Bài tập tự luận đại cương về đường thẳng và mặt phẳng có lời giải

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

A. CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Các tính chất thừa nhận.

• Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
• Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
• Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .

• Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

2. Cách xác định mặt phẳng.

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết:

• Nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Nó đi qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
• Nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Các kí hiệu:

• là kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng ( h1)
• là kí hiệu mặt phẳng đi qua và điểm (h2)
• là kí hiệu mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau (h3)

3. Hình chóp và hình tứ diện.

3.1. Hình chóp.

Trong mặt phẳng cho đa giác lồi . Lấy điểm nằm ngoài .

Lần lượt nối với các đỉnh ta được tam giác . Hình gồm đa giác và tam giác được gọi là hình chóp , kí hiệu là .

Ta gọi là đỉnh, đa giác là đáy , các đoạn là các cạnh bên, là các cạnh đáy, các tam giác là các mặt bên…

3.2. Hình Tứ diện

Cho bốn điểm không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác

và được gọi là tứ diện .

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó là giao tuyến.

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng và thường được tìm như sau :

Tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc và , đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng nào đó; giao điểm chính là điểm chung của và .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

a) và b) và

c) và d) và

Lời giải.

a) Gọi

Lại có

.

b)

.

Và .

c) Trong gọi

Và

d) Trong gọi , ta có .

Ví dụ 2. Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , là điểm trên đoạn

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .

b) Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và sao cho không song song với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Lời giải.

a) Trong gọi , trong gọi

Lại có .

Tương tự, trong gọi , trong gọi

là điểm chung thứ hai của và nên .

b) Trong gọi , ; trong gọi .

Có ,

. Vậy .

Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

Phương pháp:

• Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
• Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng còn lại.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện . Trên và lấy các điểm và sao cho cắt tại , cắt tại , cắt tại .

Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Lời giải.

Ta có

.

Tương tự

Từ (1),(2) và (3) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng đi qua cắt lần lượt tại . Một mặt phẳng đi qua cắt tương ứng tại và .

a) Gọi . Chứng minh thẳng hàng.

b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.

Lời giải.

1. Ta có , (1)

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác , gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Một mặt phẳng cắt các cạnh bên tưng ứng tại các điểm . Chứng minh các đường thẳng đồng qui.

Lời giải.

Trong mặt phẳng gọi .

Ta sẽ chứng minh .

Dễ thấy .

Vậy đồng qui tại .

Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng . Trong lấy hai điểm nhưng không thuộc và là một điểm không thuộc . Các đường thẳng cắt tương ứng tại các điểm . Gọi là giao điểm của và .Chứng minh và đồng qui.

Lời giải.

Trước tiên ta có vì ngược lại thì

(mâu thuẫn giả thiết) do đó không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng .

Do

Tương tự

Từ (1) và (2) suy ra .

Mà

.

Vậy và đồng qui đồng qui tại .

Bài toán 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta cần lưu ý một số trường hợp sau:

Trường hợp 1. Nếu trong có sẵn một đường thẳng cắt tại , khi đó

Trường hợp 2. Nếu trong chưa có sẵn cắt thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng chứa

Bước 2: Tìm giao tuyến

Bước 3: Trong gọi thì chính là giao điểm của .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác với đáy có các cạnh đối diện không song song với nhau và là một điểm trên cạnh .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .

b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong gọi .

Ta có và nên .

b) Trong gọi .

Trong gọi .

Ta có và nên .

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác , là một điểm trên cạnh , là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Lời giải.

Trong mặt phẳng gọi .

Trong gọi và .

Ta có

.

Do đó .

Vậy

Bài toán 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP.

Phương pháp:

Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng , ta tìm giao điểm của mặt phẳng với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao điểm của với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của hình chóp)

Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thang với là đáy lớn và là một điểm trên cạnh .

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng .

b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Lời giải.

a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong mặt phẳng gọi .

Ta có nên , do đó .

Thiết diện là tứ giác .

b)Trong mặt phẳng gọi lần lượt là các giao điểm của với và

Trong mặt phẳng gọi

Trong mặt phẳng gọi .

Ta có ,

VậyTương tự .

Thiết diện là ngũ giác .

Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành tâm . Gọi là ba điểm trên các cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

Lời giải.

Trong mặt phẳng gọi lần lượt là giao điểm của với .

Trong mặt phẳng gọi

Trong mặt phẳng gọi

Trong mặt phẳng gọi .

Ta có , .

Lí luận tương tự ta có .

Thiết diện là ngũ giác .

Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

Phương pháp:

Để dựng đường thẳng đi qua và cắt ta dựng giao tuyến của hai mặt phẳng và , khi đó .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện , là điểm huộc miền trong tam giác , là một điểm trên cạnh .

a) Dựng đường thẳng đi qua cắt cả và .

b) Gọi là mộtđiểm trên cạnh sao cho không song song với . Dựng đường thẳng đi qua cắt và .

Lời giải.

a) Trong gọi

Trong gọi

Đường thẳng chính là đường thẳng đi qua cắt cả và .

b) Trong mặt phẳng gọi

Trong gọi , trong gọi , thì chính là đường thẳng đi qua

cắt cả và .

Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.

Phương pháp:

Để tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng thay đổi ta chọn hai mặt phẳng cố định và cắt nhau lần lượt chứa , khi đó

Vậy điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Để chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ta thực hiện theo các bước sau

• Chọn một điểm cố định thuộc hai mặt phẳng và
• Chứng minh là giao tuyến của hai mặt phẳng và , khi đó đi qua điểm cố định .

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng quay quanh cắt các cạnh tại các điểm tương ứng .

a) Tìm tập hợp giao điểm của và .

b) Tìm tập hợp giao điểm của và .

Lời giải.

a) Phần thuận:

Ta có ,

.

Trong gọi

.

.

Giới hạn:

Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .

Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .

Phần đảo:

Lấy điểm bất kì thuộc đoạn , trong gọi , trong gọi khi đó là mặt phẳng quay quanh cắt các cạnh tại và là giao điểm của và .

Vậy tập hợp điểm là đoạn .

b) Ta có Nhưng nên .

Khi chạy đến chạy đến thì chạy đến và chạy đến .

Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm là đoạn .

Ví dụ 2. Cho tứ diện . Hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh và sao cho . Một mặt phẳng thay đổi luôn chứa , cắt các cạnh và lần lượt tại và .

a) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tìm tập hợp giao điểm của và .

c) Tìm tập hợp giao điểm của và .

Lời giải.

a) Trong gọi thì cố định và

Lại có Vậy luôn đi qua điểm cố định

b) Phần thuận:

Trong gọi

.

Gọi

Giới hạn:

Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến

Khi Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến

Phần đảo:

Gọi là điểm bất kì trên đoạn , trong gọi , trong gọi suy ra là mặt phẳng quay quanh căt các cạnh tại các điểm và .

Vậy tập hợp điểm là đoạn .

c) Gọi .

Mà .

Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến

Khi Khi chạy đến thì chạy đến và chạy đến

Từ đó ta có tập hợp điểm là đường thẳng trừ các điểm trong của đoạn .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

1. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và

b) Gọi là các điểm lần lượt trên các cạnh và . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

2. Cho hình chóp đáy là tứ giác , cắt tại , hai đường chéo và cắt nhau tại . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

a) và ; và .

b) với các mặt phẳng và .

3. Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , một điểm thuộc miền trong tam giác . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng :

a) và .

b) và .

4. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên đoạn lấy điểm sao cho .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

5. Cho hình chóp , và là các điểm lần lượt trên các cạnh .

a) Tìm giao điểm của với .

b) Tìm giao điểm của với .

6. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và cắt nhau tại , là hai điểm nằm ngoài sao cho cắt với . Một mặt phẳng quay quanh cắt và lần lượt tại .

a) Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.

b) Gọi , chứng minh thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi , chứng minh thuộc một đường thẳng cố định.

d) Chứng minh đi qua một điểm cố định.

7. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Trên cạnh lấy điểm sao cho .

a) Xác định giao điểm của đường thẳng với và chứng minh .

b) Xác định giao điểm của đương thẳng với và chứng minh .

c) Chứng minh .

8. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .

a) Tìm giao điểm của với . Tính .

b) Tìm giao điểm của với và chứng minh là trung điểm của .

9. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác .

a) Tìm giao điểm của với . Chứng minh thảng hàng và .

b) Tìm giao điểm của với . Tính .

c) Tìm giao điểm của với . Tính .

10. Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ở và là đường thẳng cắt tại .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và

b) Gọi là một điểm trên và không trùng với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và và chứng minh luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi di động trên .

11. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

12. Cho hình chóp . Gọi lần lượt là các điểm cố định trên các cạnh và ( không song song với ).

Một mặt phẳng quay quanh cắt tại và cắt tại .

a) Chứng minh các đường thẳng đồng qui

b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.

c) Gọi . Chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động.

13. Cho hình chóp . Trên các cạnh lấy các điểm sao cho và không song song với nhau.

a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

b) Gỉa sử , chứng minh luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi chạy trên cạnh .

14. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và là một điểm trên cạnh sao cho .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng với .

b) là một điểm thay đổi trên cạnh . Xác định giao tuyến của và . Chứng minh luôn đi qua một điểm cố định.

c) Gọi là trọng tâm tam giác . Xác định thiết diện của hình chóp với .

15. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng căt các cạnh bên tương ứng tại các điểm . Gọi là giao điểm của và .

a) Tìm giao điểm của với .

b) Chứng minh .

16. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm trên các cạnh và .

a) Tìm giao các điểm của các đường thẳng và với .

b) Giả sử . Chứng minh thẳng hàng.

17. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và , . Gọi là trung điểm của , là một điểm trên cạnh với . Gọi là mặt phẳng quay quanh , cắt các cạnh tại . Tìm tập hợp giao điểm của và .

18. Cho tứ diện thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng qui tại một điểm.