Đề thi hsg toán lớp 10 năm 2020-2021 trường trần nguyên hãn vòng 1 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG

TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1

LỚP 10 - NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán

Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I

1. Cho hàm số (P): .

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên hãy tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt.

3,0

• Ta có :

− = −1 và − = −4.

• Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(−1; −4), nhận đường thẳng

x = −1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị: Đồ thị đi qua 2 điểm A(−3; 0), B(1; 0).

• Ta có . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số từ đồ thị hàm số như sau:
• Giữ nguyên đồ thị phía trên trục hoành. Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số như hình vẽ.

• Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y =- m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành cắt trục tung tại tung độ -m .
• Vậy phương trình có 4 nghiệm khi và chỉ khi -4<m<0.

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

2. Tìm m để hàm số đông biến trên khoảng .

1,0

• Với. Hàm số nghịch biến trên . Do đó không thỏa mãn.
• Với. Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ kh

• Vậy

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 2

Cho số thực và hai tập hợp . Tìm a để

2,0

Ta có : khi và chỉ khi

(Vì)

Kết hợp với thì

Kết luận với thì .

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

4,0

1)Giải phương trình(1)

Điều kiện

Ta có

vì.

Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = 4.

2,0

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

2)Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

(1)

• Điều kiện: x ≠ ±1.

Ta có (1) suy ra (m + 2)x = 4 − m. (2)

• Trường hợp 1: Nếu m + 2 = 0 ⇔ m = −2 thì

(2) ⇔ 0x = 6, mâu thuẫn ⇒ phương trình vô nghiệm.

• Trường hợp 2: Nếu m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì:

(2) ⇔ x = .

Do đó (1) vô nghiệm khi và chỉ khi

GPT tìm được m = 1.

• Vậy với m = −2 hoặc m = 1 phương trình (1) vô nghiệm.

2,0

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25

Câu 4

Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ có nghiệm thỏa

Nhận xét : nên hệ có nghiệm với mọi m

Giải hệ có nghiệm

Tính

Ta có

2,0

0,5

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 5

Cho tam giác có trọng tâm

1) Phân tích véctơ theo hai véctơ và .

2) Điểm thỏa mãn chứng minh đẳng thức:

3) Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .

4,0

Gọi M là trung điểm của BC

1. Ta có :

0,5

0,5

0,5

1. Ta có

0,5

0,25

0,25

0,5

1. Đặt .

.

Theo 2) có

Ba điểm thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2,0

= =

Đặt , , .

Do abc = 1 xyz = 1 và a,b,c dương suy ra x,y,z dương. Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

, ,

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1.

Vậy khi x = y = z = 1

0,5

0,5

0,5

0,5