Đề thi chọn hsg toán 10 cấp trường năm 2022 có đáp án

1. Một người nông dân có 6 triệu đồng để làm một hàng rào chữ dọc theo một con sông (như hình vẽ bên) làm một khu đất có hai phần là hình chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40000 đồng một mét. Tính diện tích lớn nhất của khu đất rào thu được.

Câu

Đáp án

Điểm

1

(2,0 điểm)

Cho hàm số có đồ thị với là tham số.

a. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi

Với Hàm số trở thành

▪ Tập xác định:

0,25

▪ Sự biến thiên:

Vì nên ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên và nghịch biến trên

0,25

▪ Đồ thị:

Đỉnh của là

Trục đối xứng là đường thẳng

Vì nên parabol có bề lõm

quay xuống dưới.

0,5

b. (1,0 điểm) Tìm giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm của phương trình:

cắt tại hai điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt.

0,25

Vì là nghiệm của nên ta có:

0,25

Giả thiết

0,25

Kết hợp điều kiện thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm là

0,25

2

(1,0 điểm)

Xác định phương trình của parabol đi qua điểm nhận đường thẳng làm trục đối xứng và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Giả sử phương trình parabol là:

0,25

Đường thẳng là trục đối xứng

0,25

Do cắt tại điểm có tung độ nên

0,25

Từ suy ra (thỏa mãn)

Vậy phương trình parabol là

0,25

3

(3,0 điểm)

a. (1,0 điểm)

Phương trình

0,5

(nếu thiếu điều kiện hoặc không loại nghiệm trừ 0,25 điểm)

0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình là

0,25

b. (1,0 điểm)

Điều kiện:

Đặt

0,25

Phương trình trở thành:

Kết hợp với điều kiện

0,25

Với (thỏa mãn)

0,25

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

0,25

c. (1,0 điểm)

Điều kiện:

Khi đó,

0,25

(Nếu học sinh nhân liên hợp mà không xét trừ 0,25)

0,25

Thay vào ta được:

Đặt

Khi đó, trở thành:

0,25

Với

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là

0,25

4

(2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác có và

a. (1,0 điểm) Tính chu vi của tam giác và góc

Ta có:

0,25

Do đó chu vi tam giác là:

0,25

Ta có:

0,25

Suy ra:

0,25

b. (1,0 điểm) Xác định tọa độ điểm là hình chiếu của trên đường thẳng

Giả sử và

0,25

Do là hình chiếu của trên

0,25

Mà cùng phương

0,25

Từ và suy ra: Vậy tọa độ điểm H là

0,25

5

(1,0 điểm)

Cho tam giác cân tại có Gọi là điểm thuộc cạnh sao cho Xác định điểm trên cạnh sao cho

Vì và cùng hướng nên

Suy ra

0,25

Giả sử

0,25

Do

0,25

Vậy điểm N thuộc cạnh BC thỏa mãn

0,25

5

(1,0 điểm)

a. (0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số để …

Giả sử và gọi là điểm đối xứng của qua

Ta có

0,25

Giả thiết có hai nghiệm phân biệt

Vậy giá trị cần tìm là:

0,25

b. (0,5 điểm) Tính diện tích lớn nhất của khu đất rào thu được.

Giả sử độ dài của một hàng rào vuông góc bờ sông là và độ dài của hàng rào song song với bờ sông là

Khi đó, tổng số tiền để mua hàng rào là

0,25

Diện tích khu đất là

Vậy diện tích khu đất lớn nhất là khi và

0,25