Công thức toán học không thể tải, để xem trọn bộ tài liệu hoặc in ra làm bài tập, hãy tải file word về máy bạn nhé
CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng
Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
2. Đoạn thẳng tỉ lệ
Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu có tỉ lệ thức:
hay
3. Định lí Ta-lét trong tam giác
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
4. Định lí Ta-lét đảo
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
5. Hệ quả
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
6. Tính chất đường phân giác trong tam giác
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc
7. Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức
VẤN ĐỀ I. Tính độ dài đoạn thẳng
HD: Vẽ DN // BC DNCE là hbh DE = NC. DE = 18 cm.
a) Tính tỉ số .
b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN.
HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P ABNP, PNCQ là các hbh .
b) Vẽ PE // AD MPED là hbh MN = 11 cm.
a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC.
b) Chứng minh BC // BC.
HD: a) AC = AC b) C trùng với C BC // BC.
a) Chứng minh .
b) Cho và diện tích tam giác ABC là . Tính diện tích tam giác ABC.
HD: b) .
HD: Vẽ BM AC, DN AC .
a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là .
HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) .
a) Chứng minh: và .
b) Chứng minh: .
HD: Sử dụng định lí Ta-lét.
HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC.
HD: Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được .
HD: Tính riêng từng tỉ số , rồi cộng lại.
a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D.
b) Chứng minh hệ thức: .
Chứng minh: .
HD: Vẽ các đường cao CH và CH .
HD: .
HD: Vẽ LM // CK. .
Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác ABC là S.
HD: Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD.
Qua D vẽ DD// AE. Tính được .
.
a)
VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai đường thẳng song song
a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành.
b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi.
HD: b) Gọi I, J là giao điểm của AC với HE và GF .
a) Chứng minh IK // AB.
b) Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt ở E và F. Chứng minh EI = IK = KF.
HD: a) Chứng minh .
a) MP song song với AB.
b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui.
HD: b) Gọi I là giao điểm của DB với CF. Chứng minh P, I, M thẳng hàng.
a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD.
b) Từ O vẽ các đường thẳng song song với AB và AD, cắt BC và DC lần lượt tại G và H. Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH.
HD: a) Chứng minh b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH.
a)
VẤN ĐỀ III. Tính chất đường phân giác của tam giác
a) Tính độ dài AB.
b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH ở E. Tính EH.
HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm.
HD: .
a) Tính AD, DC.
b) Đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại D. Tính DC.
HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm.
a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích ABC bằng S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?
HD: a) b) .
a) Tính độ dài đoạn thẳng AD.
b) Chứng minh OG // AC.
HD: a) b) OG // DM OG // AC.
HD: .
HD: .
a) Tính MC, biết BC = 18cm.
b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm.
c) Tính tỉ số .
d) Chứng minh: .
e) Chứng minh: .
HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c)
e) Vẽ BD // AM BD < 2AB .
Tương tự: , đpcm.
a) Chứng minh rằng MM // BC.
b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN = AI?
c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN AI?
HD: a) Chứng minh .
HD: Chứng minh DC = AB + AD DC = AB + AM DC = 66cm, AB = 42cm.
HD: Vẽ DM // EF, BN // EF. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ADM, ABN.
HD:
a)
HD:
II. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng
a) Định nghĩa: Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:
Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo đúng thứ tự các cặp đỉnh tương ứng: .
b) Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Chú ý: Định lí trên cũng đúng trong trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.
2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
Trường hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
ABC ABC
Trường hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
ABC ABC
Trường hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
ABC ABC
3. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.
4. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán
a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác.
b) Cho và hiệu chu vi của hai tam giác là 40dm. Tính chu vi của mỗi tam giác.
HD: a) b) .
HD: .
HD: .
a) Chứng minh ABH ACK. b) Cho . Tính .
HD: b) .
a) Chứng minh BHP CHB. b) Chứng minh: .
c) Chứng minh CHD BHQ. Từ đó suy ra .
HD: c) Chứng minh .
a) Tính độ dài các cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.
b) Cho diện tích tam giác ABC bằng . Tính diện tích tam giác DEF.
HD: a) ABC DEF EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) .
a) Chứng minh AKI ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tính diện tích của tứ giác AKHI.
HD: b) c) .
a) b)
HD: .
a) Chứng minh EMC ECB. b) Chứng minh EB.MC = .
c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.
HD: c) .
a) Chứng minh AMN NDC.
b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích các tam giác AMN, ABC và NDC.
HD: b) , , .
VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai tam giác đồng dạng
a) Chứng minh ABC CAB.
b) Tính chu vi của ABC, biết chu vi của ABC bằng 54cm.
HD: b) .
HD: Sử dụng tính chất đường trung bình và trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh: FCM OMB và PAE PBO.
b) Chứng minh: .
HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét và tam giác đồng dạng.
a) Chứng minh AED ABC.
b) Tính chu vi của tam giác ADE, khi biết BC = 25cm.
c) Tính góc ADE, biết .
HD: b) c) .
a) Chứng minh: OCB OAD.
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh .
HD:
a) Tính tỉ số b) Chứng minh .
HD: a) Chứng minh BDM CDN b) Chứng minh ABM CAN.
a) Chứng minh ABH ACE. b) Chứng minh: .
HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH đpcm.
a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh .
HD: a) Chứng minh OAB OCD.
a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh OKI OCB
c) Chứng minh BOH BCK d) Chứng minh .
HD:
a) Tính BC.
b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB CAB.
c) Tính EB và EM.
d) Chứng minh BH vuông góc với EC.
e) Chứng minh HA.HC = HM.HE.
HD: a) c)
a) Hãy nêu từng cặp các tam giác đồng dạng.
b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm.
a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ABH CAH. Từ đó tính .
HD: a) AH = 4cm b) .
a) Tính góc b) Chứng minh BAD DBC c) Chứng minh DC // AB.
HD: a)
a)
HD:
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
a) Tính .
b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC tại E. Chứng minh EDC ABC.
c) Tính DE và diện tích của tam giác EDC.
HD: a) c) , .
a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC và HK.
HD: c) , .
a) KBI ICH b) KIH KBI
c) KI là phân giác của góc d) .
HD: d) Chứng minh .
a) Chứng minh .
b) Vẽ các đường cao BF, CE. So sánh hai đoạn thẳng BF và CE.
c) Chứng minh AFE ABC.
d) Gọi O là trực tâm của ABC. Chứng minh .
HD: a) AB < AC DC > MC, D nằm giữa H và M đpcm.
b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH
HD: đpcm.
a) Tính tỉ số b) Cho AB = 12,5cm. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm.
a) Chứng minh .
b) Chứng minh MBD EMD và ECM EMD.
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE.
HD: c) Vẽ MH DE, MK EC MH = MK; .
a) Chứng minh BDC ABC.
b) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DE, AE.
c) Chứng minh .
HD: b) , , c) đpcm.
a) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ANK và AMP.
b) Cho biết diện tích ABC bằng S. tính diện tích tam giác ANK.
c) Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại I và J. Chứng minh .
HD: a) b) .
c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H AM) EBM = HCM EM = MH;
đpcm.
a) Chứng minh OMN HAB.
b) So sánh độ dài AH và OM.
c) Chứng minh HAG OMG.
d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO.
HD: b) AH = 2OM d) đpcm.
a) BG = 2HE b) AG = 2HF.
HD: ABG FEH đpcm.
HD: Chứng minh ABD BCD.
a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng.
b) Tam giác DOE cũng đồng dạng với hai tam giác trên.
c) DO là phân giác của góc , EO là phân giác của góc .
d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB.
HD: d) Vẽ OI DE, OH AC OI = OH.
a) Chứng minh: AA.AH = AB.AC.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC. Chứng minh: .
HD: a) Chứng minh BAH BBC, CAA CBB b) GH // BC .
HD: Tính các tỉ số .
.
HD: Chứng minh đpcm.
HD: Vẽ AH BC, OI BC ; .
Tương tự: đpcm.
HD: Qua C và A vẽ các đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP tại E và cắt đường thẳng CR tại D. Chứng minh đpcm.
HD: Gọi các khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR là m, n, p.
Ta có: đpcm.