Các dạng toán về giới hạn dãy số 11 có lời giải chi tiết

4.9/5

Tác giả: Thầy Tùng

Đăng ngày: 22 Aug 2022

Lưu về Facebook:

Hình minh họa Các dạng toán về giới hạn dãy số 11 có lời giải chi tiết

Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11

⯎

Dạng ➀

Chứng minh dãy số có giới hạn là 0

⯎ Phương pháp:

🔿Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

🔿Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

Nếu k là số thực dương thì .

Với hai dãy số và , nếu với mọi n và thì .

Nếu thì .

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn là 0.

a). b). c). d).

🞔 Lời giải

a). Với mỗi số dương tùy ý, cho trước, ta có . Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên ta đều có . Vậy .

b). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .

c). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .

d). Ta có . Vì . Từ đó suy ra .

⯎

Dạng ➁

Dùng định nghĩa chứng minh dãy số có giới hạn L.

⯎ Phương pháp:

Chứng minh .

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Chứng minh:

a). b). c). .

🞔 Lời giải

a). gọi . ta có .

Vì nên suy ra .

b). Gọi . ta có .

Vì nên . Do đó .

c). Gọi . ta có . Vì nên . Do đó .

⯎

Dạng ➂

Tìm giới hạn của dãy có giới hạn hữu hạn:

⯎ Phương pháp:

🔿DẠNG 1: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho với là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và ( hoặc rút là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.

🔿DẠNG 2: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là các biểu thức chứa căn của n).

🔿DẠNG 3: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là các biểu thức chứa hàm mũ ,…. Chia cả tử và mẫu cho với a là cơ số lớn nhất ).

🔿DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:

PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:

🔿DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:

PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số và . Nếu và thì .

🔿DẠNG 6: được xác định bởi một công thức truy hồi.

Phương pháp:

Tìm công thức tổng quát của theo n, sau đó tìm .

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.

🔿DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f).

🞔 Lời giải

a). Ta thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho được:

. Ta có và nên .

b). Dễ dàng thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho được:

. Ta có , và . Do đó .

c). Có , , và . Từ đó .. . Vì , , và . Nên .

d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu .

Ta có , và . Từ đó . Vì và . Do đó .

e). . Ta có , , và .

Từ đó , mà , . Do đó .

f). . Mà , .

🞜

Ví dụ ➋

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

🞔 Lời giải

a). . Vì có và . Nên .

b). . Vì có và .

Từ đó có .

c). Ta có . Vì có và . Từ đó suy ra .

d). Ta có

. Vì có và . Nên .

🞜

Ví dụ ➌

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f).

🞔 Lời giải

a).Ta có . Ta có và . Nên .

b). Ta có . Ta có và . Do đó .

c). Ta có

. Ta có và .

Do đó .

d). Ta có . Vì , và . Do đó .

e). Ta có : , mà và . Do đó .

f). Ta có . Vì và nên .

🞜

Ví dụ ❹

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

e). .. f).

🞔 Lời giải

a). Ta có . Và có và .

Do đó , vì và . Nên .

b). . Ta có và . Từ đó suy ra , vì và . Nên .

c). . Ta có . Do đó , ta có . Nên

d).

Ta có . Do đó . Vì và . Nên .

e).

Tính

(1)

Có

Nên

Từ đó suy ra .

f).

Tính .

Tính

Do đó .

🞜

Ví dụ ❺

Tìm các giới hạn sau:

a). b).

c). d).

🞔 Lời giải

a). Ta có và

Do đó .

b).

Ta có

và .

Do đó .

c). .

Tính

Và .

Do đó .

d).

Tính

(1)

Có

Do đó .

Tính

Từ đó suy ra .

🞜

Ví dụ ❻

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

e). f).

g). h).

🞔 Lời giải

a). Ta có . Từ đó .

Nên .

b). Ta có . Từ đó , có . Do đó .

c). ta có . Do đó .

Nên .

d). .

Ta có dãy số là một cấp số cộng với công sai và số hạng tổng quát , nên tổng của dãy số trên là . Từ đó có và từ đó suy ra .

e). . Ta có tổng (được chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Nên vì do đó .

f). Ta có (Chứng minh dựa vào nguyên lý quy nạp). Do đó .

g). Ta có ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Do đó

. Vì nên .

h). Ta có .

Do đó có nên .

🞜

Ví dụ ❼

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d). .

🞔 Lời giải

a). Ta có . Từ đó ta có:

Do đó . Mà do đó .

b). Ta có:

…………………

Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế ta được .

Mà và . Từ đó suy ra .

c). Rõ ràng do đó. Có

Do đó ta có thì . Mà và nên . Từ đó suy ra .

d). Dễ dàng chứng minh .Áp dụng với được :

(1) và

(2).

Từ (1) và (2) suy ra . Mà và do đó .

🞜

Ví dụ ❽

Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số ?

🞔 Lời giải

Ta có và

Do đó: ...

Suy ra:

Vậy

(Cô si)

Mặt khác . Vậy

🞜

Ví dụ ❻

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f). .

🞔 Lời giải

a). Ta có . Có nên và . Từ đó suy ra .

b). Ta có . Vì nên và . Từ đó suy ra .

c). Ta có . Vì , và nên và có . Từ đó suy ra .

d). Ta có . Vì nên ngoài ra . Từ đó có .

e). Ta có . Vì mà nên do đó (1). Ngoài ra (2). Từ (1) và (2) suy ra .

f). Ta có

. Ta có và do đó (1). Ngoài ra có (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Bài sau

Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới