

•

• • •

7. Chia hai số phức:

Chia hai số phức: .

• (z ≠ 0) • •

8. Căn bậc hai của số phức:

• là căn bậc hai của số phức ⇔ ⇔

• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

• w có đúng hai căn bậc hai đối nhau

• Hai căn bậc hai của a > 0 là

• Hai căn bậc hai của a < 0 là

9. Phương trình bậc hai Az² + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ).

• : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của Δ)

• : (*) có 1 nghiệm kép:

Chú ý: Nếu z₀ ∈ C là một nghiệm của (*) thì cũng là một nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)

a) Acgumen của số phức z ≠ 0:

Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu ϕ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ϕ + k2π (k∈Z).

b) Dạng lượng giác của số phức :

Dạng z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b∈R) (z ≠ 0)

⇔ (ϕ là acgumen của z, ϕ = (Ox, OM).

c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z = r(cosϕ + isinϕ), z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) thì:

z.z’ = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ +ϕ’)]

d) Công thức Moa-vrơ :

Với n là số nguyên, n ≥ 1 thì :

Khi r = 1, ta được :

e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Các căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) là : và .

II – CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z²; ()³; 1 + z + z²

Giải:

Vì z = ⇒ =
Ta có z² = ==

⇒ ()² =

()³ =()² . =

Ta có: 1 + z + z² =

Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

⇔ Giải hệ này ta được:

Ví dụ 3: Tính:

i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴

Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:

Ta có: i² = -1; i³ = -i; i⁴ = i³.i = 1; i⁵ = i; i⁶ = -1…

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i⁴ⁿ = 1; i⁴ⁿ⁺¹ = i; i⁴ⁿ⁺² = -1; i⁴ⁿ⁺³ = -i; ∀ n ∈ N^*

Vậy iⁿ ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N.

Nếu n nguyên âm, iⁿ = (i^-1)^-n = .

Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được:

i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴ = i^4.26+1 + i^4.5+3 + i^4.5 – i^4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2

Ví dụ 4: Tính số phức sau: z =

Giải: Ta có:

⇒ . Vậy =i¹⁶ +(-i)⁸ = 2

Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết:

Giải: Giả sử z=a+bi

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 6: Cho Tính

Giải:

Ví dụ 7: Cho . Tính ; ;

Giải:

Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức

Giải: Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của z

Ta có:

Thay (2) vào (1) ta có:

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)¹⁵

Giải:

Ta có: (1 + i)² = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)¹⁴ = (2i)⁷ = 128.i⁷= -128.i

z = (1+i)¹⁵ = (1+i)¹⁴(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Biết rằng số phức thỏa . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 2: Cho số phức . Giá trị nào của để

A. B. C. D.

Câu 3: Viết số phức dưới dạng đại số:

A. B. C. D.

Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Số phức khi và chỉ khi

B. Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy.

C. Số phức có môđun là

D. Số phức có số phức đối

Câu 5: Cho số phức và các mệnh đề. Khi đó số là:

1) Điểm biểu diễn số phức là .

2) Phần thực của số phức là a;

3) Môdul của số phức là

A. Số mệnh đề đúng là 2 B. Số mệnh đề đúng là 1

C. Số mệnh đề sai là 1 D. Cả 4 đều đúng

Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai.

C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiệnlà đường tròn tâm O, bán kính R = 1

D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau

Câu 7: Cho hai số phức . Lựa chọn phương án đúng:

A. B. C. D.

Câu 8: Cho các số phức . Trong các kết luận sau:

(I). là số thực,

(II). là số thuần ảo,

(III). là số thực,

Kết luận nào đúng?

A. Cả I, II, III. B. Chỉ II. III. C. Chỉ III, I. D. Chỉ I, II.

Câu 9: Cho số phức . Xét các số phức và . Khi đó

A. B. đều là số ảo C. là số ảo D. là số ảo

Câu 10: Cho số phức z = . Số phức 1 + z + z² bằng:

A. B. 2 - C. 1 D. 0

Câu 11: Giá trị biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau:

A. B. C. D.

Câu 13: Cho và các đẳng thức:

Số đẳng thức đúng trong các đẳng thức trên là:

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A. B. C. D.

Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

A. B. C. D.

Câu 16: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ?

A. B.

C. D.

Câu 17: Giá trị của với là

A. B. C. 0 D. 1

Câu 18: Các số thỏa mãn đẳng thức . Khi đó tổng là:

A. - 7 B. - 1 C. 13 D. - 13

Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y thỏa mãn z³ = 18 + 26i. Giá trị của là:

A. B. C. D.

Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức là số thực ? số ảo ? là:

A. n = 2 + 6k, k B. n = 2 + 4k, k C. n = 2k, k D. n = 3k, k

Câu 21: Cho số phức khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 22: Tính số phức :

A. 1 + i B. 2 + 2i C. 2 – 2i D. 1 – i

Câu 23: Cho , tính .

A. 4 B. 0 C. 3 D. 1

Câu 24: Tính giá trị là

A. −1 B. 0 C. 1 + i D. 1 – i

Câu 25: Tính kết quả là

A. B. C. D.

Câu 26: Giá trị của biểu thức là:

A. B. 2 C. D.

Câu 27: Nếu thì

A. Là số ảo B. Bằng 0 C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực

Câu 28: Số phức bằng:

A. B. 2 C. D.

Câu 29: Biết số phức ( với a, b, c là những số tự nhiên) thỏa mãn . Khi đó giá trị của a là:

A. - 45 B. 45 C. - 9 D. 9

Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thỏa điều kiện: là:

A. B. C. D.

Câu 31: Cho .

A. B. C. 85 D.

Câu 32: Cho hai số phức và các mệnh đề sau:

(I) ; (II) ; (III) .

Mệnh đề đúng là:

A. Chỉ (I) và (III) B. Cả (I), (II) và (III) C. Chỉ (I) và (II) D. Chỉ (II) và (III)

Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức

A. và B. và

C. và D. và

Câu 34: Cho . Tính ta được kết quả là:

A. B. 0 C. D.

Câu 35: Cho số phức . Nhận xét nào sau đây luôn đúng?

A. B. C. D.

Câu 36: Tìm các căn bậc 2 của số phức

A. B. C. D.

Câu 37: Tính ta được kết quả là:

A. B. C. D.

Câu 38: Giá trị của là

A. B. C. D.

Câu 39: Tính ta được kết quả viết dưới dạng đại số là:

A. B. C. D.

Câu 40: Tìm các căn bậc hai của - 9

A. - 3 B. 3 C. 3i D.

Câu 41: Cho . Tính

A. 2 B. - 2 C. 0 D. 3

Câu 42: Tìm số phức biết rằng:

A. B. C. D.

Câu 43: Tích 2 số phức và

A. 5 B. 3 - 2i C. 5 - 5i D.

Câu 44: Tổng của hai số phức là

A. B. C. D.

Câu 45: Các số thực x và y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là

A. Kết quả khác B. C. D.

Câu 46: Biết số phức . Số phức là:

A. B. C. D.

Câu 47: Cho biết:

Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai

A. Chỉ (3) sai B. Chỉ (2) sai C. Chỉ (1) và (2) sai D. Cả (1), (2), (3) sai

Câu 48: Tổng 2 số phức và

A. B. 2i C. D.

Câu 49: Cho 2 số phức . Hiệu

A. 1 + i B. 1 C. 2i D. 1 + 2i

Câu 50: Tính ta được kết quả:

A. B. C. D.

Câu 51: Đẳng thức nào đúng

A. B. C. D.

Câu 52: Cho số phức z = 2i + 3 khi đó bằng:

A. B. C. D.

Câu 53: Số bằng:

A. - 12.5 B. C. 13 D. `

Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - ) bằng:

A. 64 B. 2⁵ C. 2⁴ D. Kết quả khác

Câu 55: Tính , với ` và

A. 1 - i B. - i C. 1 + i D. I

Câu 56: Giá trị ` bằng

A. i B. - 1 C. - i D. 1

Câu 57: Nghịch đảo của số phức là:

A. ` B. ` C. ` D.

Câu 58: Tìm cặp số thực thỏa mãn: `

A. B. C. D.

Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)¹⁰bằng

A. i B. Kết quả khác C. – 32i D. 32i

Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức là:

A. 1 + 7i B. 6 + 2i C. 6 – 8i D. 1 – 7i

Câu 61: Các căn bậc hai của 8 + 6i là

A. Kết quả khác B. C. D.

Câu 62: Số nào sau đây bằng số

A. B. C. D.

Câu 63: Cho . Trong các két luận sau, kết luận nào đúng?

A. B. là số thuần ảo C. D.

Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được:

A. z = 5 + 3i B. z = - 1 – 2i C. z = 1 + 2i D. z = - 1 – i

Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được:

A. B. C. D.

Câu 66: Kết quả của phép tính là:

A. 6 - 14i B. - 5 - 14i C. 5 - 14i D. 5 + 14i

Câu 67: Số phức z = bằng:

A. B. C. D.

Câu 68: Số phức z thỏa mãn: . là:

A. B. C. D. .

Câu 69: Số phức bằng:

A. B. C. D.

Câu 70: Thực hiện các phép tính sau: A = ; .

A. B. C. D.

Câu 71: Rút gọn biểu thức ta được:

A. B. C. D.

Câu 72: Rút gọn biểu thức ta được:

A. B. C. D.

Câu 73: Thực hiện các phép tính sau: B = .

A. B. C. D.

Câu 74: Kết quả của phép tính (a, b là số thực) là:

A. B. C. D.

Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện là:

A. B. C. D.

Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i là

A. B. C. D.

Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: là:

A. B.

C. D.

Câu 78: Thu gọn z = ta được:

A. B. z = - 1 - i C. D. z = - 7 + 6

Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được:

A. B. C. D.

Câu 80: Cho hai số phức . Tổng của hai số phức là

A. 3 – 5i B. 3 – i C. 3 + i D. 3 + 5i

Câu 81: Tìm các số thực thỏa mãn đẳng thức:

A. (x; y) = ( - 3; - 4) B. (x; y) = ( - 3; 4) C. (x; y) = (3; - 4) D. (x; y) = (3; 4)

Câu 82: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 4 + 6i

A. z₁ = 3 - i và z₂ = - 3 - i B. Đáp án khác

C. z₁ = - 3 + i và z₂ = 3 + i D. z₁ = 3 + i và z₂ = - 3 - i

Câu 83: Các căn bậc hai của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 84: Cho 2 số thực thỏa phương trình: . Khi đó:

A. B. C. D. - 1

Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2

Câu 86: Cho các mệnh đề , , , . Số mệnh đề đúng là:

A. 3 B. 0 C. 1 D. 4

Câu 87: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức thỏa mãn

A. B. C. D.

Câu 88: Xét số phức . Tìm m để .

A. B. C. D.

Câu 89: Cho hai số phức và thoả mãn và . Số phức là:

A. Số thực B. Số âm C. Số thuần ảo D. Số dương

Câu 90: Cho số phức . Khi đó

A. B. 1 C. D.

Câu 91: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + … + (1 + i)²⁰ bằng:

A. 2¹⁰ B. 2¹⁰ + 1 C. 2¹⁰ – 1 D. - 2¹⁰

Câu 92: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. là một số thực B. là một số ảo

C. là một số thực D. là một số ảo

Câu 93: Tổng i^k + i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} bằng:

A. i B. - i C. 1 D. 0

C - ĐÁP ÁN

1D, 2C, 3D, 4D, 5A, 6A, 7A, 8D, 9C, 10D, 11D, 12A, 13D, 14B, 15B, 16A, 17D, 18D, 19A, 20D, 21C, 22B, 23B, 24A, 25A, 26B, 27C, 28B, 29B, 30A, 31A, 32D, 33D, 34C, 35B, 36B, 37C, 38D, 39C, 4DC, 41C, 42B, 43D, 44C, 45D, 46A, 47D, 48D, 49D, 50C, 51D, 52A, 53C, 54A, 55D, 56D, 57C, 58C, 59D, 60B, 61D, 62C, 63C, 64D, 65D, 66C, 67D, 68D, 69B, 70B, 71C, 72B, 73B, 74B, 75B, 76C, 77C, 78D, 79D, 80B, 81D, 82D, 83A, 84A, 85C, 86A, 87C, 88B, 89D, 90A, 91B, 92D, 93D.

DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm mô đun của số phức

Giải: Ta có :

Vậy, mô đun của z bằng:

Ví dụ 2: Tìm môđun của z biết

Giải:

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn . Tính môđun của số phức .

Giải: Giả sử z=a+bi

Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của số phức

Giải: Giả sử

Do đó .

Ví dụ 5: Tính môđun của số phức z biết:

Giải:

Suy ra .

Ví dụ 6: Tìm n là số nguyên dương và sao cho số phức là số thực

Giải: Ta có: 1 + i = 2 ⇒ z = 2ⁿ

Để z ∈ R ⇒ 2ⁿ.sin = 0 ⇒ sin= 0 ⇒ n chia hết cho 3, mà n nguyên dương ∈ [1;10] ⇒ n ∈ [3;6;9]

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Mô đun của số phức với bằng:

A. B. C. D.

Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ?

A. B. C. D.

Câu 3: Biết rằng nghịch đảo của số phức bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ?

A. B. là một số ảo C. D.

Câu 4: Cho số phức thỏa . Khi đó giá trị nhỏ nhất của là:

A. 1 B. C. 2 D.

Câu 5: Tìm các số phức a và b biết biết phần ảo của a là số dương.

A. B.

C. D.

Câu 6: Khi số phức thay đổi tùy ý thì tập hợp các số là

A. Tập hợp các số thực dương B. Tập hợp tất cả các số thực

C. Tập hợp tất cả các số phức không phải là số ảo D. Tập hợp các số thực không âm

Câu 7: Cho là số phức khác 0 thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. là số thực B. có mô đun bằng -1

C. là số thuần ảo D. có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn: . Khi đó giá trị của là:

A. 4 B. C. 5 D. 6

Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i. Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ?

A. m = -2 hoặc m = 3 B. m = -1 hoặc m = 6 C. m = 2 hoặc m = -3 D. m = 1 hoặc m = 6

Câu 10: Số phức liên hợp của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Mô đun của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức w =

A. B. 8 C. D.

Câu 13: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện . Phần ảo của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 14: Phần ảo của số phức z thỏa mãn là:

A. B. C. 2 D.

Câu 15: Số phức z thỏa mãn có mô đun là

A. B. C. D.

Câu 16: Cho số phức z thỏa . Phần thực của số phức z là:

A. 4 B. 3 C. 1 D. 2

Câu 17: Mô đun của số phưc là:

A. B. C. D.

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 19: Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn:

A. B. C. D.

Câu 20: Cho số phức thõa mãn điều kiện: . Phần ảo của z là:

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 21: Số phức liên hợp của là:

A. B. C. D.

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức w =

A. 8 B. C. D.

Câu 23: Cho số phưc z thỏa điều . Phần ảo của là:

A. B. 1 C. D.

Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn:

A. 2 B. 3 C. 1 D. 7

Câu 25: Cho . Số phức liên hợp của z là:

A. B. C. D.

Câu 26: Cho tìm phần thực của số phức nghịch đảo của biết:

A. B. C. D.

Câu 27: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

1) Số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau

2) Với thì mô đun của z là:

3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi

4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là một đường tròn.

5) Phương trình: có tối đa 3 nghiệm.

Số nhận định đúng là:

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn . Khi đó phần thực của số phức bằng:

A. 5i B. -2 C. 2 D. -5

Câu 29: Số phức có phần thực và phần ảo là

A. và 0 B. 1 và 0 C. và D. 0 và 1

Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ?

A. Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức

B. Cho số phức . Nếu càng nhỏ thì mô đun của càng nhỏ.

C. Mọi biểu thức có dạng đều phân tích được ra thừa số phức.

D. Mọi số phức và có mô đun bằng 1, có thể đặt dưới dạng: , với .

Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng:

A. Mọi số phức và số phức liên hợp của nó có bình phương bằng nhau.

B. Mọi số phức và số phức liên hợp của nó có căn bậc hai bằng nhau.

C. Mọi số phức và số phức liên hợp của nó có phần ảo bằng nhau.

D. Mọi số phức và số phức liên hợp của nó có mô đun bằng nhau.

Câu 32: Mô đun của bằng

A. B. C. D. 2

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn: và có phần thực bằng 2 lần phần ảo của nó. Tìm môđun của z ?

A. B. C. D.

Câu 34: Cho số phức và số phức . Số phức có phần ảo là:

A. B. C. D.

Câu 35: Số nào trong các số sau là số thực ?

A. B.

C. D.

Câu 36: Cho số phức z thỏa . Tính mô đun của số phức :

A. B. C. D.

Câu 37: Số nào trong cách số sau là số thực ?

A. B.

C. D.

Câu 38: Với mọi số ảo z, số là

A. Số 0 B. Số thực âm C. Số thực dương D. Số ảo khác 0

Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức . Khi đó

A. 11 B. 1 C. D.

Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức bằng:

A. 1 B. C. D. 3

Câu 41: Cho Giá trị nào của m đây để là số thực ?

A. hay B. hay C. hay D. Đáp án khác

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức bằng:

A. 1 B. C. D. 2

Câu 43: Mô đun của số phức bằng:

A. B. Kết quả khác. C. 1 D.

Câu 44: Cho số phức . Số để là số thực là

A. B. . C. D.

Câu 45: Số nào trong các số sau là số có phần ảo âm:

A. B.

C. D.

Câu 46: Số phức có phần thực là

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Câu 47: Số phức z thỏa mãn có phần thực bằng:

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 48: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ?

A. B.

C. D.

Câu 49: Phần thực và phần ảo của số (2 – i). i. (3 + i) lần lượt là:

A. 1 và 7 B. 1 và 0 C. 0 và 1 D. 1 và 3

Câu 50: Xét các câu sau:

1) Nếu thì z là một số thực

2) Mô đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z.

3) Mô đun của một số phức z bằng số

Trong 3 câu trên:

A. Cả ba câu đều đúng B. Chỉ có 1 câu đúng C. Cả ba câu đều sai D. Chỉ có 2 câu đúng

Câu 51: Mô đun của số phức z thỏa mãn phương trìnhlà:

A. B. C. D. Đáp án khác

Câu 52: Cho số phức z thỏa: . Khi đó mô đun của số phức bằng:

A. B. C. D.

Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai

A. Trong tập hợp số phức, mọi số đều có số nghịch đảo

B. Căn bậc hai của mọi số thực âm là số phức

C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba

D. Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo

Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là không đúng

A. Tập hợp số thực là tập con của số phức

B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực

C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox

Câu 55: Ta có số phức z thỏa mãn . Phần ảo của số phức z là:

A. 0 B. 1 C. 3 D. 2

Câu 56: Những số vừa là số thuần ảo, vừa là số thực là:

A. Chỉ có số 0 B. Chỉ có số 1 C. 0 và 1 D. Không có số nào

Câu 57: Cho hai số phức . Phần thực của số phức là:

A. 26 B. 27 C. 25 D. 28

Câu 58: Phần ảo của số phức là:

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1

Câu 59: Cho số phức z thỏa . Mô đun số z là:

A. 10 B. 5 C. 4 D. 6

Câu 60: Phần thực của số phức là:

A. 7 B. 5 C. 8 D. 6

Câu 61: Số phức thỏa mãn: có phần thực là:

A. B. C. D.

Câu 62: Cho số phức . Giá trị phần thực của

A. 0 B. C. Giá trị khác D. 512

Câu 63: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu ? biết

A. 2 B. -2 C. D.

Câu 64: Biết hai số phức có tổng bằng 3 và tích bằng 4. Tổng mô đun của chúng bằng

A. 5 B. 10 C. 8 D. 4

Câu 65: Mô đun của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 66: Phần ảo của số phức bằng:

A. B. 2 C. D. 3

Câu 67: Cho số phức . Nhận xét nào sau đây về số phức liên hợp của z là đúng:

A. B. C. D.

Câu 68: Cho số phức . Mệnh đề nào sau đây là sai:

A. Số phức liên hợp của z là B. là một căn bậc hai của z

C. Môđun của z là 13 D.

Câu 69: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Mô đun của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 70: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ?

A. Mô đun của số phức z là một số thực

B. Mô đun của số phức z là một số thực dương

C. Mô đun của số phức z là một số phức

D. Mô đun của số phức z là một số thực không âm

Câu 71: Mô đun của số phức là:

A. 7 B. 3 C. 5 D. 2

Câu 72: Cho số phức . Hãy xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. z có một acgumen là B.

C. A và B đều đúng D. z có dạng lượng giác là

Câu 73: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện . Phần ảo của số phức là:

A. 0 B. 2 C. -1 D. - 2

Câu 74: Cho số phức . Mô đun của số phức bằng

A. B. C. D.

Câu 75: Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn:

A. B. C. D.

Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 77: Số phức liên hợp của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 78: Phần thực của số phức bằng:

A. 0 B. 1 C. D.

Câu 79: Cho hai số phức . Xác định phần ảo của số phức

A. 11 B. 12 C. 10 D. 13

Câu 80: Cho số phức z thỏa . Phần thực của số phức z là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 81: Tìm phần phần ảo của số phức sau:

A. B. C. D.

Câu 82: Cho số phức . Phần thực và phần ảo của số phức lần lượt là

A. -4 và -3 B. -4 và 3 C. 4 và -3 D. 4 và 3

Câu 83: Cho các số phức . Xét các phát biểu sau

1) Mô đun của số phức bằng .

2) Số phức có phần ảo bằng .

3) Mô đun của số phức bằng .

4) Mô đun của số phức bằng mô đun của số phức .

5) Trong mặt phẳng , số phức được biểu diễn bởi điểm

6) là một số thực.

Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng ?

A. B. C. D.

Câu 84: Cho số phức . Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

3) Phần ảo của là

4) Phần thực của là

A. (3) B. (4) C. (1) D. (2)

Câu 85: Cho số phức . Phần thực và phần ảo của là:

A. B. C. D.

Câu 86: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai ?

A. Mô đun của số phức là một số thực âm. B. Mô đun của số phức là một số phức.

C. Mô đun của số phức là một số thực. D. Mô đun của số phức là một số thực dương.

Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn: . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2

Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức w =

A. 8 B. C. D.

Câu 89: Mô đun số phức là:

A. B. C. D.

Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn . Mô đun của số phức là:

A. B. 2 C. 1 D.

Câu 91: Cho số phức . Phần ảo của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 92: Mô đun của số phức bằng:

A. B. C. D.

Câu 93: Cho số phức Để là một số thực, điều kiện của a và b là:

A. và a bất kì hoặc B.

C. D. và b bất kì hoặc

C - ĐÁP ÁN

1C, 2B, 3A, 4D, 5D, 6B, 7D, 8C, 9C, 10D, 11C, 12D, 13C, 14B, 15D, 16D, 17A, 18C, 19D, 20A, 21B, 22C, 23A, 24A, 25C, 26B, 27A, 28C, 29B, 30B, 31D, 32A, 33A, 34C, 35A, 36B, 37A, 38A, 39A, 40D, 41D, 42B, 43C, 44A, 45D, 46A, 47B, 48C, 49A, 50A, 51B, 52B, 53A, 54B, 55A, 56A, 57A, 58A, 59C, 60B, 61C, 62C, 63C, 64D, 65A, 66A, 67A, 68A, 69D, 70B, 71A, 72B, 73C, 74D, 75C, 76C, 77C, 78A, 79B, 80C, 81C, 82D, 83D, 84A, 85C, 86A, 87C, 88C, 89D, 90A, 91D, 92B, 93A.

DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức thỏa mãn

Giải: Ta có

Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được . Vậy z=3+i.

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết

Giải :

Vậy

Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết:

Giải: Giả sử z=a+bi

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 4: Tìm số phức z biết:

Giải: Giả sử z=a+bi, ta có:

. Vậy

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết (1)

Giải: Giả sử

(1)

B – BÀI TẬP

Câu 1: Tìm số phức z biết

A. B. C. D.

Câu 2: Tìm một số phức z thỏa điều kiện là số thuần ảo với

A. B. C. Cả A và B đều đúng. D. Cả A và B đều sai.

Câu 3: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

1) Số phức và số phức liên hợp của nó có môđun bằng nhau

2) Với thì môđun của z là:

3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi

4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là một đường tròn.

5) Phương trình: có tối đa 3 nghiệm.

Số nhận định sai là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 4: Tìm một số phức z thỏa

A. B. C. -2 D.

Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn . Số phức z là:

A. B. C. D.

Câu 6: Trong các số phức sau, số nào thỏa điều kiện ?

A. B. C. D.

Câu 7: Tìm số phức z có phần ảo gấp 3 lần phần thực đồng thời

A. và B. C. D.

Câu 8: Số phức z thỏa mãn là:

A. . B. . C. . D. .

Câu 9: Số phức z thỏa điều kiện và là:

A. B. C. D.

Câu 10: Tìm số phức z biết

A. B. C. D.

Câu 11: Tìm số phức biết

A. B. C. D.

Câu 12: Với mọi số ảo z, số là

A. Số 0 B. Số thực âm C. Số ảo khác D. Số thực dương

Câu 13: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Câu 14: Để ta được kết quả:

A. hay B. z = 2 hay

C. hay D. hay

Câu 15: Tìm số phức biết:

A. B. C. D.

Câu 16: Tìm số phức z thỏa mãn:

A. B. C. D.

Câu 17: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn :

A. 1 B. 4. C. 3 D. 2

Câu 18: Số phức z thỏa mãn và là:

A. B.

C. D.

Câu 19: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình là:

A. Tập hợp số ảo B. C. D.

Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và :

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4.

Câu 21: Số phức thỏa mãn: là:

A. B. C. D.

Câu 22: Tìm số phức biết:

A. B. C. D.

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn. Số giá trị của z thỏa mãn là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 24: Nghiệm của phương trình 2ix + 3 = 5x + 4 trên tập số phức là:

A. B. C. D.

Câu 25: Số phức thỏa có phần ảo bằng:

A. B. C. D.

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. khi đó môđun của số phức là

A. 9 B. C. 11 D. 12

Câu 27: Cho số phức z thỏa: . Khi đó, modun của là

A. 25 B. 4 C. 16 D. 9

Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Môđun của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 29: Số phức z thỏa mãn: . là:

A. . B. C. D.

Câu 30: Phương trình có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 31: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ?

A. B. C. D. z là một số thuần ảo

Câu 32: số phức z thỏa mãn: . Môđun của z là:

A. B. C. D.

Câu 33: Số phức z thỏa là:

A. B. C. D.

Câu 34: Phần thực của số phức z thỏa mãn là

A. -6 B. -3 C. 2 D. -1

Câu 35: Số phức z thõa mãn điều kiện là:

A. B. Đáp án khác C. D.

Câu 36: Nghiệm của phương trình trên tập số phức là:

A. B. C. D.

Câu 37: Số các số phức thỏa hệ thức: và là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 38: Gọi z là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình: . Khi đó, giả sử thì tích của a và b là:

A. B. C. D.

Câu 39: Số phức z thỏa mãn có dạng a+bi khi đó bằng:

A. B. -5 C. 5 D. -

Câu 40: Cho số phức z thoả mãn . Số phức có dạng a+bi khi đó là:

A. B. C. D.

Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn: . Môđun của số phức là . Giá trị m là:

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 42: Tìm số phức z biết

A. z = 2 + i B. z = - 2 - i C. z = - 2 + i D. z = 2 – i

Câu 43: Cho số phức , biết và thỏa mãn

Tìm phần thực của số phức z.

A. B. C. D.

Câu 44: Cho số phức z thỏa . Môđun số z là::

A. 4 B. 5 C. 10 D. 6

Câu 45: Tìm số phức z thỏa mãn và .

A. z = 3 + 4i; z = -5 B. z = 3 + 4i; z = 5 C. z = 3 - 4i; z = 5 D. z = -3 + 4i; z = 5

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn phương Phần ảo của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn . Phần thực của số phức w = z² – z là:

A. 3 B. 1 C. 2 D. 0

Câu 48: Tìm số phức liên hợp của:

A. B. C. D.

Câu 49: Cho số phức z thỏa . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z².

A. 1 B. 2 C. D. 4

Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Môđun của số phức là:

A. B. C. D.

Câu 51: Cho phương trình . Môđun của số phức là ?

A. B. C. D.

Câu 52: Tính môđun của số phức z biết rằng:

A. B. Đáp án khác C. D.

Câu 53: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Phần ảo của số phức bằng

A. B. C. D.

Câu 54: Cho số phức thỏa . Môđun của số phức là

A. B. C. D. 5

Câu 55: Môđun của số phức z thỏa mãn phương trìnhlà:

A. B. C. D.

Câu 56: Cho số phức thỏa mãn . Phần thực của số phức bằng

A. 5 B. -4 C. 4 D. -3

C - ĐÁP ÁN

1B, 2C, 3A, 4B, 5D, 6D, 7C, 8B, 9A, 10D, 11D, 12C, 13B, 14C, 15D, 16A, 17C, 18B, 19A, 20C, 21B, 22C, 23B, 24D, 25D, 26B, 27A, 28C, 29A, 30A, 31D, 32A, 33C, 34C, 35B, 36B, 37A, 38A, 39D, 40A, 41B, 42D, 43C, 44B, 45B, 46B, 47B, 48D, 49C, 50C, 51D, 52D, 53D, 54C, 55B, 56D.

DẠNG 4: SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Giải: Giả sử , ta có

Dấu = xảy ra khi

Vậy

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Giải:

. Vậy

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn:. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Giải: Giả sử z=a+bi, ta có:

Đặt

Đặt .

Dấu = xảy ra khi . Do đó

Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của ta có thể sử dụng phương pháp hình học.

Ví dụ 4: Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Giải: Giả sử là điểm biểu diễn của số phức , là điểm biểu diễn của số phức

Ta có .

Vậy M thuộc đường tròn

Vậy N thuộc đường thẳng .

Dễ thấy đường thẳng không cắt và .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn và đường thẳng . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên , N chạy trên đường thẳng .

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30.

Gọi H là giao điểm của d và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ . Vậy K(-1;3), L(-9;-3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra . Khi đó

Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Giải: Giả sử z = x + yi, khi đó : |z – 2+3i| = ⇔ |(x-2) +(y+3)i|=

⇔ (x-2)² + (y+3)² = ⇒ Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2;-3) và bán kính 3/2.

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất ⇒ M trùng với M₁ là giao của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có: OI =

Kẻ M₁H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có:

⇒ M₁H =

Lại có:

Vậy số phức cần tìm là:

B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong các số phức thỏa mãn , số phức có môđun nhỏ nhất là:

A. B. C. D.

Câu 2: Trong các số phức thỏa mãn , là số phức có môđun lớn nhất. Môdun của bằng:

A. 1 B. 4 C. D. 9

Câu 3: Cho số phức thỏa . Giá trị nhỏ nhất của là

A. B. 1 C. D.

Câu 4: Tìm số phức z thoả mãn (z – 1)( + 2i) là số thực và môđun của z nhỏ nhất ?

A. z = 2i B. C. D.

Câu 5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức z có môđun bé nhất.

A. z =2 + i B. z =3 + i C. z =2 + 2i D. z =1 +3 i

Câu 6: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện , số phức z có môđun bé nhất là:

A. B. C. D.

Câu 7: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , số phức z có môđun nhỏ nhất là:

A. B.

C. D.

Câu 8: Số phức z có modun nhỏ nhất thỏa mãn là số phức có môđun

A. B. C. D.

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: Số phức z có môđun nhỏ nhất là:

A. B. C. D.

Câu 10: Số phức thay đổi sao cho thì giá trị bé nhất và giá trị lớn nhất của là

A. B. C. D.

C - ĐÁP ÁN

----------------------------------------------

-1D, 2A, 3A, 4B, 5C, 6D, 7C, 8D, 9A, 10B

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau :

a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) - 4 = 0

d) (iz – 1)(z + 3i)( - 2 + 3i) = 0 e) z² + 4 = 0.

Giải:

a) z = b) z =

c) = d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i

e) z = ±2i.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Giải:

Giả sử m+ni (m; nR) là căn bậc hai của

Ta có:

Thay (2) vào (1) ta có:

Vậy có hai căn bậc hai là 2+i và -2-i

Do đó nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Giải: các căn bậc hai của là

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 4: giải phương trình:

Giải: Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên

Giải (2)

Vậy có hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i

Do đó nghiệm của (2) là

Vậy (1) có 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.

Ví dụ 5:

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z³ + az² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.

Giải:

a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)² + b(1 + i) + c = 0 ⇔ b + c + (2 + b)i = 0

⇔ b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2

b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i)³ + a(1 + i)² + b(1 + i) + c = 0 ⇔ (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 ⇔ b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2).

Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) ⇒ b = 6

(2) ⇒ a = −4.

Vậy a = c = −4, b = 6.

Ví dụ 6: Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình: .

Tính .

Giải: Ta có . Vậy phương trình có hai nghiệm phức

. Do đó .

Ví dụ 7: Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập

số phức tính tổng: .

Giải: PT: (1)

Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là

Thay và biểu thức ta có:

Ví dụ 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức C: (1)

Giải: Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z

Chia hai vế PT (1) cho z² ta được : ( (2)

Đặt t= Khi đó

Phương trình (2) có dạng : t²-t+ (3)

Vậy PT (3) có 2 nghiệm t=, t=

Với t= ta có (4)

Có

Vậy PT(4) có 2 nghiệm : z=, z=

Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=; z=

Ví dụ 9: Giải các phương trình:

z³ – 27 = 0
z³ = 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x,y ∈ Z

Giải:

z³ – 27 = 0 ⇔ (z – 1) (z² + 3z + 9) = 0 ⇔

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

2) Ta có: (x + yi)³ = x³ – 3xy² + (3x²y – y³)i = 18 + 26i

Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được:

Từ hệ trên, rõ ràng x ≠ 0 và y ≠ 0.

Đặt y = tx , hệ ⇒ 18(3x²y – y³) = 26(x³ – 3xy² )

⇒ 18(3t-t³ ) = 26(1-3t²) ⇔ 18t³ – 78t² – 54t+26 = 0 ⇔ ( 3t- 1)(3t² – 12t – 13) = 0.

Vì x, y ∈ Z ⇒ t ∈ Q ⇒ t = 1/3 ⇒ x = 3 và y = 1 ⇒ z = 3 + i.

Ví dụ 10: Giải phương trình: z⁴ – 4z³ +7z² – 16z + 12 = 0 (1)

Giải:

Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm z = 1.

(1) ⇔ (z – 1)(z³ – 3z² + 4z – 12) = 0

⇔ (z – 1) (z – 3) (z² + 4) = 0⇔

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 11: Giải phương trình: (z² + z)² + 4(z² + z) -12 = 0

Giải:

Đặt t = z² + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

t² + 4t – 12 = 0 ⇔

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Ví dụ 12: Giải phương trình: (z² + 3z +6)² + 2z(z² + 3z +6) – 3z²= 0

Giải: Đặt t = z² + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

t²+2zt – 3z² = 0 ⇔ (t – z)(t+3z) = 0 ⇔

+ Với t = z ⇔ z² + 3z +6 –z = 0 ⇔ z² + 2z + 6 = 0 ⇔

+ Với t = -3z ⇔ z² + 3z +6 +3z = 0 ⇔ z² + 6z + 6 = 0 ⇔

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tổng tất cả các nghiệm phức của phương trình và

A. - 1 B. 1 C. D. 0

Câu 2: Gọi là hai nghiệm phương trình trong đó có phần ảo dương. số phức là:

A. B. C. D.

Câu 3: Tập hợp các nghiệm của phương trình trên tập số phức là

A. B. C. D.

Câu 4: Gọi là hai nghiệm của phương trình Trong đó có phần ảo âm. Giá trị biểu thức là.

A. B. C. D.

Câu 5: Trong tập số phức , phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 6: Tập nghiệm trong C của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 7: Tính biết là nghiệm của phương trình

A. B. C. D.

Câu 8: Cho phương trình trong đó m là tham số phức; giá trị m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho phương trình trên trường phức và m là tham số thực. Giá trị m để (1) có hai nghiệm ảo trong đó z₁ có phần ảo âm và phần thực của số phức bằng

A. Không có m B. C. D.

Câu 10: Cho hệ phương trình . Tính

A. B. C. D.

Câu 11: Trong tập số phức , phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

Câu 12: Phương trình có các nghiệm . Khi đó giá trị của biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 13: Gọi z₁, z₂, z₃, z₄ là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là:

A. B. C. D.

Câu 14: Với mọi số phức , ta có bằng

A. B. C. D.

Câu 15: Trên tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z² + mz + i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng - 4i là:

A. m = 1 - i hoặc m = - 1 + i B. m = 1 + i

C. m = 1 - i D. m = - 1 + i

Câu 16: Các giá trị thực của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực z³ + (3 + i)z² - 3z - (m + i) = 0 là:

A. m = 1 hoặc m = 5 B. m = 1 C. m = 5 D. m = 4

Câu 17: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hệ: là:

A. B. C. D.

Câu 18: Nếu thì

A. Bằng B. Là số ảo C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực

Câu 19: Tập hợp các nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 20: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình là

A. B. Tập hợp mọi số ảo C. D.

Câu 21: Giá trị của các số thực b, c để phương trình z² + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm 1 nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình có hai nghiệm Giá trị biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 23: Trên tập hợp số phức, phương trình nhận giá trị nào dưới đây là nghiệm?

A. B. C. D.

Câu 24: Giải phương trình có nghiệm là

A. −3 + 4i B. −4 + 4i C. −2 + 4i D. −5 + 4i

Câu 25: Số phức z thoả mãn hệ là:

A. B. C. D.

Câu 26: Phương trình bậc hai có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 27: Số phức z thỏa mãn và là:

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

Câu 28: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện: ?

A. 2 B. 3 C. 1 D. 4

Câu 29: Trong trường số phức phương trình có mấy nghiệm?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 30: Tập hợp các nghiệm của pt

A. Tập hợp mọi số ảo B. C. 0 D.

Câu 31: Nghiệm của pt là

A. B.

C. D.

Câu 32: Phương trình trên tập số phức C có bao nhiêu nghiệm.

A. 4 B. 2 C. 8 D. 6

Câu 33: Cho phương trình Trong số các nhận xét

1. Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc tập hợp số thực

2. Phương trình chỉ có 2 nghiệm thuộc tập hợp số phức

3. Phương trình có hai nghiệm có phần thực bằng 0

4. Phương trình có hai nghiệm là số thuần ảo

5. Phương trình có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm là hai số phức liên hợp

Số nhận xét sai là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 34: Cho phương trình sau

Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau:

1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực R

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức

3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập hợp số thực

4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức

5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức

6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 35: Phương trình trên tập số phức có bao nhiêu nghiệm.

A. 4 B. 2 C. 8 D. 6

Câu 36: Giải phương trình sau:

A. B.

C. D.

Câu 37: Phương trình có nghiệm là

A. và B. và

C. và D. và

Câu 38: Biết z₁ và z₂ là hai nghiệm của phương trình . Khi đó, giá trị của là:

A. B. C. 9 D. 4

Câu 39: Gọi là nghiệm phức của phương trình . bằng

A. 2 B. C. D. 4

Câu 40: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 41: Hai số phức và là nghiệm của phương trình:

A. B.

C. D.

Câu 42: Giải phương trình trên tập số phức.

A. B.

C. D.

Câu 43: Gọi là 2 nghiệm của phương trình . Khi đó môđun của số phức là

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Câu 44: Phương trình có một nghiệm phức là . Tổng 2 số và bằng

A. 0 B. C. D. 3

Câu 45: Nghiệm phương trình là:

A. B. C. D. Đáp án khác.

Câu 46: Bộ số thực để phương trình nhận và là nghiệm.

A. B. C. D.

Câu 47: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:

A. và B. và

C. và D. Đáp án khác

Câu 48: Môđun của số phức z – 2i bằng bao nhiêu? Biết z thỏa mãn phương trình

A. B. C. D.

Câu 49: Tìm tất cả các nghiệm của biết là một nghiệm

A. B.

C. D.

Câu 50: Phương trình có 2 nghiệm là và . Khi đó ?

A. B. C. D.

Câu 51: Số nghiệm phức của phương trình là:

A. 4 B. 3 C. 1 D. 2

Câu 52: Gọi z₁, z₂ là các nghiệm phức của phương trình z²₊(1 – 3i)z - 2(1 + i) = 0. Khi đó là số phức có môđun là:

A. B. C. D.

Câu 53: Gọi z_1,z₂ là các nghiệm phức của phương trình Khi đó A có giá trị là:

A. B. 23 C. 13 D.

Câu 54: Phương trình: trên tập số phức có các nghiệm là:

A. hoặc B. hoặc

C. D.

Câu 55: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức : là:

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn . Tính

A. 4 B. 5 C. 6 D. Đáp án khác

Câu 57: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình :

A. . B. . C. . D. .

Câu 58: Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i). Đáp số của bài toán là:

A. B. C. D.

Câu 59: Trong C, phương trình có nghiệm là:

A. , , i B. 1 - i ; - 1 + i ; 2i

C. ; ; 4i D. 1 - 2i ; - 15i ; 3i

Câu 60: Cho phương trình z³ + az + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng:

A. B. C. D.

C - ĐÁP ÁN

-- 1D, 2B, 3C, 4A, 5A, 6B, 7B, 8B, 9A, 10C, 11C, 12A, 13A, 14B, 15A, 16B, 17A, 18A, 19A, 20B, 21A, 22D, 23D, 24A, 25B, 26B, 27B, 28A, 29A, 30A, 31A, 32D, 33C, 34B, 35D, 36A, 37C, 38B, 39C, 40D, 41A, 42C, 43A, 44D, 45A, 46A, 47D, 48B, 49C, 50A, 51D, 52C, 53B, 54A, 55C, 56D, 57C, 58A, 59A, 60A.

DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức.

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức.

Giải:

a) Vecto biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto biểu diễn số phức z’ = 2 + i

b) z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto .

z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto .

Ví dụ 2: Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i⇒ A biểu diễn số −i.

Dễ thấy điểm E có tọa độ nên E biểu diễn số phức ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức ; F biểu diễn số phức ; B biểu diễn số phức .

Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) ⏐z – i⏐ = 1 b) c)

Giải: Gọi z = a + bi

a) ⇒ ⏐z - i⏐ = ⏐a + bi - i⏐ = 1 ⇔ ⏐a + (b – 1)i⏐ = 1 ⇔ a² + (b – 1)² = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1.

Vậy z là số thực.

c) Ta có : ⇔ ⏐a + bi⏐ = ⏐a – bi – 3 + 4i⏐ ⇔⏐a + bi⏐ = ⏐(a – 3) + (4 – b)i⏐

⇔ a² + b² = (a – 3)² + (4 – b)² ⇔ 6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z² là số thực âm b) z² là số ảo

c) z² = ()² d) là số ảo.

Giải:

a) z² là số thực âm ⇔ z là số ảo. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ điểm O

b) Gọi z = a + bi ⇒ z² = a² – b² + 2abi là số ảo ⇔ a² – b² = 0 ⇔ b = ±a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

c) z² = ()² ⇔ (z + )(z −) = 0

⇔ . Vậy tập hợp các điểm là các trục tọa độ.

d) là số ảo ⇔ z – i là số ảo ⇔ x + (y – 1)i là số ảo ⇔ x = 0 và y ≠ 1. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm có tung độ bằng 1).

Ví dụ 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho là một số thuần ảo.

Giải: Giả sử , khi đó

Tử số bằng

u là số thuần ảo khi và chỉ khi:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm , bán kính bằng , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3).

Ví dụ 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn:

Giải: Giả sử

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình 3x-y-1=0.

Ví dụ 7: Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức biết số phức z

thỏa mãn: .

Giải: Giả sử

Ta có

Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình tròn (kể cả những điểm nằm trên biên).

Ví dụ 8: Cho z₁ = 1 + i; z₂ = -1 - i. Tìm z₃ ∈ C sao cho các điểm biểu diễn của z₁, z₂, z₃ tạo thành tam giác đều.

Giải: Giả sử z₃ = x+yi

Để các điểm biểu diễn của z₁, z₂ , z₃ tạo thành một tam giác đều thì

⇔

⇒ 2y² = 6 ⇒ y = ⇒ x =

Vậy có hai số phức thoả mãn là: z₃ = (1+i) và z₃ = -(1-i)

Ví dụ 9: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau:

Giải: Giả sử z = x + yi ⇒

⇔ (x² – y² +1)² +4x²y² = 4(x² + y²) ⇔ (x² + y² -1)² = 4y² ⇔

⇒ Tập hợp các điểm M(x;y) biểu thị số phức z là hợp của hai đường tròn:

x² + y²-2y – 1 = 0 và x² + y² +2y – 1 = 0

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho là số thực.

A. Đường thẳng B. Đường tròn

C. Đường tròn D. Đường thẳng

Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức . Tam giác ABC là:

A. Một tam giác đều. B. Một tam giác vuông (không cân).

C. Một tam giác vuông cân. D. Một tam giác cân (không đều).

Câu 3: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 – i, 5 + 4i , 3 + i. Tìm số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành

A. 6i – 7 B. 7 + 6i C. 6 – 7i D. 6 + 7i

Câu 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho là số thuần ảo.

A. Trục hoành, bỏ điểm (-1; 0) B. Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0)

C. Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1). D. Trục tung, bỏ điểm (0; 1)

Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm biểu diễn cho 3 số phức . Xác định độ lớn của số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác

A. 1 B. 5 C. 2 D. 3

Câu 6: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 + i , 2 + 3i , 1 – 2i. Số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho là:

A. i B. i C. i D. i

Câu 7: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn là

A. Đường tròn tâm , bán kính B. Đường tròn tâm , bán kính

C. Hình tròn tâm , bán kính D. Hình tròn tâm , bán kính

Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: . Khi đó, C biểu diễn số phức:

A. B. C. D.

Câu 9: Cho các số phức: được biểu diễn lần lượt bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: . Khi đó điểm M biểu diễn số phức:

A. B. C. D.

Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3). Điểm C thỏa mãn: . Khi đó điểm C biểu diễn số phức:

A. B. C. D.

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức , B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây:

A. B. C. D.

Câu 12: Cho 3 số phức i, 2 – 3i, i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC.

A. i B. i C. i D. i

Câu 13: Cho số phức . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:

A. B. C. D.

Câu 14: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức - 4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của thì A, B, M thẳng hàng?

A. x = - 2 B. x = 1 C. x = - 1 D. x = 2

Câu 15: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng Oxy biết là số thực là:

A. Trục Ox B. Trục Oy

C. Đường thẳng D. Đường thẳng

Câu 16: Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức thỏa mãn là

A. Đường tròn

B. Đường thẳng

C. Phần bên trong đường tròn có tâm là O và có bán kính R = 4

D. Đường hypebol

Câu 17: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường thẳng Δ như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất là:

A. 2 B. 1

C. D.

Câu 18: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – 3i, z3 = 5 + 4i. Chu vi của tam giác ABC là:

A. B. C. D.

Câu 19: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diển các số phức . Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác tù

C. Tam giác ABC là tam giác đều D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện có dạng là:

A. B. C. D.

Câu 21: Cho số phức với . Khi đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức trên mặt phẳng Oxy là:

A. B.

C. D.

Câu 22: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: là:

A. Parabol B. Hình tròn C. Đường thẳng D. Elip

Câu 23: Cho biết có hai số phức z thỏa mãn và có phần thực bằng hai lần phần ảo. Hai điểm biểu diễn của hai số phức đó:

A. Đối xứng nhau qua trục thực.

B. Cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông

C. Đối xứng nhau qua trục ảo.

D. Đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Câu 24: Tập hợp các số phức với z là số phức thỏa mãn là hình tròn có diện tích là

A. B. C. D.

Câu 25: Cho số phức z = a + a²i với a ∈ R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên:

A. Đường thẳng y = - x + 1 B. Parabol y = - x²

C. Đường thẳng y = 2x D. Parabol y = x²

Câu 26: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn

A. B. C. D.

Câu 27: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là

A. Đường tròn tâm (1; 2), bán kính R = 1. B. Đường tròn tâm ( - 1; 1), bán kính R = 2.

C. Đường tròn tâm (1; - 1), bán kính R = 2. D. Đường thẳng

Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp tất các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: có dạng

A. B.

C. D.

Câu 29: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn là đường tròn có phương trình

A. B. C. D.

Câu 30: Số phức z thỏa mãn có điểm biểu diễn M, thì

A. M nằm trong góc phần tư thứ nhất B. M nằm trong góc phần tư thứ hai.

C. M nằm trong góc phần tư thứ ba. D. M nằm trong góc phần tư thứ tư.

Câu 31: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức , (1 – i)(2i + 1), . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Tam giác ABC có diện tích bằng 2 B. Tam giác ABC đều

C. Tam giác ABC vuông cân D. Tam giác ABC có chu vi bằng 4

Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện là:

A. Đường tròn tâm I( - 3;2) bán kính bằng 5 B. Đường tròn tâm I(3; - 2) bán kính bằng 5

C. Đường tròn tâm I( - 3; - 2) bán kính bằng 5 D. Đường tròn tâm I(3;2) bán kính bằng 5

Câu 33: Giả sử là hai nghiệm của phương trình và A, B là các điểm biểu diễn của . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. B. C. D.

Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là:

A. Đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 B. Đường tròn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2

C. Hình tròn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2 D. Hình tròn tâm I(3; 4) bán kính R = 2

Câu 35: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức Với giá trị thực nào của thì A, B, M thẳng hàng:

A. B. C. D.

Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn là số ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là:

A. Đường thẳng B. Parabôn C. Elip D. Đường tròn

Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Giả sử điểm M biểu diễn số phức, điểm N biểu diễn số phức . Khi đó:

A. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Oy B. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Ox.

C. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Tất cả đều sai.

Câu 38: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C biểu diễn các số phức , , . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biểu diễn số phức nào?

A. B. C. D.

Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là:

A. Đường tròn tâm I(1; 2) bán kính R = 1

B. Đường thẳng có phương trình x - 5y - 6 = 0

C. Đường thẳng có phương trình 2x - 6y + 12 = 0

D. Đường thẳng có phương trình x - 3y - 6 = 0

Câu 40: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức biết thỏa mãn: là:

A. Đường tròn tâm I( - 2;3) bán kính r = 1 B. Đường thẳng: 3x - y - 1 = 0

C. Đường thẳng: 3x + y - 1 = 0 D. Đường tròn tâm I( - 4;1) bán kính R = 1

Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện là:

A. Một Hyperbol B. Một đường tròn. C. Một parabol D. Một đường thẳng

Câu 42: Trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là

A. Đường tròn tâm , bán kinh .

B. Đường thẳng D:

C. Đường tròn tâm , bán kinh .

D. Đường thẳng D: .

Câu 43: Cho các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số: . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành:

A. B. C. D.

Câu 44: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là:

A. bán kính bán kính B. bán kính bán kính

C. Đường tròn bán kính D. bán kính bán kính

Câu 45: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện sau đây, tập hợp nào là hình tròn:

A. B. C. .. D.

Câu 46: Điểm là điểm biểu diễn của số phức:

A. B. C. D.

Câu 47: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức

Nhận xét nào sau đây là đúng nhất

A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác vuông

C. Tam giác ABC là tam giác cân D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Câu 48: Cho số phức z = 1 + bi , khi b thay đổi tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là

A. Đường thẳng y - b = 0 B. Đường thẳng x - 1 = 0

C. Đường thẳng bx + y - 1 = 0 D. Đường thẳng x - y - b = 0

Câu 49: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức Nhận xét nào sau đây là sai

A. Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

B. Hai tam giác ABC và MNP là hai tam giác đồng dạng

C. Hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm

D. A và N là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox

Câu 50: Cho A, B, C lần lượt là ba điểm biểu diễn số phức z₁ , z₂ , z₃ thỏa

Mệnh đề nào sau đây là đúng

A. O là trọng tâm tam giác ABC

B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C. Tam giác ABC là tam giác đều

D. Trọng tâm tam giác ABC là điểm biểu diễn số phức z₁ + z₂ + z₃

Câu 51: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi trong mặt phẳng phức. Khi đó khoảng cách OM bằng:

A. Môđun của a + bi B. C. D.

Câu 52: Cho số phức . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:

A. (6; 7) B. (6; –7) C. (–6; 7) D. (–6; –7)

Câu 53: Cho số phức z = 5 – 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

A. ( - 5; - 4) B. (5; - 4) C. (5;4) D. ( - 5;4)

Câu 54: Số phức z = 2 – 3i có điểm biểu diễn là:

A. ( - 2;3) B. (2;3) C. ( - 2; - 3) D. (2; - 3)

Câu 55: Tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức

A. B. C. D.

Câu 56: Điểm biểu diễn của số phức là:

A. (3; –2) B. C. (2; –3) D. (4; –1)

Câu 57: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i. Tìm mệnh đề đúng của các mệnh đề sau:

A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O

B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành

D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Câu 58: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là:

A. B.

C. D.

Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là một:

A. Đường tròn B. Đường Hypebol C. Đường elip D. Hình tròn

Câu 60: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = - 2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O

D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

Câu 61: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z² là số ảo là:

A. Trục ảo

B. 2 đường phân giác y = x và y = - x của các trục tọa độ

C. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

D. Trục hoành

Câu 62: Phương trình có 2 nghiệm phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi hai điểm và . Tam giác (với là gốc tọa độ) đều thì số thực bằng:

A. B, C, D đều sai B. 3 C. 2 D. 4

Câu 63: Cho số phức thỏa mãn và . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm , bán kính là

A. B. C. D.

Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực bằng 3 lần phần ảo của nó là một

A. Parabol B. Đường tròn C. Đường thẳng D. Elip

Câu 65: Tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là đường tròn tâm , bán kính

A. B. C. D.

Câu 66: Trong mặt phẳng gọi lần lượt là bốn điểm biểu diễn các số phức . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Tam giác vuông tại

B. Điểm là trung điểm của đoạn thẳng

C. Tam giác cân tại .

D. Bốn điểm nội tiếp được đường tròn.

Câu 67: Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức . Chọn kết luận đúng nhất:

A. ABCD là hình bình hành. B. ABCD là hình vuông.

C. ABCD là hình chữ nhật. D. ABCD là hình thoi.

Câu 68: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức . M, N, P là 3 đỉnh của tam giác có tính chất:

A. Vuông B. Vuông cân C. Cân D. Đều

Câu 69: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn điều kiện: = 2

A. Đáp án khác B. (x + 1)² + (y + 1)² = 4

C. (x - 1)² + (y - 1)² = 4 D. (x - 1)² + (y + 1)² = 4

Câu 70: Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn là:

A. Đường tròn B. Đường elip C. Đường thẳng D. Đường parabol

Câu 71: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho 3 số phức . Để tam giác ABC vuông tại B thì

A. - 3 B. - 2 C. 3 D. - 4

Câu 72: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thoả là đường tròn tâm I. Tất cả giá trị m thoả khoảng cách từ I đến d: 3x + 4y – m = 0 bằng là?

A. B. C. D.

Câu 73: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa là

A. Đường tròn tâm I( - 3;2), bán kính R = 4. B. Đường tròn tâm I(3; - 2), bán kính R = 16.

C. Đường tròn tâm I(3; - 2), bán kính R = 4. D. Đường tròn tâm I( - 3;2), bán kính R = 16.

Câu 74: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn trong mặt phẳng Oxy là:

A. Đường thẳng B. Đường tròn

C. B và C đều đúng. D. Đường tròn

Câu 75: Tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả điều kiện: là:

A. Đường thẳng B. Elip C. Đoạn thẳng D. Đường tròn

Câu 76: Cho phương trình x² – 2x + 2 = 0. Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm của pt. Khi đó diện tích tam giác OAB là:

A. 1đvdt B. 2đvdt C. đvdt D. đvdt

Câu 77: Trong mặt phức cho tam giác ABC vuông tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: z₁ = - 2 – 4i; z₂ = 2 – 2i. Khi đó có một điểm C biểu diễn số phức:

A. z = 2 – 4i B. z = - 2 + 2i C. z = 2 + 2i D. z = -2 – 2i, z = 2 -4i

Câu 78: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức

z₁ = 2; z₂ = 4 + i ; z₃ = - 4i. M là điểm sao cho: . Khi đó M biểu diễn số phức:

A. z = 18 –i B. z = - 9 + 18i C. z = 2 – i D. z = - 1 + 2i

Câu 79: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z₁ = 1 + 2i. B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây:

A. z = - 1 + 2i B. z = 1 – 2i C. z = - 1 – 2i D. z = 1 + 2i

Câu 80: Gọi M và M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z 0 và . Tam giác OMM’ là tam giác gì?

A. Tam giác vuông B. Tam giác cân C. Tam giác vuông cân D. Tam giác đều

Câu 81: Điểm biểu diễn của các số phức z = a + ai với a ∈ R, nằm trên đường thẳng có phương trình là:

A. y = x B. y = 2x C. y = 3x D. y = 4x

Câu 82: Cho số phức z = a - ai với a ∈ R, điểm biểu diễn của số phức đối của z nằm trên đường thẳng có phương trình là:

A. y = 2x B. y = - 2x C. y = x D. y = - x

Câu 83: Cho số phức z = a + a²i với a ∈ R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên:

- 2

(Hình 1)

- 3i

(Hình 2)

- 2

(Hình 3)

A. Đường thẳng y = 2x B. Đường thẳng y = - x + 1

C. Parabol y = x² D. Parabol y = - x²

Câu 84: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z₁, z₂. Khi đó đọ dài của véctơ bằng:

A. B. C. D.

Câu 85: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện là:

A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuông

Câu 86: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z² là một số thực âm là:

A. Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O)

C. Đường thẳng y = x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường thẳng y = - x (trừ gốc toạ độ O)

Câu 87: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z² là một số ảo là:

A. Trục hoành (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O)

C. Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường tròn x² + y² = 1

Câu 88: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z² = ()² là:

A. Trục hoành

B. Trục tung

C. Gồm cả trục hoành và trục tung

D. Đường thẳng y = x

Câu 89: Cho số phức z = x + yi. (x, y ∈ R). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho là một số thực âm là:

A. Các điểm trên trục hoành với - 1 < x < 1 B. Các điểm trên trục tung với - 1 < y < 1

C. Các điểm trên trục hoành với D. Các điểm trên trục tung với

C - ĐÁP ÁN

1D, 2C, 3B, 4D, 5C, 6B, 7C, 8A, 9A, 10B, 11A, 12B, 13B, 14C, 15C, 16C, 17D, 18A, 19D, 20A, 21A, 22B, 23D, 24C, 25B, 26C, 27B, 28A, 29D, 30D, 31C, 32D, 33D, 34D, 35B, 36A, 37, 38B, 39C, 40B, 41D, 42D, 43D, 44A, 45C, 46D, 47B, 48D, 49B, 50B, 51A, 52B, 53C, 54D, 55D, 56B, 57D, 58A, 59C, 60D, 61B, 62A, 63D, 64C, 65D, 66D, 67B, 68A, 69D, 70B, 71A, 72D, 73A, 74B, 75A, 76A, 77D, 78C, 79A, 80B, 81A, 82C, 83D, 84C, 85D, 86A, 87C, 88C, 89B.

DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

A – CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lương giác:

Giải:

Ví dụ 2: Tìm acgumen của số phức:

Giải:

acgumen của z là

Ví dụ 3: Viết số phức sau có dạng lượng giác: z = 2-2i

Giải:

Ví dụ 4: Tìm acgumen của .

Giải:

Vậy acgumen của z là

Ví dụ 5: Biết . Tìm dạng đại số của

Giải: =

Ví dụ 6: Cho ; . Tìm dạng đại số của

Giải:

Suy ra

Ví dụ 7: Gọi ; là 2 nghiệm phức của phương trình: ,

viết dạng lượng giác của ; .

Giải: ,

Ví dụ 8: Tính :

a) (1 + i)⁵ b) (1 + i)⁹

Giải:

a) (1 + i)⁵ = .

b) Ta tìm dạng lượng giác của .

Ta có : suy ra r = 2 và ϕ = π/3

Dạng lượng giác của là : 2(cosπ/3 + isin π/3)

Ví dụ 9: Cho số phức w = . Tìm các số nguyên dương n để wⁿ là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để w^m là số ảo ?

Giải: Ta có : w = ⇒ wⁿ = (n guyên dương). Số này là số thực khi và chỉ khi ⇔ 4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương của 3.

Số w^m (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi , tức là khi và chỉ khi có số nguyên k để ⇔ 8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2. Vậy không có số nguyên dương m để w^m là số ảo.

Ví dụ 10:Tính tổng

Giải: Ta có

Suy ra

Mặt khác

Từ đó

Ví dụ 11: Dùng công thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)¹⁹ và công thức Moa-vro để tính :

Giải:

Ta có : (1 + i)¹⁹ =

⇒ phần thực là

Theo Moa-vro, ta có : (1 + i)¹⁹ =

⇒ phần thực là : −2⁹. Vậy : = −2⁹ = −512.

Cách khác: (1 + i)² = 2i ⇒ (1 + i)¹⁹ = (2i)⁹(1 + i) = 2⁹.i(1 + i) = 2⁹(−1 + i), từ đó suy ra số cần tìm.

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là:

A. z = B. z =

C. z = D. z =

Câu 2: Dạng lượng giác của số phức z = là:

A. z = B. z =

C. z = D.

Câu 3: Số phức nào dưới đây được viết dưới dạng lượng giác của số phức

A. 2 B.

C. D.

Câu 4: Cho số phức z = - 1 - i. Argumen của z (sai khác k2π) bằng:

A. B. C. D.

Câu 5: Cho số phức z = cosϕ + isinϕ. kết luận nào sau đây là đúng:

A. B. C. D.

Câu 6: Cho , . Tích z₁. z₂ bằng:

A. 6(1 - 2i) B. 4i C. 6i D. 6(1 - i)

Câu 7: Cho , . Thương bằng:

A. 1 + i B. C. 1 - i D. 2(1 + i)

C – ĐÁP ÁN

1B, 2A, 3B, 4B, 5B, 6C, 7A.

Bài sau

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới