Bộ đề thi thử toán vào 10 tphcm năm 2022-2023 có lời giải chi tiết (bộ 2)

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

1. (1,5 điểm).

a) Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

1. (1 điểm). Cho phương trình: có hai nghiệm là Không giải phương trình trên, hãy tính giá trị của biểu thức
2. (1 điểm). Ngày , sau trận động đất độ Richter, cơn sóng thần (tiếng Anh là Tsunami) cao hơn đã tràn vào đảo Sulawesi của In đô nê xi a, tàn phá thành phố Palu, gây thiệt hại vô cùng to lớn. Tốc độ của cơn sóng thần và chiều sâu của đại dương, nơi bắt đầu của sóng thần, liên hệ bởi công thức . Trong đó, , là chiều sâu của đại dương tính bằng m, là vận tốc của sóng thần tính bằng m/s

a) Biết độ sâu trung bình tại Thái Bình Dương là , hãy tính tốc độ trung bình của các con sóng thần xuất phát từ đáy của Thái Bình Dương.

b) Theo tính toán của các nhà khoa học địa chất, vận tốc của đợt sóng thần ngày có vận tốc là , hãy tính chiều sâu của đại dương, nơi tâm chấn động đất gây ra sóng thần là bao nhiêu m?

1. (1,0 điểm). Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, nguời ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho nguời khuyết tật với số vốn ban đầu là triệu đồng. Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là đồng.

a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra chiếc xe lăn.

b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe mới có thể thu hồi được vốn ban đầu?

1. (1 điểm). Để giúp các bạn trẻ “khởi nghiệp”, ngân hàng cho vay vốn ưu đãi với lãi suất /năm. Một nhóm bạn trẻ vay triệu đồng làm vốn kinh doanh hàng tiểu thủ công mỹ nghệ.

a) Hỏi sau một năm các bạn trẻ phải trả cho ngân hàng cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

b) Các bạn trẻ kinh doanh hai đợt trong năm, đợt sau khi trừ các chi phí thấy lãi được so với vốn bỏ ra nên dồn cả vốn lẫn lãi để kinh doanh tiếp đợt , cuối đợt trừ các chi phí thấy lãi so với vốn đợt bỏ ra. Hỏi sau đợt kinh doanh, trả hết nợ ngân hàng, các bạn trẻ còn lãi được bao nhiêu tiền?

1. (1 điểm). Một bồn đựng nước có dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước cho trên hình vẽ

a) Tính diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp)?

b) Một vòi bơm với công suất lít/phút để bơm một lượng nước vào bồn lên độ cao cách nắp bồn là thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước)

1. (1 điểm). Hai trường A và B có học sinh đậu vào lớp đạt tỉ lệ . Riêng trường A tỉ lệ đậu , riêng trường B tỉ lệ đậu . Tính số học sinh dự thi của mỗi trường?
2. (3 điểm) Cho đường tròn và điểm ở ngoài với . Tia cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa hai điểm và ), cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa hai điểm và ).
3. Chứng minh và .
4. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
5. Tia đối của tia phân giác cắt đường tròn tại . Chứng minh là tiếp tuyến đường tròn tại .

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

Lời giải

1. Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

BGT:

(thu nhỏ điểm trên đồ thị chữ x, y chuyển sang in nghiêng cho đồng bộ vs x, y trong bài làm – nên xóa nền ô vuông)

1. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Thay vào , ta được: .

Thay vào , ta được: .

Vậy , là hai giao điểm cần tìm.

1. (1 điểm) Cho phương trình: có hai nghiệm là Không giải phương trình trên, hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu .

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có:

(sử dụng sai dấu )

1. (1 điểm) Ngày , sau trận động đất độ Richter, cơn sóng thần (tiếng Anh là Tsunami) cao hơn đã tràn vào đảo Sulawesi của In đô nê xi a, tàn phá thành phố Palu, gây thiệt hại vô cùng to lớn. Tốc độ của cơn sóng thần và chiều sâu của đại dương, nơi bắt đầu của sóng thần, liên hệ bởi công thức . Trong đó, , là chiều sâu của đại dương tính bằng m, là vận tốc của sóng thần tính bằng m/s

a) Biết độ sâu trung bình tại Thái Bình Dương là , hãy tính tốc độ trung bình của các con sóng thần xuất phát từ đáy của Thái Bình Dương.

b) Theo tính toán của các nhà khoa học địa chất, vận tốc của đợt sóng thần ngày có vận tốc là , hãy tính chiều sâu của đại dương, nơi tâm chấn động đất gây ra sóng thần là bao nhiêu m?

Lời giải

1. Tốc độ trung bình của các con sóng thần xuất phát từ đáy của Thái Bình Dương .

== m/s

1. Chiều sâu của đại dương là:

Ta có:

1. (1,0 điểm). Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, nguời ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho nguời khuyết tật với số vốn ban đầu là triệu đồng. Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là đồng. Giá bán ra mỗi chiếc là đồng.

a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được chiếc xe lăn (gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất) và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra chiếc xe lăn.

b) Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe mới có thể thu hồi được vốn ban đầu?

Lời giải

a) Ðơn vị tính là triệu đồng.

Hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra được x chiếc xe lăn là:

(1)

Hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán ra chiếc xe lăn là: (2)

b) Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được

Vậy bán chiếc thu hồi vốn là tỉ đồng.

1. (1 điểm) Để giúp các bạn trẻ “khởi nghiệp”, ngân hàng cho vay vốn ưu đãi với lãi suất /năm. Một nhóm bạn trẻ vay triệu đồng làm vốn kinh doanh hàng tiểu thủ công mỹ nghệ.

a) Hỏi sau một năm các bạn trẻ phải trả cho ngân hàng cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

b) Các bạn trẻ kinh doanh hai đợt trong năm, đợt sau khi trừ các chi phí thấy lãi được so với vốn bỏ ra nên dồn cả vốn lẫn lãi để kinh doanh tiếp đợt , cuối đợt trừ các chi phí thấy lãi so với vốn đợt bỏ ra. Hỏi sau đợt kinh doanh, trả hết nợ ngân hàng, các bạn trẻ còn lãi được bao nhiêu tiền?

Lời giải

1. Sau một năm các bạn trẻ phải trả cho ngân hàng cả vốn lẫn lãi

(triệu đồng)

1. Số tiền vốn và lãi sau đợt kinh doanh

(triệu đồng)

Số tiền lãi có được sau khi trả hết nợ ngân hàng

(triệu đồng)

1. (1 điểm) Một bồn đựng nước có dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước cho trên hình vẽ

a) Tính diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp)?

b) Một vòi bơm với công suất lít/phút để bơm một lượng nước vào bồn lên độ cao cách nắp bồn là thì phải mất bao lâu? (bồn không chứa nước)

Lời giải

a) Diện tích bề mặt của bồn (không tính nắp):

b) Thể tích cần bơm :

Thời gian cần bơm: (phút) giờ phút

1. (1 điểm) Hai trường A và B có học sinh đậu vào lớp đạt tỉ lệ . Riêng trường A tỉ lệ đậu , riêng trường B tỉ lệ đậu . Tính số học sinh dự thi của mỗi trường?

Lời giải

Gọi (học sinh) lần lượt là số học sinh dự thi của hai trường A và B. (ĐK: )

Theo đề bài ta có: (theo khung chấm điểm hiện nay học sinh bắt buộc phải lập được từng phương trình sau đó kết hợp 2 phương trình thành hệ phương trình thì mới đc điểm tối đa)

(tách Lời giải ra khỏi border)

Vậy trường A có 300 hs (học sinh) dự thi, trường B có 200 hs (học sinh) dự thi.

1. (3 điểm) Cho đường tròn và điểm ở ngoài với . Tia cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa hai điểm và ), cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa hai điểm và ).

a) Chứng minh và .

b) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh tứ giác nội tiếp.

c) Tia đối của tia phân giác cắt đường tròn tại . Chứng minh là tiếp tuyến đường tròn tại .

Lời giải

(nên vẽ OA nằm ngang song song với Ox, làm mờ các dấu góc về 0% - xóa bỏ dấu mũi tên)

1. Chứng minh và .

Ta có: (do tứ giác nội tiếp)

Xét và , ta có:

chung

(cmt)

Suy ra: (g.g)

1. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Ta có: (do là trung điểm của )

Suy ra: và

Nên:

Suy ra:

Và: chung

(c.g.c)

Vậy tứ giác nội tiếp.

1. Tia đối của tia phân giác cắt đường tròn tại . Chứng minh là tiếp tuyến đường tròn tại .

Ta có (cmt)

Mà (cân tại do )

Và (do =)

Nên

Mà ( là tia phân giác )

Mà:

tại

Xét và , ta có:

chung

(do )

Do đó: .

là tiếp tuyến tại của .

----HẾT---

1. (1,5 điểm). Cho và đường thẳng .
   1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
2. (1 điểm). Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức
3. (0,75 điểm). Trong một tháng khoảng lợi nhuận (đồng) của một cửa hàng thu được khi bán hộp sữa loại được cho bởi phương trình . Biết rằng trong tháng cửa hàng bán được hộp sữa thu lợi nhuận đồng, tháng bán được hộp sữa thu được lợi nhuận đồng. Tính hệ số và?
4. (0,75 điểm). Theo âm lịch thì do một chu kỳ quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất là khoảng ngày nên một năm âm lịch chỉ có khoảng ngày (làm tròn). Do vậy, cứ sau một vài năm âm lịch thì người ta phải bổ sung một tháng (tháng nhuận) để đảm bảo năm âm lịch tương đối phù hợp với chu kỳ của thời tiết, là yếu tố phụ thuộc vào chu kỳ quay của Trái Đất xung quanh Mặt Trời. Cách tính năm nhuận âm lịch như sau:

Lấy số năm chia cho , nếu số dư là một trong các số: thì năm âm lịch đó có tháng nhuận.

Ví dụ: là năm nhuận âm lịch vì chia cho dư .

không phải năm nhuận âm lịch vì chia cho dư .

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định năm và có phải năm nhuận âm lịch hay không?

b) Năm nhuận dương lịch là năm chia hết cho . Ngoài ra, Những năm chia hết cho chỉ được coi là năm nhuận dương lịch nếu chúng cũng chia hết cho (ví dụ là năm nhuận dương lịch nhưng không phải năm nhuận dương lịch). Trong các năm từ năm đến năm , năm nào vừa là năm nhuận âm lịch vừa là năm nhuận dương lịch.

1. (1 điểm). Tháng gia đình ông Hai thu nhập đồng và chi tiêu đồng . Tháng thu nhập giảm mà chi tiêu lại tăng . Hỏi ông Hai còn để dành tiền được không ?
2. (1 điểm). Một bể kính nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao . Mực nước trong bể cao bằng chiều cao bể. Tính thể tích nước trong bể đó (độ dày kính không đáng kể). Công thức tính thể tích nước trong bể là với là diện tích mặt đáy bể và là chiều cao mực nước trong bể.

1. (1 điểm). Bà nội dành dụm được một số tiền để thưởng cho các cháu của bà. Nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn dư đồng, nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn thiếu đồng. Hỏi bà nội dành dụm được bao nhiêu tiền và có bao nhiêu cháu ?
2. (3 điểm) Từ điểm ở ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến và cát tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm, và tia nằm giữa hai tia ,). Gọi là hình chiếu của trên , là giao điểm của và . Chứng minh:

a) Tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

b) là tia phân giác của

c) Điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm) Cho và đường thẳng .
   1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Lời giải

1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
2. BGT:

1. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Thay vào , ta được: .

Thay vào , ta được: .

Vậy , là hai giao điểm cần tìm.

1. (1 điểm). Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Vì

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có:

1. (0,75 điểm). Trong một tháng khoảng lợi nhuận (đồng) của một cửa hàng thu được khi bán hộp sữa loại được cho bởi phương trình . Biết rằng trong tháng cửa hàng bán được hộp sữa thu lợi nhuận đồng, tháng bán được hộp sữa thu được lợi nhuận đồng. Tính hệ số và ?

Lời giải

Khi thì ta có pt:

Khi thì ta có pt:

Từ và ta có hpt:

Vậy và

1. (0,75 điểm). Theo âm lịch thì do một chu kỳ quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất là khoảng ngày nên một năm âm lịch chỉ có khoảng ngày (làm tròn). Do vậy, cứ sau một vài năm âm lịch thì người ta phải bổ sung một tháng (tháng nhuận) để đảm bảo năm âm lịch tương đối phù hợp với chu kỳ của thời tiết, là yếu tố phụ thuộc vào chu kỳ quay của Trái Đất xung quanh Mặt Trời. Cách tính năm nhuận âm lịch như sau:

Lấy số năm chia cho , nếu số dư là một trong các số: thì năm âm lịch đó có tháng nhuận.

Ví dụ: là năm nhuận âm lịch vì chia cho dư .

không phải năm nhuận âm lịch vì chia cho dư .

1. Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định năm và có phải năm nhuận âm lịch hay không?
2. Năm nhuận dương lịch là năm chia hết cho . Ngoài ra, Những năm chia hết cho chỉ được coi là năm nhuận dương lịch nếu chúng cũng chia hết cho (ví dụ là năm nhuận dương lịch nhưng không phải năm nhuận dương lịch). Trong các năm từ năm đến năm , năm nào vừa là năm nhuận âm lịch vừa là năm nhuận dương lịch.

Lời giải

1. chia dư nên là năm nhuận âm lịch .

chia dư nên không là năm nhuận âm lịch.

1. Các năm nhuận dương lịch:

Trong đó chia dư nên cũng là năm nhuận âm lịch.

Vậy năm vừa là năm nhuận âm lịch vừa là năm nhuận dương lịch.

1. (1 điểm). Tháng gia đình ông Hai thu nhập đồng và chi tiêu đồng . Tháng thu nhập giảm mà chi tiêu lại tăng . Hỏi tháng ông Hai còn để dành tiền được không ?

Lời giải

Thu nhập của gia đình ông Hai vào tháng là:

đồng

Số tiền chi tiêu của gia đình ông Hai vào tháng là:

đồng

Vậy gia đình ông Hai không để dành được tiền trong tháng (vì )

1. (1 điểm). Một bể kính nuôi cá có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao . Mực nước trong bể cao bằng chiều cao bể. Tính thể tích nước trong bể đó (độ dày kính không đáng kể). Công thức tính thể tích nước trong bể là với là diện tích mặt đáy bể và là chiều cao mực nước trong bể.

Lời giải

Đổi

Thể tích bể cá là:

Thể tích nước có trong bể cá là:

1. (1 điểm). Bà nội dành dụm được một số tiền để thưởng cho các cháu của bà. Nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn dư đồng, nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn thiếu đồng. Hỏi bà nội dành dụm được bao nhiêu tiền và có bao nhiêu cháu ?

Lời giải

Gọi (đồng) là số tiền Bà nội dành dụm ()

Gọi là số cháu của Bà nội ()

Theo đề bài nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn dư đồng nên ta có phương trình :

Ta lại có nếu bà thưởng cho mỗi cháu đồng thì bà còn thiếu đồng nên ta có phương trình:

Từ và ta có hệ phương trình :

Vậy số tiền Bà nội dành dụm được là đồng và bà có cháu.

1. (3 điểm) Từ điểm ở ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến và cát tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm, và tia nằm giữa hai tia ,). Gọi là hình chiếu của trên , là giao điểm của và . Chứng minh:
2. Tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
3. là tia phân giác của
4. Điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp

Lời giải

1. Chứng minh rằng: Tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Xét tứ giác , có:

( là tiếp tuyến của )

( là hình chiếu của trên )

Tứ giác nội tiếp.

Vì nên tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của

1. Chứng minh rằng: là tia phân giác của

Xét tứ giác , có:

( là tiếp tuyến của )

( là tiếp tuyến của )

Tứ giác nội tiếp.

Mà tứ giác nội tiếp (cmt)

năm điểm cùng thuộc một đường tròn.

Mà ( là tiếp tuyến của )

là tia phân giác của

1. Chứng minh: Điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp .

Xét và

: chung

(cùng chắn cung )

là đường trung trực của

tại

(2)

Từ (1), (2) suy ra:

Xét và

: chung

(Chứng minh trên)

tứ giác nội tiếp

thuộc đường tròn ngoại tiếp .

----HẾT---

1. (1,5 điểm). Cho Parabol và đường thẳng .
   1. Vẽ và trên cùng mặt phẳng tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.
2. (1 điểm). Cho phương trình . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Lưu ý: Từ bài này, các số liệu tính toán về độ dài khi làm tròn (nếu có) lấy đến một chữ số thập phân, số đo góc làm tròn đến phút.

1. (1 điểm). Ông Ba mua một ký khoai tại vườn là đồng một ký, tiền xe vận chuyển từ vườn đến nơi tiêu thụ là đồng một chuyến. Gọi là số khoai ông Ba mua mỗi chuyến, (đồng) là tổng chi phí cho một chuyến khoai.
2. Lập công thức tính theo .
3. Biết sau một chuyến khoai, ông Ba thu được triệu đồng và lãi được triệu đồng. Hỏi ông Ba đã mua bao nhiêu khoai và đã bán ra với giá bao nhiêu tiến ký?
4. (0,75 điểm). Bạn Nam nhặt được một tấm gỗ bị gãy là một phần của hình tròn (hình 1). Nam muốn biết bán kính của hình tròn chứa tấm gỗ là bao nhiêu, nên bạn ấy đã kẻ một dây bất kỳ trên tấm gỗ, sau đó dựng đường trung trực của và xác định các điểm và điểm (hình 2). Nam đo được , . Em hãy giúp bạn ấy tính bán kính của hình tròn chứa tấm gỗ.
5. (1 điểm). Ngày thứ giá một ký thịt Lợn giảm so với ngày thứ , nhưng giá của một ký thịt Lơn trong ngày thứ lại tăng so với ngày thứ . Biết giá một ký thịt Lợn ở ngày thứ là đồng một ký.
6. Tính một ký thịt Lợn ở ngày thứ .
7. Thứ giá một ký thịt Lợn tăng so với ngày thứ . Ngày thứ , giá một ký thịt Lợn giảm so với ngày thứ . Giá một ký thịt Lợn ở ngày thứ là đồng. Hãy tìm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ).
8. (1 điểm). Hôm qua, bà Tư bán gà và vịt được tổng cộng đồng. Hôm nay giá gà tăng và giá vịt giảm nên bà bán gà và vịt thu được tổng cộng đồng. Tính giá một gà, một vịt của ngày hôm qua.
9. (1 điểm). Bạn Bình đổ lít nước vào một cái nón lá thì đầy nón. Bình đo được đường kính vòng tròn đáy của nón là . Biết công thức tính thể tích hình nón là . Với là bán kính đáy, là chiều cao hình nón. Độ dài đường sinh của hình nón bằng bao nhiêu ? (làm tròn 1 chữ số thập phân).
10. (3 điểm) Cho và dây . Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ , kẻ đường kính , trên tia đối của tia lấy , cắt tại , cắt tại . cắt tại
    1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
    2. Chứng minh .
    3. Chứng minh .

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm) Cho Parabol và đường thẳng .
   1. Vẽ và trên cùng mặt phẳng tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

Lời giải

1. Vẽ và trên cùng mặt phẳng tọa độ.
2. BGT:

1. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Thay vào , ta được: .

Thay vào , ta được: .

Vậy , là hai giao điểm cần tìm.

1. (1 điểm) Cho phương trình . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Lời giải

Vì

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có:

Lưu ý: Từ bài này, các số liệu tính toán về độ dài khi làm tròn (nếu có) lấy đến một chữ số thập phân, số đo góc làm tròn đến phút.

1. (1 điểm) Ông Ba mua một ký khoai tại vườn là đồng một ký, tiền xe vận chuyển từ vườn đến nơi tiêu thụ là đồng một chuyến. Gọi là số khoai ông Ba mua mỗi chuyến, (đồng) là tổng chi phí cho một chuyến khoai.
   1. Lập công thức tính theo .
   2. Biết sau một chuyến khoai, ông Ba thu được triệu đồng và lãi được triệu đồng. Hỏi ông Ba đã mua bao nhiêu khoai và đã bán ra với giá bao nhiêu tiến ký?

Lời giải

a) Gọi là số khoai ông Ba mua mỗi chuyến.

là tổng chi phí chi trả cho một chuyến khoai.

Theo đề bài ta có mối liên hệ giữa và là: (đồng)

b) Sau một chuyến khoai, ông Ba thu được triệu đồng và lãi triệu đồng

Như vậy ta có tiền vốn: triệu đồng và (vốn + lãi): triệu đồng

Số kg khoai mà ông Ba đã mua:

Gọi là giá ký ông Ba đã bán ra

Như vậy ta có:

Với (đồng) và ta có giá bán của ký là:

(đồng/ ký)

Vậy ông Ba đã mua khoai và bán ra với giá là đồng ký.

1. (0,75 điểm). Bạn Nam nhặt được một tấm gỗ bị gãy là một phần của hình tròn (hình 1). Nam muốn biết bán kính của hình tròn chứa tấm gỗ là bao nhiêu, nên bạn ấy đã kẻ một dây bất kỳ trên tấm gỗ, sau đó dựng đường trung trực của và xác định các điểm và điểm (hình 2). Nam đo được , . Em hãy giúp bạn ấy tính bán kính của hình tròn chứa tấm gỗ.

Lời giải

(Lỗi thiếu hình 1 và hình 2)

1. (1 điểm) Ngày thứ giá một ký thịt Lợn giảm so với ngày thứ , nhưng giá của một ký thịt Lơn trong ngày thứ lại tăng so với ngày thứ . Biết giá một ký thịt Lợn ở ngày thứ là đồng một ký.
   1. Tính một ký thịt Lợn ở ngày thứ .
   2. Thứ 5 giá một ký thịt Lợn tăng so với ngày thứ . Ngày thứ , giá một ký thịt Lợn giảm so với ngày thứ . Giá một ký thịt Lợn ở ngày thứ là đồng. Hãy tìm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ).

Lời giải

1. Gọi là giá bán theo từng ngày (với là ngày tương ứng)

Theo đề bài ta có:

Ngày thứ giá một ký thịt Lợn giảm 10% so với ngày thứ :

Giá của một ký thịt Lơn trong ngày thứ lại tăng so với ngày thứ :

Biết giá ngày thứ : (đồng/ký)

Dựa vào ta có giá bán ngày thứ :

(đồng/ký)

Vậy giá bán ngày thứ là đồng/ký

b) Theo đề bài ta có:

Thứ giá một ký thịt Lợn tăng so với ngày thứ :

Ngày thứ , giá một ký thịt Lợn giảm so với ngày thứ :

Giá một ký thịt Lợn ở ngày thứ là đồng: (đồng)

Từ và ta liên hệ được:

1. (1 điểm) Hôm qua, bà Tư bán gà và vịt được tổng cộng đồng. Hôm nay giá gà tăng và giá vịt giảm nên bà bán gà và vịt thu được tổng cộng đồng. Tính giá một gà, một vịt của ngày hôm qua.

Lời giải

Gọi , lần lượt là giá của một kg gà và một ký vịt ngày hôm qua.

Theo đề bài, ta có:

Giá tiền tổng số gà và vịt ngày hôm qua: (1)

Giá tiền của tổng số gà và vịt sau khi giá gà tăng và giá vịt giảm : (2)

Từ (1) và (2)

Vậy giá của một gà vào ngày hôm qua là đồng.

giá của một vịt vào ngày hôm qua là đồng.

1. (1 điểm)

Bạn Bình đổ lít nước vào một cái nón lá thì đầy nón. Bình đo được đường kính vòng tròn đáy của nón là . Biết công thức tính thể tích hình nón là . Với là bán kính đáy, là chiều cao hình nón. Độ dài đường sinh của hình nón bằng bao nhiêu ? (làm tròn 1 chữ số thập phân).

Lời giải

Bán kính vòng tròn đáy của nón là:

Chiều cao của nón là:

Độ dài đường sinh của hình nón là:

1. (3 điểm ) Cho và dây . Gọi là điểm chính giữa cung nhỏ , kẻ đường kính , trên tia đối của tia lấy , cắt tại , cắt tại . cắt tại
   1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
   2. Chứng minh .
   3. Chứng minh .

Lời giải

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Ta có: nằm giữa cung nhỏ

sđ = sđ

Lại có: (góc nội tiếp chắn )

(góc nội tiếp chắn )

Nên:

tứ giác nội tiếp ( góc cùng nhìn bằng nhau)

1. Chứng minh .

Ta có: (góc nội tiếp chắn )

Và (góc nội tiếp chắn )

(cùng chắn cung )

(đồng vị)

1. Chứng minh .

Từ kẻ là đường kính

Ta có: (đối đỉnh)

= sđ

= sđ

Lại có:

mà

Xét và có:

(g – g)

(đpcm)

----HẾT---

1. (1,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị và có đồ thị là
   1. Vẽ và trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.
2. (1 điểm). Gọi là nghiệm (nếu có) của phương trình . Không giải phương trình, hãy tính các biểu thức sau: .

Lưu ý: Từ bài này, các số liệu tính toán về độ dài khi làm tròn (nếu có) lấy đến một chữ số thập phân, số đo góc làm tròn đến phút.

1. (1 điểm). Một nhà máy sản xuất xi măng có sản lượng hàng năm được xác định theo hàm số . Với là sản lượng (đơn vị tấn) và n là số năm sinh tính từ năm .
2. Hãy tính sản lượng xi măng của nhà máy vào năm .
3. Theo hàm số trên thì nhà máy đạt sản lượng tấn vào năm nào?
4. (0,75 điểm). Trong cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi ban đầu được cho điểm thưởng. Mỗi cái bánh làm ra nhận được điểm thưởng. Đội gói được cái bánh có tổng số điểm là điểm. Đội gói được cái bánh có tổng số điểm là điểm. Gọi là tổng số điểm của mỗi đội, là số cái bánh mỗi đội gói được trong cuộc thi. Viết công thức liên hệ giữa và .
5. (1 điểm). Bạn Nam mua hai đôi giày và bán lại với giá của mỗi đôi là (đồng). Biết đôi thứ nhất Nam lời được so với giá Nam đã mua đôi thứ nhất, đôi thứ Nam lỗ so với giá Nam đã mua đôi thứ hai. Hỏi sau khi bán hai đôi giày trên, Nam lời hay lỗ bao nhiêu tiền?
6. (1 điểm). Người ta phát hiện ra rằng, góc để ném một hòn đá đi được xa nhất trên mặt nước là độ. Một người cao ném một hòn đá theo góc độ xuống mặt hồ. Hỏi khoảng cách từ vị trí người đó đến vị trí viên đá chạm mặt hồ là bao xa. Biết vị trí hòn đá ngang tầm đầu khi người đó ném đi. (Làm tròn lấy 1 chữ số thập phân)
7. (1 điểm). Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao .
8. Hỏi nếu bơm nước đầy hồ bơi thì cần bao nhiêu nước?
9. Người ta dùng gạch hình vuông cạnh để lát các mặt bên trong của hồ bơi (không tính mặt đáy). Hỏi cần bao nhiêu viên gạch như vậy? (nếu xem khấu hao khe hở giữa các viên gạch là không đáng kể)
10. (3 điểm) Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến , của (, : tiếp điểm). Vẽ cát tuyến của (, thuộc ; nằm giữa và ; tia nằm giữa hai tia và ).
    1. Chứng minh
    2. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
    3. Đường thẳng cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ). Chứng minh .

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị và có đồ thị là .
   1. Vẽ và trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

Lời giải

1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.

BGT:

1. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép toán.

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Thay vào , ta được: .

Thay vào , ta được: .

Vậy , là hai giao điểm cần tìm.

1. (1 điểm) Gọi là nghiệm (nếu có) của phương trình . Không giải phương trình, hãy tính các biểu thức sau: ..

Lời giải

Vì

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có:

Lưu ý: Từ bài này, các số liệu tính toán về độ dài khi làm tròn (nếu có) lấy đến một chữ số thập phân, số đo góc làm tròn đến phút.

1. (1 điểm) Một nhà máy sản xuất xi măng có sản lượng hàng năm được xác định theo hàm số . Với là sản lượng (đơn vị tấn) và n là số năm sinh tính từ năm .
   1. Hãy tính sản lượng xi măng của nhà máy vào năm .
   2. Theo hàm số trên thì nhà máy đạt sản lượng tấn vào năm nào?

Lời giải

1. Sản lượng xi măng của nhà máy vào năm ():

(tấn)

1. Nhà máy đạt sản lượng tấn vào năm:

Vậy nhà máy đạt sản lượng tấn vào năm .

1. (0,75 điểm). Trong cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi ban đầu được cho điểm thưởng. Mỗi cái bánh làm ra nhận được điểm thưởng. Đội gói được cái bánh có tổng số điểm là điểm. Đội gói được cái bánh có tổng số điểm là điểm. Gọi là tổng số điểm của mỗi đội, là số cái bánh mỗi đội gói được trong cuộc thi. Viết công thức liên hệ giữa và .

Lời giải

Số điểm thưởng của đội :

Số điểm thưởng của đội :

Từ và

Từ đề bài ta có mối liên hệ và là:

Thay và vào ta được: .

1. (1 điểm) Bạn Nam mua hai đôi giày và bán lại với giá của mỗi đôi là (đồng). Biết đôi thứ nhất Nam lời được so với giá Nam đã mua đôi thứ nhất, đôi thứ Nam lỗ so với giá Nam đã mua đôi thứ hai. Hỏi sau khi bán hai đôi giày trên, Nam lời hay lỗ bao nhiêu tiền?

Lời giải

Coi giá mua mỗi đôi giày là 100%

Giá Nam mua đôi giày thứ nhất là: (đồng)

Giá Nam mua đôi giày thứ hai là: (đồng)

Giá Nam mua hai đôi giày là: (đồng)

Giá Nam bán hai đôi giày là: (đồng)

Ta có: đồng đồng, vậy Nam bị lỗ và lỗ số tiền là:

(đồng)

Vậy Nam bị lỗ và lỗ (đồng)

1. (1 điểm) Người ta phát hiện ra rằng, góc để ném một hòn đá đi được xa nhất trên mặt nước là độ. Một người cao ném một hòn đá theo góc độ xuống mặt hồ. Hỏi khoảng cách từ vị trí người đó đến vị trí viên đá chạm mặt hồ là bao xa. Biết vị trí hòn đá ngang tầm đầu khi người đó ném đi. (Làm tròn lấy 1 chữ số thập phân)

Lời giải

Gọi:

là chiều cao của người ném hòn đá

là khoảng cách từ vị trí người đó đến vị trí viên đá chạm mặt hồ

Từ đề bài ta có hình vẽ:

Dựa vào hình vẽ:

Xét vuông tại có:

Vậy khoảng cách từ vị trí người đó đến vị trí viên đá chạm mặt hồ là .

1. (1 điểm) Một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài , chiều rộng , chiều cao .
   1. Hỏi nếu bơm nước đầy hồ bơi thì cần bao nhiêu nước?
   2. Người ta dùng gạch hình vuông cạnh để lát các mặt bên trong của hồ bơi (không tính mặt đáy). Hỏi cần bao nhiêu viên gạch như vậy? (nếu xem khấu hao khe hở giữa các viên gạch là không đáng kể)

Lời giải

1. Lượng nước bơm vào để đầy hồ bơi cũng chính bằng thể tích của hồ :

Vậy cần nước để bơm đầy hồ bơi.

1. Đổi

Diện tích một viên gạch hình vuông:

Diện tích xung quanh hồ bơi:

Số viên gạch cần dùng để lát xung quanh các mặt bên trong hồ bơi là:

(viên gạch)

Vậy cần 1800 viên gạch để lát xung quanh các mặt bên trong hồ bơi.

1. (3 điểm) Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn . Vẽ hai tiếp tuyến , của (, : tiếp điểm). Vẽ cát tuyến của (, thuộc ; nằm giữa và ; tia nằm giữa hai tia và ).
   1. Chứng minh
   2. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
   3. Đường thẳng cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ). Chứng minh .

Lời giải

1. Chứng minh .

Xét và , có:

chung và (góc tạo bởi tiếp tuyến với và góc nội tiếp chắn )

.

Nên: .

1. Gọi là giao điểm của và . Chứng minh tứ giác nội tiếp.

là tiếp tuyến của

vuông tại .

là tiếp tuyến của

vuông góc tại .

Xét và có:

(ch – cgv)

là phân giác của

mà cân ở

là đường cao

tại

Xét vuông tại có là đường cao

mà

Xét và có:

(cmt)

chung

(c – g – c)

mà (kề bù)

mà đây là góc đối trong tứ giác

tứ giác nội tiếp.

1. Đường thẳng cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ). Chứng minh .

Ta có: (cmt)

mà

Lại có: (tứ giác nội tiếp)

(kề bù)

Xét và có:

(cmt)

(cmt)

(g – g)

Xét và có:

chung

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

(g – g)

Lại có:

mà

mà ,

(cmt)

(đpcm)

----HẾT---

1. (1,5 điểm). Cho và đường thẳng .
   1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.
2. (1 điểm). Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .
3. (0,75 điểm). Bạn An ra nhà sách và mang theo một số tiền vừa đủ đổ mua quyền tập và cây bút. Nhưng khi ra đến nơi, giá một quyền tập mà bạn An dự định mua đã tăng thêm đồng một quyển còn giá một cây bút thì giảm đồng một cây so với dự định. Vậy để mua quyển tập và cây bút như dự định ban đầu thì bạn An còn thừa hay thiếu số tiền là bao nhiêu ?
4. (0,75 điểm). Nhân ngày "Phụ nữ Việt Nam 20/10", cửa hàng bán túi xách và ví da giảm giá cho tất cả các sẩn phẩm và ai có thẻ "Khách hàng thân thiết" sẽ được giảm tiếp trên giá đã giảm.
   1. Hỏi mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết khi mua một cái túi xách trị giá đồng thì phải trả bao nhiêu tiền ?
   2. Mẹ bạn An mua túi xách trên và thêm một cái ví da nên phải trả tất cả đồng. Hỏi giá ban đầu của cái ví da là bao nhiêu ?
5. (1 điểm). Ảnh hưởng dịch viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona (nCoV) gây ra nên nông sản Việt, đặc biệt là thanh long, dưa hấu đang tắc đường xuất khẩu qua Trung Quốc. Trước tình hình đó, bắt đầu từ ngày 5/2/2020, hệ thống siêu thị Big đã triển khai chương trình chung tay hỗ trợ nông dân trồng dưa hấu, thanh long, bán hàng không lợi nhuận đối với sản phẩm thanh long và dưa hấu, nhằm kích cầu tiêu thụ, mua sắm của người dân. Big đã đưa ra con số dự kiến giải cứu khoảng tấn thanh long, tấn dưa hấu hỗ trợ nông dân, mang sản phẩm bán trên toàn hệ thống siêu thị và các cửa hàng thuộc thương hiệu GO! Với giá dưa hấu ruột đỏ chỉ đồng/kg, thanh long ruột đỏ miền Tây và thanh long ruột trắng Bình Thuận được bán với giá đồng/kg.

Nếu hoàn thành dự kiến đưa ra thì Big sẽ đem lại cho nông dân bao nhiêu tiền lợi nhuận? Biết rằng tiền đầu tư (công chăm sóc, giống, phân bón....) trung bình vào mỗi sào dưa hấu hết triệu đồng và thu hoạch được tấn; mỗi sào thanh long hết triệu đồng và thu được tấn.

1. (1 điểm). Một cốc nước hình trụ cao , đường kính đáy là . Lượng nước ban đầu cao . Thả vào cốc viên bi hình cầu cùng đường kính . Hỏi sau khi thả viên bi thì mực nước cách miệng cốc bao nhiêu ? (Làm tròn lấy chữ số thập phân)
2. (1 điểm). Trong kỳ thi HKII môn toán lớp , một phòng thi của trường có thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh làm bài tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài tờ giấy thi ? Biết rằng có thí sinh chỉ làm tờ giấy thi.
3. (3 điểm) Cho điểm nằm ngoài đường tròn . Qua kẻ tiếp tuyến và của . cắt tại ., kẻ cát tuyến của cắt đoạn , kẻ vuông góc với tại .
   1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
   2. Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh cùng thuộc một đường tròn.
   3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

----HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

1. (1,5 điểm) Cho và đường thẳng .
   1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.
   2. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Lời giải

1. Vẽ đồ thị và trên cùng hệ trục tọa độ.

BGT:

1. Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính.

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Thay vào , ta được: .

Thay vào , ta được: .

Vậy , là hai giao điểm cần tìm.

1. (1 điểm) Cho phương trình có nghiệm là . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức .

Lời giải

Vì

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có:

.

1. (1 điểm) Bạn An ra nhà sách và mang theo một số tiền vừa đủ đổ mua 10 quyền tập và 6 cây bút. Nhưng khi ra đến nơi, giá một quyền tập mà bạn An dự định mua đã tăng thêm đồng một quyển còn giá một cây bút thì giảm đồng một cây so với dự định. Vậy để mua 10 quyển tập và 6 cây bút như dự định ban đầu thì bạn An còn thừa hay thiếu số tiền là bao nhiêu ?

Lời giải

Gọi (đồng) là giá tiền một quyển tập lúc đầu , (đồng) là giá tiền một cây bút lúc sau. .

Suy ra: (đồng) là giá tiền một quyển tập lúc sau, (đồng) là giá tiền một cây bút lúc sau.

Tổng số tiền bạn An dự định phải trả lúc đầu là (đồng)

Tổng số tiền bạn An phải trả lúc đầu là (đồng)

Xét hiệu (đồng)

Vậy để mua 10 quyển tập và 6 cây bút như dự định ban đầu thì bạn An còn dư số tiền là đồng

1. (1 điểm). Nhân ngày "Phụ nữ Việt Nam 20/10", cửa hàng bán túi xách và ví da giảm giá cho tất cả các sẩn phẩm và ai có thẻ "Khách hàng thân thiết" sẽ được giảm tiếp trên giá đã giảm.
   1. Hỏi mẹ bạn An có thẻ khách hàng thân thiết khi mua 1 cái túi xách trị giá đồng thì phải trả bao nhiêu tiền ?
   2. Mẹ bạn An mua túi xách trên và thêm 1 cái ví da nên phải trả tất cả đồng. Hỏi giá ban đầu của cái ví da là bao nhiêu ?

Lời giải

a) Số tiền mẹ bạn An phải trả là: đồng.

b) Giá đã giảm của cái ví da là: đồng.

Giá ban đầu của cái bóp là: đồng.

1. (1 điểm) Ảnh hưởng dịch viêm đường hô hấp cấp do chủng mới của virus corona (nCoV) gây ra nên nông sản Việt, đặc biệt là thanh long, dưa hấu đang tắc đường xuất khẩu qua Trung Quốc. Trước tình hình đó, bắt đầu từ ngày 5/2/2020, hệ thống siêu thị Big C đã triển khai chương trình chung tay hỗ trợ nông dân trồng dưa hấu, thanh long, bán hàng không lợi nhuận đối với sản phẩm thanh long và dưa hấu, nhằm kích cầu tiêu thụ, mua sắm của người dân. Big C đã đưa ra con số dự kiến giải cứu khoảng tấn thanh long, tấn dưa hấu hỗ trợ nông dân, mang sản phẩm bán trên toàn hệ thống siêu thị và các cửa hàng thuộc thương hiệu GO! Với giá dưa hấu ruột đỏ chỉ đồng/kg, thanh long ruột đỏ miền Tây và thanh long ruột trắng Bình Thuận được bán với giá đồng/kg.

Nếu hoàn thành dự kiến đưa ra thì Big C sẽ đem lại cho nông dân bao nhiêu tiền lợi nhuận ? Biết rằng tiền đầu tư (công chăm sóc, giống, phân bón....) trung bình vào mỗi sào dưa hấu hết triệu đồng và thu hoạch được tấn; mỗi sào thanh long hết triệu đồng và thu được tấn.

Lời giải

Tổng số tiền đầu tư vào tấn thanh long và tấn dưa hấu là:

triệu đồng.

Tổng số tiền bán được là:

triệu đồng

Số tiền lợi nhuận là: triệu đồngđồng

1. (1 điểm) Một cốc nước hình trụ cao , đường kính đáy là . Lượng nước ban đầu cao . Thả vào cốc 5 viên bi hình cầu cùng đường kính . Hỏi sau khi thả 5 viên bi thì mực nước cách miệng cốc bao nhiêu ? (Làm tròn lấy 2 chữ số thập phân).

Lời giải

Thể tích của 5 viên bi là: .

Thể tích của lượng nước ban đầu: .

Tổng thể tích cả bi và nước lúc sau: .

.

1. (1 điểm) Trong kỳ thi HKII môn toán lớp 9, một phòng thi của trường có 24 thí sinh dự thi. Các thí sinh đều phải làm bài trên giấy thi của trường phát cho. Cuối buổi thi, sau khi thu bài, giám thị coi thi đếm được tổng số tờ là 53 tờ giấy thi. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh làm bài 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh làm bài 3 tờ giấy thi ? Biết rằng có 3 thí sinh chỉ làm 1 tờ giấy thi.

Lời giải

Gọi số thí sinh làm bài làm tờ giấy thi là (thí sinh);

Gọi số thí sinh làm bài gồm tờ giấy thi là (thí sinh);

phòng thi có thí sinh mà đã biết học sinh làm tờ nên ta có:

Sau khi thi bài cán bộ coi thi đếm được tổng có tờ giấy thi mà có học sinh làm tờ nên ta có phương trình sau:

Từ và ta có hệ phương trình:

Vậy có thí sinh làm tờ giấy thi, thí sinh làm tờ giấy thi.

1. (3 điểm) Cho điểm nằm ngoài đường tròn . Qua kẻ 2 tiếp tuyến và của . cắt tại ., kẻ cát tuyến của cắt đoạn , kẻ vuông góc với tại .
   1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
   2. Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh cùng thuộc một đường tròn.
   3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Lời giải

1. Chứng minh tứ giác nội tiếp và .

Xét tứ giác , có:

Tứ giác nội tiếp.

Ta có: là đường trung trực của tại .

Xét tam giác vuông tại có là đường cao:

1. Tiếp tuyến tại của cắt tại . Chứng minh cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác vuông tại có là đường cao:

Ta có:

Xét tam giác và ta có:

tại .

Xét tứ giác , có:

Tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác và tam giác có:

Xét tam giác vuông tại có là đường cao:

Suy ra

Xét tam giác và tam giác có:

Xét tứ giác có

Tứ giác nội tiếp, mà tứ giác nội tiếp nên 5 điểm cùng thuộc 1 đường tròn

1. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Xét đường tròn qua 5 điểm , ta có và là đường kính, suy ra , mà tại nên thẳng hàng.

----HẾT---