200 câu trắc nghiệm vận dụng cao nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án và lời giải
Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN- DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO
I. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
Câu 1: [2D3-3] [ĐỀ SỞ BẮC GIANG 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn và Tính tích phân
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Xét tích phân
Đặt
Nên .
Do đó . Lại có (theo BĐT tích phân)
Dấu xảy ra khi .
Suy ra
Do đó .
Vậy .
Câu 2:Cho hàm số liên tục và thoả mãn với . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt
Với , .
Đặt .
.
Câu 3: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Hà Tĩnh - Lần 1 - năm 2018] Cho . Tính tích phân
A. . B.. C. . D..
Lời giải
Chọn D
Đặt
Đổi cận:
Câu 4: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết () là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
. Đặt
Câu 5: [2D3-3] [Sở GD&ĐT Phú Thọ, lần 1 năm 2018] Biết Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
với .
.
Suy ra .
Câu 6: [2D3-3] Cho là một hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có .
Xét Đặt ; Đổi cận:; .
Suy ra .
Theo giả thiết ta có:
.
Câu 7:[SỞ GD VŨNG TÀU-LẦN 2-NĂM 2018] Hàm sốliên tục trên và : . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
Câu 8:[2D3-3] Hàm sốliên tục trên và : . Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
Câu 9:[2D3-3] Hàm sốliên tục trên và : ; Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn.D.
Đặt
Câu 10: [2D3-3] [Chuyên ĐH Vinh lần 2 – 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính giá trị .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: + : .
.
Vậy .
+ Vì . Do đó .
Cách 2: Từ giả thiết
.
.
Nhận xét: Đặc điểm chung của các bài toán này là đi từ khai thác đạo hàm của một thương, tích các hàm hoặc đạo hàm của hàm hợp. Ta có thể nêu một số dạng tổng quát sau:
1) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: . Khi đó,
.
2) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: .
Khi đó, .
3) Cho trước các hàm có đạo hàm liên tục trên và hàm có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn: . Khi đó,
.
Câu 11: [2D3-3] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc . Đi được , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là: .
Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là: . Do .
Khi xe dừng hẳn tức là .
Quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là:
.
Câu 12: [2D3-2] Giả sử , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt
nên , .
Vậy .
Câu 13: [2D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - năm 2018]
Biết với là các số hữu tỉ , tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét :
.
Câu 14:[2D3-3] [SGD Thanh Hóa- KSCL 14/4- Mã đề 101] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn . Tính tích phân
A. B. C. . D.
Lời giải
Chọn D.
Đặt
Đặt
Đặt
Phân tích:
Dạng bài này là dạng bài toán tìm tích phân của hàm nào đó không biết, nhưng sẽ cho thêm điều kiện, mỗi 1 điều kiện là 1 đoạn trong cận tích phân cần tìm, yêu cầu là đưa các tích phân đã biết về giống dạng chưa biết.
Câu 15: [2D3-3] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Đặt
Do đó
Câu 16: [2D3-3] (THPT Gang Thép Thái Nguyên Lần 3 – 2018) Tính tích phân ta được kết quả là với với . Khi đó nhận giá trị
A. 9. B. 8. C. 1. D. 0.
Lời giải
Chọn D
Đặt , ta có
Câu 17:Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và , , . Tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Mặt khác ta tính được:
Vậy
Suy ra .
Do .
Vậy .
Câu 18: [2D3-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An, lần 3, năm 2018 - Câu 35]
Biết rằng . Trong đó , , là các số nguyên. Khi đó bằng bao nhiêu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt
Đổi cận: khi thì , khi thì .
Vậy
Vậy .
Hướng 2. Phân tích
Câu 19: Biết rằng . Trong đó , là các số nguyên.
Khi đó bằng bao nhiêu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt
Đổi cận: khi thì , khi thì .
Vậy
Vậy .
Câu 20:Biết rằng . Trong đó , , là các số nguyên. Khi đó bằng bao nhiêu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B
Ta có
Đặt
Đổi cận: khi thì , khi thì .
Vậy
Vậy .
Câu 21: [THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tìm số nguyên dương lớn nhất sao cho với mọi hàm số thỏa đề bài.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Do giả thiết cho một bất đẳng thức liên quan đến nên ta sẽ lấy tích phân hai vế để được một bất đẳng thức liên quan đến .
Ta có
.
Suy ra
.
Vậy .
Câu 22:Cho các hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Câu 23:[THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, Lần 2 năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tích phân bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C.
Phân tích: Nhận thấy nên ý tưởng là quy đồng chuyển vế để tích phân 2 vế
Ta có:
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
Mặt khác: nên
Tính: .
Câu 24: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
mà nên .
Suy ra .
Vì nên . Vậy .
Câu 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Suy ra .
Mặt khác .
Do đó
.
, vì nên .
Ta được .
Câu 26: Xét hàm số liên tục trên và thỏa mãn điều kiện . Tích phân bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn A.
Vì liên tục trên và nên ta có
.
Mà
và
Đồng thời .
Do đó, hay .
Câu 27: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và Tính biết rằng
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Nhận xét: Từ giả thiết bài toán ta biến đổi về công thức đạo hàm và sử dụng định nghĩa tích phân.
Phân tích: Từ giả thiết và suy ra:
.
Câu 28: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết
Suy ra , thay vào hai vế ta được
.
Khi đó . Vậy
Câu 29: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:
A. B.. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Từ
Suy ra . Thay vào hai vế ta được Suy ra . Vậy
Câu 30:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và . Giá trị ,.Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Lấy tích phân từ đến hai vế ta được . Suy ra và .
Vậy .
Câu 31: Biết , với nguyên dương, tối giản và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Đặt nên .
Suy ra .
Câu 32:[Sở Bắc Ninh Lần 2-2018] Cho hàm số liên tục và có đạo hàm tại mọi đồng thời thỏa mãn điều kiện:
và . Khi đó, nằm trong khoảng nào?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết: (*).
Vì , ta chia vế của (*) cho ta được .
Mặt khác lại có .
Xét
.
Mà .
Ta có: .
Tổng quát:
Gặp những bài toán mà giả thiết cho dạng
Ta sẽ nhân một lượng thích hợp để đưa về dạng
Với , kết hợp với giả thiết ta tìm được suy ra biểu thức nhân thêm là .
Khi có ta sẽ tìm được .
Câu 33: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tính .
A. . B.. C.. D..
Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 35:Biết với là các số hữu tỷ. Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Vậy
Câu 36: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Đặt
Suy ra
Do đó
Câu 37: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Đặt
Suy ra
Do đó
Câu 38: Cho tích phân Tính giá trị của biểu thức
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Đặt
Đặt
Suy ra
Vậy
Câu 39: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 40: [THPT Chuyên Hùng Vương Phú Thọ Lần 4 - Năm 2017 - 2018] Cho hàm số xác định trên thỏa mãn . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
+) Ta có .
+) Từ đó
.
Do nên .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
+) Vậy .
Nhận xét: để đảm bảo tính khả tích, ta cần thêm điều kiện “ liên tục trên ” ở đề bài. Khi đó điều kiện “xác định” không cần nữa.
Câu 41: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
+) Ta có
+) Vậy .
Câu 42: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
+) Ta có
+) Vậy .
Câu 43: Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn điều kiện
. Tích phân bằng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Lấy tích phân hai vế ta có:
Câu 44: [ THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước, lần 4, năm 2018 - Câu 47]
Cho , với . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn A.
Phân tích: Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
Ta có
.
Ta có , , . Vậy .
Câu 45: Cho , với . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn C.
Ta có
.
Vậy .
Câu 46: Cho, với . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn A.
Ta có
Vậy .
Câu 47: Cho là hàm liên tục và . Giả sử rằng với mọi , ta có và . Tính được kết quả bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Đặt: thì .
Đổi cận
Ta được: .
Do đó: + = =. Vậy: .
Câu 48: Cho hàm số liên tục trên và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Thay
.
Câu 49: (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2018) Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt
Khi đó
Suy ra .
Câu 50: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên và thỏa mãn . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đặt
Khi đó
Suy ra .
Câu 51: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn và . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Đặt
Khi đó
Suy ra .
Câu 52: Biết rằng hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Đặt
Khi đó
Suy ra
Câu 53: Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn và . Giá trị bằng:
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết
Suy ra
.
Câu 54: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn điều kiện , . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Đặt , thì .
Ta có .
Xét hệ phương trình:
, .
Khi đó .
Suy ra .
Phân tích:
+ Bước 1: Từ ta giải phương trình hàm tìm hàm số .
+ Bước 2: Xác định trực tiếp hàm rồi tính .
Câu 55: [Chuyên Hùng Vương Bình Dương,thi lần 5,năm 2018]Cho hàm số liên tục với mọi thỏa mãn . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Đặt , suy ra hay
Ta có .
Câu 56: Cho hàm số liên tục với mọi thỏa mãn . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Tương tự ta xác định được .
Suy ra .
Câu 57: [Đặng Thúc Hứa – Lần 2 – 2018] Cho và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
+ Đặt: .
Với . Do đó: .
+ Đặt: hay .
Với . Do đó: .
Vậy .
Câu 58: Biết. Khi đó, giá trị
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Đặt
Đổi cận
Khi đó
..
Câu 59: Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Đặt . Với , với .
Suy ra
, , .
Câu 60: Biết với , , là các số nguyên dương. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt .
Đặt .
Khi thì , khi thì .
, , .
Vậy .
Câu 61: Cho hai hàm và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Vì
.
Câu 62: [2D3-3] [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Biết , với Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
.
Do đó .
Câu 63: Biết , với Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 64: Cho biết , với Tính .
A. B. C. D.
Câu 65: Cho hàm số liên tục trên và , . Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Đăt , ,
Suy ra
Câu 66: Cho , . Tính
A . . B. . C. . D..
Lời giải
Chọn B.
Theo giả thiết ta có:
.
Do đó nên .
Câu 67: Cho hàm số xác định, có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn:
Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có
.
Câu 68: Cho hai hàm và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức hệ thức sau với mọi
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết ta có và , suy ra , hay .
Do đó . Lại có nên .
.
Câu 69: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số trên tập và thảo mãn . Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Hàm có nguyên hàm là .
Vì nên .
Hàm liên tục tại nên suy ra .
Hàm liên tục tại nên suy ra .
Vậy ta có .
Câu 70: Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn , và . Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có hàm số xác định trên các khoảng .
Khi đó .
Dễ thấy ; ; .
Nên ; ; ; ; và .
Ta có .
Mặt khác .
Và .
.
Câu 71: Cho hàm số liên tục trên và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 72: [HSG,Bắc Giang, 2018] Tính tích phân với và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Do và .
Ta có .
Đặt . Đổi cận , .
Khi đó
.
Câu 73: Tính tích phân với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét tích phân
Đặt
Đổi cận , . Khi đó
Ta có
.
Do
Câu 74: Tính tích phân với , và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Do
Câu 75: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn và Tìm giá trị nhỏ nhất của
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết nên lấy tích phân hai vế với cận từ đến ta được:
Mà nên
Suy ra
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Suy ra mà nên
Do đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của khi
Câu 76: [Trường THPT Quỳnh Lưu 1, tỉnh Nghệ An, lần 2, năm 2018 ]
Cho hàm số thỏa mãn điều kiện và . Biết rằng tổng với và là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn D
Do nên ta chia cả hai vế của cho ta được . nguyên hàm hai vế ta được .
Mà .
Khi đó
. Vậy .
Câu 77: Cho hàm số dương có đạo hàm liên tục trên đoạn biết rằng và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
Câu 78: [THPT QUỲNH LƯU 2, NGHỆ AN, lần 1, 2018] Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tính .
A. . B.. C.. D..
Hướng dẫn giải
Chọn C.
.
Lấy tích phân cả hai vế ta được:
.
Câu 79: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Suy ra
Câu 80: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính
A. B. C. D.
Câu 81: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính
A. B. C. D.
Câu 82: Chuyên Lào cai 2018) Cho hàm số liên tục trên và có ; . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Tính
Đặt ; Đổi cận: ; .
.
Tính
Đặt ; Đổi cận: ; .
.
Vậy .
Câu 83: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên , có , . Biết rằng . Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có nghiệm thực phân biệt.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
.
Ta có bảng biến thiên
Câu 84: Cho hàm số , với , là hai số hữu tỉ thỏa điều kiện . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: = , suy ra . Vậy .
Câu 85: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số chẵn liên tục trên và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Vì là hàm số chẵn trên nên ta có .
Đặt . Ta có:.
Xét .
Đặt .
Do đó ta có .
Đặt . Ta có .
Kết hợp với giả thiết ta được .
Mở rộng: Làm tương tự ta có bài toán tổng quát:
Cho hàm số chẵn liên tục trên . Với là một số thực khác , là một số thực dương thì.
Câu 86: [SGD Quảng Nam - 2018] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , và đều nhận giá trị dương trên đoạn và thỏa mãn , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Vì và đều nhận giá trị dương trên đoạn nên từ suy ra .
Mà nên hay .
Vậy (*)
Trong (*) thay được , suy ra .
Vậy .
Câu 87: giá trị của tích phân bằng
A.0. B. 1. C. 100. D. Kết quả khác.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Suy ra
Câu 88: Tính tích phân với và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Do và .
Ta có .
Đặt . Đổi cận , .
Khi đó
.
Câu 89: Tính tích phân với .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Xét tích phân
Đặt
Đổi cận , . Khi đó
Ta có
.
Do
Câu 90: Tính tích phân với , và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Do
Câu 91: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Biết , trong đó là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có
Vậy .
Câu 92: Biết , trong đó và là các cặp số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 93: Biết , trong đó là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Câu 94: Nếu với thì hệ số bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi là một nguyên hàm của , suy ra .
Ta có
(gt)
Vậy .
Câu 95: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta xét .
Đặt
Mà
Vì nên
.
Câu 96: Cho hàm số liên tục trên và có ; với mọi . Tìm GTLN mà có thể đạt được?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Vì với mọi nên:
Vậy GTLN mà có thể đạt được là 30.
Câu 97: Cho biểu thức , với số thực . Khẳng định đúng là.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn. B.
Ta có .
Đặt
.
Vậy .
Cách 2:
Thay ta có , kiểm tra chỉ có đáp án thỏa mãn
Câu 98: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Cho hàm số , liên tục trên và thỏa mãn và . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Đặt .
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần và giả thiết bài toán, ta được:
.
Câu 99: Cho hàm số liên tục trên và ,. Tính .
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
*) Đặt ; với .
*)
.
Câu 100: Biết là một nguyên hàm của , vàlà các hàm liên tục trên , thỏa mãn . Tính
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
*) Ta có : .
*) .
Câu 101: Cho hàm số liên tục trên và ,. Tính .
A.. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
*) Đặt ; với .
*)
.
.
Câu 102: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính
A. B. C. D.
Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết
suy ra .
Do đó
.
Câu 103: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn ; và . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Theo giả thiết:
Vậy .
Câu 104: Biết , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Đặt .
Đổi cận: ;
Do đó: ; .
Vậy .
Câu 105: Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn đồng thời thỏa mãn các điều kiện và . Đặt , hãy chọn khẳng định đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có
Mà nên
Câu 106: Biết rằng với là các số nguyên dương. Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
=. Vậy .
Câu 107: Cho hàm số f(x) liên tục trên và ; . Giá trị của tích phân là:
A. 6. B. 3. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: nên
=
ta đổi biến
ta đổi biến
Vậy
Câu 108 (SGD VĨNH PHÚC) Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tìm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Vì trên , nên ta có diện tích hình phẳng
.
Vì ,
Nên .
Câu 109: Cho hàm số , trong đó hàm số là hàm số chẵn trên . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Cách 1.
Đặt . Đổi cận ; .
Ta được: .
Do đó: .
Cách 2.
Chọn là hàm số chẵn. Ta có: . Do đó: .
Khi đó: .
Lời bình: Với cách làm này, chỉ cần học sinh nắm rõ nguyên tắc tìm một hàm số đại diện cho lớp hàm số thỏa mãn giả thiết bài toán là có thể dễ dàng tìm được kết quả bài toán bằng máy tính hoặc bằng phương pháp cơ bản với hàm số khá đơn giản. Đối với bài toán này ta có thể chọn hàm số cho đơn giản.
Câu 110: Cho hàm số thỏa mãn và .
Giá trị là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có .
Đặt
Ta có .
Suy ra . Mà .
Câu 111: Giá trị gần bằng số nào nhất trong các số sau đây:
A.. B.. C. D..
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Câu 112: Biết , với là các số nguyên dương. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
.
Vậy .
Câu 113:Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn , . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Đặt . Đổi cận :
sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần ta được :
( Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên ).
Câu 114:Cho là số thực dương. Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn A.
Câu 115: Biết rằng là một nguyên hàm trên của hàm số thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B.
Ta có .
Do nên .
Câu 116: Biết rằng , với Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Đặt .
.
Suy ra
Câu 117: Giả sử tích phân Lúc đó:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Xét
Đặt
Do đó
Câu 118: Cho hàm số . Tìm và biết rằng
và .
A. . B. . C. . D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Suy ra (1)
Ta có .
Theo bài ra (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ .
Câu 119: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính
A. B. C. D.
Lời giải.
Chọn B
Theo giả thiết
suy ra .
Do đó
.
Câu 120: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm ( trong đó là các số nguyên). Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải.
Chọn B
Ta tính được . Do là một nguyên hàm của nên ta có thuộc khoảng suy ra .
Đồng nhất hệ số ta được
Câu 121: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm (trong đó là các số nguyên). Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải.
Chọn B
Ta tính được . Do là một nguyên hàm của nên ta có thuộc khoảng hay
Đồng nhất hệ số ta được .
Câu 122: Xét hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn . Tích phân bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Đặt , thay vào , ta được: hay .
Từ & , ta được: .
Do đó, ta có: .
Câu 123: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Số cực trị của hàm là
A. 2. B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
. Ta có .
Bảng xét dấu:
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
Vậy hàm số có 3 cực trị
Câu 124: Cho hàm số là hàm lẻ và liên tục trên biết và Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Vì là hàm lẻ nên ta có .
Ta có:.
.
Do đó:
Câu 125: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho với , , . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: . Suy ra , , .
Vậy, .
Câu 126: [2D3-3][Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018]Cho tích phân trong đó , là các số nguyên. Khi đó tỉ số bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
. Suy ra: .
Câu 127: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho tích phân , với , . Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có: .
Khi đó: .
Suy ra: , . Vậy, .
Câu 128: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và , .Tính .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn C.
Xét
Đặt
Vậy
Mà và vậy .
Câu 129: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và , .Tính .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn A.
Xét
Đặt
Vậy
Mà và vậy .
Câu 130: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số có đạo hàm trên và , .Tính .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn D.
Xét
Đặt
Vậy
Mà và vậy .
Câu 131: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 132: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Câu 133: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 134: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số với , biết ; . Tính .
A. . B. . C. Không tồn tại . D. .
Lời giải
Chọn D.
Cách 1:
Ta có
Để .Vậy .
Khi đó
Cách 2:
Ta có
.
Ta có nên
; .
Vậy .
Câu 135: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho là một nguyên hàm của hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có .
Do nên .
Vậy .
Câu 136: [Trường chuyên Thái Bình,tỉnh Thái Bình,lần 4,năm 2018] Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn , và . Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Có .
Khi đó .
Có .
Có .
Khi đó: .
Vậy .
Câu 137: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.
A. B. C. D.
Lời giải
Do
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là
Câu 138: Một ô tô đang chạy với tốc độ thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét.
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Thời điểm đạp phanh ứng với .
Thời điểm xe dừng hẳn ứng với .
Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn bằng..
Câu 139: Một vật chuyển động với vận tốc thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.
A. B. C. D.
Lời giải
Do
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc là
Câu 140: Biết rằng trên khoảng hàm số có một nguyên hàm (trong đó là các số nguyên). Tổng bằng
A. B. C. D.
Lời giải.
Chọn B
Ta có:
Từ đó rút gọn tử thức ta được:
Do là một nguyên hàm của nên ta có: trên khoảng
Đồng nhất hệ số hai vế ta được hệ sau:
Suy ra .
Câu 141: Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết . Tích phân
A. B. C. D. 1
Lời giải
Chọn B
Phương pháp:
Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0
Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân.
Cách giải:
Ta có mà nên (vì nếu thì )
Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; x = 1; x = 2
Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm
Từ đề bài ta có
Nên
Từ đó
Chọn B.
II. DIỆN TÍCH THỂ TÍCH
Câu 142: Cho hình là hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục Ox. Diện tích của hình (H) bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi là sình phẳng giới hạn bởi các đường (Tam giác cong ).
là sình phẳng giới hạn bởi các đường (Tam giác ).
Diện tích hình hình phẳng cần tính là:
Câu 143: Cho hình chữ nhật có , (như hình vẽ).
Gọi lần lượt là trung điểm của , , và . Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác quanh trục .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: quay quanh trục
Cách khác:
Gọi là trung điểm .
Gọi là thể tích khối nón cụt tạo bởi quay quanh ,
có chiều cao là , bán kính đáy là và
Gọi là thể tích khối nón tạo bởi quay quanh ,
có chiều cao là và bán kính đáy là
.
Ta có thể tích cần tính
Câu 144: Cho hình thang vuông có , , . Gọi là trung điểm , gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Biết , tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay tứ giác quanh trục .
A.. B.. C.. D..
Lời giải
Chọn B.
Ta có , vuông cân tại nên . Gọi là trung điểm của . Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Bài toán trở thành: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi: quay quanh trục
.
Câu 144: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây.
Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Gọi phương trình của Parabol là . Do qua điểm nên .
Vậy suy ra .
Thể tích vật thể cần tính bằng .
Câu 145: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình).
Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi / phút. Khi chiều cao của cát còn thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi cm (xem hình). Biết sau phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Chiều cao khối trụ bằng .
Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng của đồng hồ cát là parabol . Gọi là đường Parabol phía trên. Chọn hệ trục như hình vẽ .
Đường tròn thiết diện có chu vi bằng suy ra bán kính của nó bằng .
Do có đỉnh là nên phương trình .
đi qua nên . Vậy phương trình .
Thể tích phần cát ban đầu chính bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay nhánh phải của quay quanh trục và bằng lượng cát đã chảy trong thời gian .
Ta có .
Lượng cát chảy trong là .
Vậy .
Chiều cao hình trụ bên ngoài là
Chọn đáp án C.
Câu 146: Một thùng rượu có bán kính các đáy là , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là , chiều cao thùng rượu là (hình vẽ).
Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu?
A. lít. B. lít. C. lít. D. lít.
Lời giải
Chọn D.
+ Đổi dữ liệu sang đơn vị dm :
+ Chọn hệ toạ độ như hình vẽ
Gọi phương trình
đi qua các điểm và nên ta có
Vậy phương trình của
Thể tích của thùng rượu là :
Suy ra đáp án D.
Câu 147: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Lời giải
Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Trong đó , , .
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng , với .
Do Parabol đi qua các điểm , , nên ta có hệ phương trình
.
Khi đó phương trình Parabol là .
Diện tích của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng , .
Ta có .
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là (đồng).
Câu 148: Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh là .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Diện tích thiết diện là
Áp dụng công thức .🡪 Chọn D.
Câu 149: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng, trục nhỏ bằng . Người ta thiết kế một mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh là bốn đỉnh của eip trên để trồng hoa, phần còn lại trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là đồng mỗi trồng rau và đồng mỗi trồng hoa. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
A.. B. . C.. D..
Lời giải
Chọn B
Diện tích phần hoa là:
Diện tích phần rau là:
Vậy thu nhập đến từ mảnh vườn là:
Câu 150: Ở quảng trường một thành phố A có một miếng đất hình tròn đường kính Trong lòng hình tròn đó người ta dự định trồng hoa hồng trên một miếng là hình elip có trục lớn bằng đường kính và trục bé bằng một phần ba đường kính đường tròn trên ( tâm của đường tròn và elip trùng nhau), phần còn lại làm hồ. Biết chi phí để trồng một hoa hồng là đồng, chi phí làm hồ là đồng. Hỏi thành phố đó phải bỏ ra chi phí là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Diện tích hình tròn là:
Diện tích elip hay diện tích trồng hoa là:
Diện tích phần làm hồ là:
Vậy chi phí để thành phố phải bỏ ra là:
Câu 151: Cho là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn có phương trình với (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm: , Đk:
.
Hình giới hạn bởi: có diện tích là:
.
* Ta có: .
* Xét :Đặt ; .
Khi và .
Ta có: (Do khi )
.
Vậy .
Cách khác:
- Giao điểm của và là .
- Có . Suy ra diện tích hình quạt là .
- Gọi là diện tích giới hạn bởi . Suy ra .
- Diện tích hình là: .
Câu 152: (Chuyên hạ long – Quảng Ninh – Lần 2 – 2018- mã 108) Cho các số thỏa mãn các điều kiện: và các số dương . Xét hàm số có đồ thị là . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành, đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các , trục tung, đường thẳng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và hai đường thẳng . Khi so sánh và , ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Ta lại có: .
Mặt khác: .
.
Do .
Câu tương tự:
Câu 153: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường ,,,. Đường thẳngchia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn D
Ta có và
Ta có
Suy ra lớn nhất bằng khi .
Câu 154: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ). Tìm để
A.. B. . C. D.
Lời giải :
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có
●
●
Yêu cầu bài toán
Câu 155: Cho parabol , có đỉnh và là giao điểm khác của và trục hoành. là điểm di động trên ( không trùng với) . Tiếp tuyến của tại cắt lần lượt tại và . là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và trục , là diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và trục . Khi tổng nhỏ nhất, giá trị của bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
Chọn C
Tiếp tuyến tại có phương trình:
Ta có: với
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành: .
Tathấy,
Khảo sát hàm ta được khi .
khi . Khi đó .
Vậy .
Câu 156: [Hàn Thuyên,tỉnh Bắc Ninh,lần 3,năm 2018] Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh trục Ox. Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại M. Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết . Tìm giá trị
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Gọi là thể tích khối tròn xoay do quay quanh
Gọi là thể tích khối tròn xoay do quay quanh
Khi quay quanh tạo ra 2 khối nón tròn xoay là khối nón đỉnh, trục , bán kính đáy và khối nón đỉnh , trục , bán kính đáy
.
Câu 157: [Chuyên KHTN, Hà Nội, lần 2, năm 2018 - Câu 9]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
+) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và là suy ra và .
+) Nhận xét rằng đồ thị chỉ cắt đồ thị trên (có thể dựa vào đồ thị vẽ ra). Bài toán đưa về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và.
+) Ta có . Chọn C.
Câu 158: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị hàm số
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
+) Đồ thịcắt đường thẳng tại và cắt đường thẳng tại
+) Diện tích hình phẳng cần tính
+)
+) Chọn A.
Câu 159: Cho hàm số có đồ thị , biết rằng đi qua điểm . Tiếp tuyến tại của cắt tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị và hai đường thẳng có diện tích bằng (phần gạch chéo trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , đồ thị và hai đường thẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
+) Điểm thuộc đồ thị
+) Phương trình tiếp tuyến tại là .
+) Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị là
+) Mà là nghiệm của (*) suy ra
+) Có
+) Từ ta được suy ra .
+) Vậy diện tích cần tính là . Chọn A.
Câu 160: Cho parabol và hai điểm thuộc sao cho . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đường thẳng đạt giá trị lớn nhất bằng:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
+) Gọi đường thẳng
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và là:
Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt khi .
Gọi hai nghiệm của phương trình là . Khi đó ta có
Gọi giao điểm của và là .
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và là:
.
Vì nên .
Câu 161: [THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, lần 2, 2018] Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh có giá trị là kết quả nào sau đây
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có .
Phương trình hoành độ giao điểm là
Thể tích cần tìm là:
Câu 162: Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là mỗi trồng cây con và mỗi trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn ).
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Chứng minh: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip : (với ) là
Thật vậy, phần đường elip nằm trên trục hoành có phương trình . Do là trục đối xứng của elip nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip là .
Đặt với ta được .
Xét mảnh vườn:
Diện tích trồng cây con là:
Diện tích trồng rau là:
Thu nhập từ mảnh vườn là: .
Câu 163: Một quả đào hình cầu có đường kính . Hạt của nó là khối tròn xoay sinh ra bởi hình Elip khi quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm , . Biết tâm của Elip trùng với tâm của khối cầu và độ dài trục lớn, trục nhỏ lần lượt là , . Thể tích phần cùi (phần ăn được) của quả đào bằng với là các số thực và tối giản, khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm Elip trùng với gốc tọa độ , hai tiêu điểm nằm trên trục . Khi đó phương trình Elip là , xét .
Thể tích khối tròn xoay khi quay Elip trên quanh trục lớn là: .
Thể tích quả đào hình cầu .
Do đó thể tích phần cùi của quả đào là . Do đó .
Câu 164: Trong mặt phẳng cho đường Elip có độ dài trục lớn là , độ dài trục nhỏ là ; đường tròn tâm đường kính là như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay
có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường Elip và đường tròn (phần hình phẳng được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục .
