SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn : TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu

Nội dung

Điểm

1.

Phương trình

5,0

a)

Giải phương trình (1) khi

1,5

Khi PT (1) có dạng:

0,5

Ta có:

0,5

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: và

0,5

b)

Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

Lập ∆ = 25 - 4m

Phương trình có 2 nghiệm khi ∆ ≥ 0 hay m ≤

0,5

Áp dụng hệ thức Viet, ta có

Hai nghiệm dương khi hay m > 0.

0,5

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x₁, x₂ là 0 < m ≤ (*)

0,5

Ta có:

Suy ra

Ta có

Hay (1)

0,5

Đặt , khi đó (1) thành:

⇔ 2t³ + 5t² - 36 = 0

⇔ (t - 2)(2t² + 9t + 18) = 0

0,5

⇔ t - 2 = 0 hoặc 2t² + 9t + 18 = 0

Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

Với 2t² + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.

0,5

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x₁, x₂ thoả mãn .

0,5

2.

Giải hệ phương trình:

3,0

Hệ

1,0

Đặt . Hệ trở thành: (*)

0,5

Hệ

Từ đó tìm ra

0,5

Với ta có hệ .

Với ta có hệ .

0,5

Với ta có hệ .

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm .

0,5

3.

5,0

a)

Cho góc thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

2,5

1.0

0,5

0,5

0,5

b)

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Điểm K trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số .

2,5

A

B

C

D

E

K

Vì

0,5

Giả sử

0,5

Mà nên

0,5

Do không cùng phương nên

0.5

Từ đó suy ra . Vậy

0,5

4.

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình , .

5,0

a)

Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD và BE.

2,5

Ta có là chân đường phân giác trong

A

B

C

D

E

I

0,5

Do BD = BC

0,5

tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ

0,5

Giải hệ phương trình

1,0

b)

Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.

2,5

Đặt

0,5

Do (1)

Tam giác vuông tại I (2)

0,5

Từ (1) và (2)

0,5

Gọi từ

0,5

Với

Với

Vậy

0,5

5.

Cho là các số thực dương thoả mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

2,0

Áp dụng BĐT AM- GM ta có

0,5

0,5

0,5

Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi chẳng hạn tại .

0,5

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình: (1)

2,5

ĐK: x ≥ 0; .

Khi đó: (1) ⇔

Vậy (1) có nghiệm:

0,25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

b) Giải hệ phương trình

2,5

Điều kiện: .

PT thư nhất tương đương:

Kết hợp với PT hai ta được

Vậy, hệ đã cho có nghiệm 

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1.5

ĐK:

0.5

0.5

0.5

b) Gọi là hai nghiệm của phương trình .

Đặt . Với giá trị nào của thì đạt giá trị nhỏ nhất.

2.5

+ PT có hai ngiệm khi

+

A nhỏ nhất khi

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu 3

3,0

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

.

Viết lại

Theo Cô si: (1)

( Do x+y=1 )

Theo Bunhiacopski:

( Do x+y=1 ) (2)

Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minQ =

0.5

0.25

Câu 4

4,0

Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là

Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT

Gọi N₁ là giao điểm của và AB, suy ra

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N₁ nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Giả sử

Khi đó

PT đường thẳng BC: x-y = 6

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

0,5

0,5

0,25

0,25

0.25

0,5

0.5

0.5

0.25

0.5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

4,0

a) . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân.

2,0

+ Viết được .

+

+ Thay vào = 2, rút gọn ta được b=c

+ Vậy tam giác ABC cân tại A

0.5

0.5

0.75

0.25

b). Cho tam giác . Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho và I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh : . Hãy biểu diễn vecto theo hai vecto và

2.0

+ Chứng minh được

+ Ta có I là trung điểm của MN

0.5

0.5

0.5

0.5

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho phương trình:

1. Tìm m để phương trình có nghiệm

3.0

TH1. Nếu , pt trở thành: là nghiệm

thỏa mãn.

1.0

TH2. Nếu

Ta có

1.0

Pt đã cho có nghiệm

kết hợp 2 TH trên ta được m cần tìm là

1.0

2. Khi phương trình có hai nghiệm , tìm a để biểu thức không phụ thuộc vào m.

2.0

Với phương trình có hai nghiệm , khi đó theo định lí

vi-et ta có: , ta có:

=

1.0

F không phụ thuộc vào m

1.0

2

(8đ)

1.

3.0

Đk :

pt

0.5

đặt ( đk ). Ta có phương trình:

0.5

kết hợp với điều kiện ta được t = 3

1.0

với t =3 (TM).

1.0

2.

3.0

Đk x > 2

bpt

1.0

kết hợp với đk ta có bpt

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là:

1.0

1.0

3.

2.0

Đk:

hpt

đặt (ĐK a, b > 0) , ta có hệ:

0.5

0.5

( vì a, b > 0)

0.5

với (thỏa mãn)

0.5

3

(2đ)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng minh rằng :

2.0

Ta có :

0.5

0.5

tương tự ta cũng có: , do đó

0.5

0.5

4

(2đ)

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho . Chứng minh rằng:

2.0

Từ gt ta có:

1.0

cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

0.5

mà và ,

nên

0.5

5

(2đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm . Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.

2.0

*) Viết pt đường thẳng AB:

ta có AB có vtcp là AB có vtpt là :

0.5

pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0 pt AB: 2x + 3y -12 = 0

0.5

*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông.

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:

MF //AH // NE

x

A

B

F

M

N

E

O

y

0.5

và

khi đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0)

0.5

6

(1đ)

Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng:

1.0

do a, b, c là ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có:

; tương tự ta cũng có:

0.5

cộng theo vế các bđt trên ta được:

VT +

mà nên đpcm

0.5

Câu

Đáp án

Điểm

1

(5đ)

Cho hàm số

1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

3.0

xét phương trình:

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0

1.0

; theo định lí viet ta có:

1.0

(TM)

1.0

2. Tìm m để với mọi .

2.0

để với mọi đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành với

mọi

1.0

1.0

2

(8đ)

1.

3.0

Đk :

pt

0.5

đặt ( đk ). Ta có phương trình:

0.5

kết hợp với điều kiện ta được t = 2

1.0

với t =2 (TM).

1.0

2.

3.0

Đk x > 2

bpt

1.0

vì x > 2 nên 2 vế đều dương, do đó

bpt

kết hợp với đk ta được tập nghiệm của bpt là:

S = ( 2; )

1.0

1.0

3.

2.0

hpt

đặt , ta có hệ:

0.5

hoặc

0.5

với

0.5

với

(vô nghiệm)

0.5

3

(2đ)

Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

(1)

2.0

Ta có: (1)

1.0

0.5

tam giác ABC vuông tại A

0.5

4

(2đ)

Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QN. Chứng minh rằng:

2.0

Theo quy tắc trung điểm ta có:

; ;

;

1.0

cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

VT =

0.5

= = VP

0.5

5

(2đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC.

2.0

Tọa độ điểm B:

vì đt: x + y + 1 = 0 B(b; -b - 1)

gọi M là trung điểm của AB ta có

0.5

vì Mđt: 2x - y -2 = 0 B(-1; 0)

0.5

Tọa độ điểm C:

vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có:

pt AC: x - y - 3 = 0

0.5

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt:

0.5

6

(1đ)

Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn chứng minh rằng:

1.0

từ gt ta có:

áp dụng bđt TBC- TBN ta có:

; tương tự ta cũng có:

0.5

cộng theo vế các bđt trên ta được:

2.VT + đpcm

0.5

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC

Môn thi: TOÁN 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải bất phương trình: (1)

2,5

ĐK: x ≥ 1 (*).

Khi đó: (1) ⇔

⇔

⇔ (do )

⇔

⇔

Kết hợp với điều kiện (*), ta có nghiệm của bất phương trình là

Vậy (1) có nghiệm:

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

0.25

0.25

b) Giải hệ phương trình

2,5

Điều kiện: .

(I)

Đặt , hệ phương trình trở thành:

(thỏa điều kiện)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0.25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0.25

Câu 2

Nội dung

Điểm

4,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1,0

Viết lại:

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +∞)

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): tại hai điểm P ,Q mà đoạn PQ = 3.

3,0

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là:

⇔ (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt hoặc

Gọi là 2 nghiệm của (1)

Ta có PQ =3

(chọn)

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3

3,0

Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

.

Viết lại

0,5

0,25

Theo Cô si: (1)

( Do x+y=1 )

0,5

0,5

Theo Bunhiacopski:

( Do x+y=1 ) (2)

0,5

Trừ theo từng vế (1) và (2) ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy minQ =

0.5

0.25

Câu 4

4,0

Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc với AH là

Tọa độ giao điểm I của AH với là nghiệm của hệ PT

Gọi N₁ là giao điểm của và AB, suy ra

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N₁ nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Giả sử

Khi đó

PT đường thẳng BC: x-y = 6

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

0,5

0,5

0,25

0,25

0.25

0,5

0.5

0.5

0.25

0.5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

4,0

a) . a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

(1)

2,0

Nhận thấy cả hai vế của (1) đều dương nên bình phương hai vế ta có

Tam giác ABC cân tại C

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0.25

b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là điểm trên cạnh AB. Chứng minh rằng không đổi khi M di động trên cạnh AB.

2,0

Do cùng hướng, ta có:

( Vì cùng hướng)

Do đó

0,75

0,75

0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM

Môn thi: TOÁN 10(ĐỀ ĐỀ NGHỊ)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình (1)

2,0

ĐK: .

Đặt

Khi đó: (1) ⇔

⇔

(2) ⇔

⇔

⇔

KL phương trình có nghiệm x=0,x=1/2,x=1

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0.25

0.25

b) Giải hệ phương trình

2,0

Đk:

Đặt

(I)

Kết luận

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

3,0

a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số có đồ thị đối xứng qua oy

1,0

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn

suy ra y(-1/2)=y(1/2),suy ra m=0

Điều kiện đủ m= 0,y

Chứng tỏ hàm y chẵn theo định nghĩa

Kl

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Cho hàm số và m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB =.

2,0

Gọi (P) là parabol và d là đường thẳng

PT hoành độ g/đ của (P) và d là: (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt

Gọi là 2 nghiệm của (1)

;

.

AB=

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

3,0

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa 3.

Chứng minh

Ta có

Đặt

Ta có

1đ

.

0,5

0,5

.

1đ

1

Học sinh không cần chỉ ra dấu bằng vẫn cho tối đa.

Câu 4

2,0

Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm cạnh AB ,BC tam giác ABC.

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp

G trọng tâm ABC Chứng minh được

Chứng minh được

AGOM nội tiêp.

Tương tự AGON nội tiêp và kết luận

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

40

Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

, .Tìm h,k để ABC và MEG có cùng trọng tâm.

2,0

Điều kiện để ABC và MDG có cùng trọng tâm là

.

0,5

Phân tíh các vecto theo cặp vecto BA,BC

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 6

3,0

.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn và đường thẳng

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng .

Hình

Tìm tâm I va bán kính đường tròn

Tính IM

Tham số hóa M

M

3,0

0,25

0,5

0,25

0,25

0,5

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có .Đường phân giác ngoài góc BAC cắt cạnh BC kéo dài ở E(9,3).

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương.

Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d

của góc BAC với đtBC

Hình

Viết BC x-2y-3=0

Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1)

Chùng minh được FA=FE

Tham số hóa A

Tìm A

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Đáp án có 05 trang)

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Câu

Nội dung trình bày

Điểm

1

(2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số có xác định khi và chỉ khi

0,5

0,5

0,5

Vậy tập xác định của hàm số là:

0,5

2

(2,0 điểm). Cho hàm số và hàm số . Tìm để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt và sao cho .

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(*)

0,5

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

Gọi với là nghiệm phương trình (*)

0,5

Theo Vi-et ta có:

Ta có:

0,5

So sánh với điều kiện ta được m=0 và m=-5

0,5

3

(2,0 điểm). Tìm để phương trình có nghiệm.

Ta có

0,5

. Xét và

0,5

Ta có bảng biến thiên hàm số là:

x

1

2

+ ∞

y

-3

-4

+ ∞

0,5

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) phải có nghiệm hay

0,5

4

(2,0 điểm). Tìm tham số để bất phương trình có tập nghiệm là .

Để bất phương trình có tập nghiệm ta cần có với

( m =0 không thỏa mãn)

0,5

Với . Khi đó ta có với

Bpt (1)

Bpt có tập nghiệm

Mà

0,5

Với . Khi đó ta có với

Bpt (2)

Bpt có tập nghiệm

Mà

0,5

KL: ;

0,5

5

(2,0 điểm). Giải phương trình

Điều kiện: .

Đặt

0,5

Ta có thay vào ta được phương trình sau:

0,5

0,5

0,5

6

(2,0 điểm). Giải hệ phương trình

Đặt

Khi đó hệ trở thành

0,5

0,5

Với

0,5

Giải hệ trên ta được .

0,5

7

(2,0 điểm). Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN. Tính độ dài PN theo a.

Đặt

Ta có:

0,5

0,5

Khi đó

0,5

0,5

8

(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác có , phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh là . Biết và . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.

Đặt

Ta có:

0,5

Ta có

Suy ra tam giác ABM vuông tại B.

0,5

Khi đó phương trình AB:

B là giao của AB và BM

0,5

Ta có:

Gọi .

M là trung điểm AC nên hoặc

0,5

9

(2,0 điểm). Cho tam giác gọi I là tâm đường tròn nội tiếp , biết . Chứng minh rằng (Với ).

Ta chứng minh

0,5

0,5

Khi đó

Do

0,5

Nên ta có:

0,5

10

(2,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Ta thấy

0,5

0,5

0,5

Vậy . Dấu “=” xảy ra .

0,5

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT ĐAN PHƯỢNG

Đề chính thức

(Đề thi có 1 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN

Năm học: 2018-2019

Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Câu I

6 điểm

Nội dung

Điểm

Tìm m... với parabol

Để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình :

có hai nghiệm phân biệt có

0.75

Khi đó giao điểm nên trung điểm của đoạn thẳng MN là

0.75

Theo định lý Viet ta có nên

0.75

Do I thuộc đường thẳng nên hay thì thỏa mãn bài toán.

0.75

2.

3 điểm

Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số);

có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện khi

.

0.75

Với thỏa mãn điều kiện (*), áp dụng Viet ta có :

Nên

Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện

Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi

Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi

0.75

0.75

0.75

Câu II

Nội dung

Điểm

1.

2 điểm

Đk:

Ta có

0.5

Đặt

Bất phương trình trở thành

0.5

So sánh điều kiện ta được

0.5

Với

KL đúng

0.5

2.

(3 điểm)

ĐKXĐ:

(2)

0.5

0.5

Thay vào phương trình thứ nhất ta được;

(Có thể bình phương được phương trình:

1.0

Giải hai pt này ta được . Thử lại nghiệm...

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là

1.0

Câu III

Nội dung

Điểm

1.

2 điểm

Có

0.5

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số đương và ta được

Suy ra

0.5

GTNN của P là khi

0.5

0,5

Câu IV

Nội dung

Điểm

1.

2 điểm

Ta có

0,5

0,5

Hai số hạng của tổng (1) đều không âm nên

0,5

KL đúng

0,5

1.

2 điểm

Ta có

0,5

Ta lại có

0,5

0.5

. KL đúng

0.5

Câu V

Nội dung

Điểm

3 điểm

Gọi

Dễ thấy

0.5

, phương trình tổng quát của đường thẳng AE:

0.5

0.5

Suy ra

+ H là trung điểm AE

0.5

Phương trình tổng quát của CD:

0.5

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD

PT tổng quát của AB :

0.5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 10 – THPT

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Câu

ĐÁP ÁN

Điểm

1

Cho hàm số .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với

b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn

3.0

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với

2.0

Với m=1 thì

TXĐ: R. Đồ thị là 1 parabol, có:Đỉnh 2;-1). hệ số parabol có bề lõm hướng lên trên

0.5

0.5

Lập BBT

Tìm giao của parabol với trục hoành, trục tung và vẽ.

0.5

0.5

b) Tìm m để cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn

1.0

Xét pt hoành độ giao điểm

Dựa vào đồ thị tìm được

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm hoặc...

0.5

0.5

2

Cho và là hai nghiệm của phương trình ; và là hai nghiệm của phương trình . Biết rằng . Tìm a và b.

3.0

Điều kiện có nghiệm

Đặt

0.5

0.5

Theo định lý viet ta có hệ

0.5

0.5

Với thì ta được (tm)

0.5

Với thì ta được (tm)

0.5

3

1. Giải phương trình:

2.0

Điều kiện:

0.5

Phương trình

0.5

0.5

Đối chiếu điều kiện , ta được nghiệm

0.5

2. Giải hệ phương trình:

4.0

Phương trình thứ nhất

Đặt ta được .

Vì

0.5

0.5

0.5

Ta được thay vào pt thứ hai ta được

. ĐK:

0.5

0.5

Kết luận: Hệ pt có nghiệm

0.5

0.5

0.5

Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích

+) pt , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích.

4

a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh

3.0

a) Cho tam giác OAB. Đặt . Gọi C, D, E là các điểm sao cho . Hãy biểu thị các vectơ theo các vectơ . Từ đó chứng minh C, D, E thẳng hàng.

2.0

0.5

0.5

0.5

Ta được . Vậy C,D,E thẳng hàng

0.5

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh

1.0

Chọn hệ trục tọa độ thỏa mãn . Giả sử thì ta được

0.5

Khi đó . Nhận thấy chứng tỏ

0.5

5

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm .

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B.

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

3.0

a) Gọi .

0.5

Sử dụng

0.5

b) Gọi . Giải hệ

1.0

Tìm được hoặc

1.0

6

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2.0

. Áp dụng

1.0

Lại có

0.5

Ta được . Dấu "=" xảy ra khi

0.5

Câu

Đáp án

Điểm

1

(3đ)

2

(2đ)

Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

3.0

1.

1.0

pt

0.5

0.5

2.

1.0

đk

bpt , từ đk nên 2 vế đều dương do đó

bpt

0.5

đối chiếu với đk ta được tập nghiệm của bpt đã cho là S = .

0.5

^3.

1.0

hpt ; đặt (đk )

0.25

ta có hệ pt hoặc

0.25

với

0.25

với

0.25

Cho

2.0

1. Tìm m để > 0 với

1.0

> 0 với

0.5

0.5

2. Biết m = 2, tìm x để

1.0

Khi m = 2 ta có

Đk

0.25

pt

0.25

0.25

vì >0 nên pt

0.25

3

(2đ)

1. Cho là góc thỏa mãn điều kiện và .

Tính A =

1.0

ta có

do nên cos < 0

0.5

khi đó

0.25

ta có A =

0.25

2. Cho hai số thực dương chứng minh rằng:

1.0

ta có: (1)

0.5

tương tự ta cũng có :

(2) (3)

0.25

Nhân theo vế ba bđt trên ta được:

0.25

4

(3đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết

A(1; -2), B(3; 1) , C(-1; 3) .

3.0

1. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

1.0

gọi D(a ; b) là điểm cần tìm

tứ giác ABCD là hình bình hành (*)

0.25

với

0.25

khi đó (*)

0.5

2. Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH và trung tuyến BM của tam giác ABC

1.0

+) Ta có AH đi qua điểm A(1; -2) và nhận vec tơ làm vtpt

nên pt AH: -4(x - 1) + 2(y - 2 ) = 0 pt AH : 2x - y - 4 = 0

0.5

+) vì M là trung điểm của AC nên

ta có đường trung tuyến BM nhận làm vtcp BM nhận

làm vtpt mà BM đi qua B(3; 1) nên pt BM: x - 3 - 6(y - 1) = 0

pt BM: x - 6y + 3 = 0.

0.5

3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC.

1.0

+) gọi I là tâm của đường tròn (C). Do E là trung điểm của BC E(1; 2); gọi F là trung điểm của AE F(1; 0)

0.25

+) do (C) tiếp xúc với BC tại trung điểm E của BC nên do đó IE đi qua E(1; 2) và nhận làm vtpt pt IE: 2x - y = 0

0.25

+) vì (C) đi qua A và E nên do đó IF đi qua F(1; 0) và nhận

làm vtpt pt IF: y = 0

do nên I(0 ; 0)

0.25

+ khi đó (C) có bán kính R = IE = và tâm I(0; 0) nên

pt (C) :

0.25

Trường THPT Nguyễn Duy Hiệu

ĐỀ THAM KHẢO THI HSG TOÁN 10

Năm học 2017-2018

Thời gian : 150 phút

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY HIỆU

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THAM KHẢO HSG TOÁN 10

NĂM HỌC 2017 – 2018

MÔN THI: TOÁN

(Đáp án gồm 05 trang)

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

1

a

Cho parabol (P): và điểm . Tìm trên (P) hai điểm M, N đối xứng nhau qua điểm I

1,50

Vì I không thuộc trục đối xứng của (P) nên hai điiểm M,N thỏa đề bài thuộc đường thẳng Δ qua I và có hsg k có phương trình

Xét pt (1)

0,25

0.25

Δ cắt (P) tại M và N

Gọi 2 nghiệm của (1) là

0,25

0,25

M, N đối xứng nhau qua điểm I ⇔ I là trung điểm của MN

0,25

Khi đó (1) hoặc . Vậy

0,25

1

b

Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

1,50

Điều kiện cần hoặc (1)

0,5

Khi đó

0,25

0,25

Điều kiện đủ

0,25

Kết hợp với ĐK (1) ta được hoặc

0,25

Cách khác. Pt có 4 nghiệm đường thẳng cắt đths tại 4 điểm. Từ đồ thị suy ra

2

a

Giải bất phương trình:

2,00

ĐK : .

BPT

0,25

0,25

0,25

0,25

Ta có

0,25

0,25

BPT

Vậy tập nghiệm của BPT là

0,25

0,25

2

b

Giải hệ phương trình:

1,50

Trừ vế ta được

0,25

TH 1. . Thế vào pt thứ nhất ta được

0,25

0,25

TH 2.

Cộng hai pt theo vế ta được

0,25

0,25

(Loại)

Vậy hệ có 4 nghiệm là

0,25

0,25

2

c

Tìm m để phương trình có nghiệm

1,50

ĐK: . Chia hai vế cho ta được

0,25

Đặt ta được (2)

0,25

0,25

Pt (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm

Lập bảng biến thiên của trên

0,25

0,25

Từ BBT suy ra pt (2) có nghiệm

0,25

3

cho . tìm m để f(x) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .

2

0,5

0,5

Do

0,25

0,25

0,25

Kết luận m=-1

0,25

4

trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc oxy cho hai điểm a(1 ; 1) và b(4 ; -3). tìm điểm c thuộc đường thẳng x – 2y – 1= 0 sao cho khoảng cách từ c đến đường thẳng ab bằng 6.

2

0,25

0,25

0,75

0,5

0,25

5

a

Cho tam giác ABC có trọng tâm là G. Hai điểm D và E được xác định bởi các hệ thức: . Chứng minh rằng: D, E, G thẳng hàng

1,50

Gọi M là trung điểm của BC ta có:

0,25

0,5

0,5

Từ (1) và (2) suy ra D, E, G thẳng hàng

0,25

5

b

Gọi H là trực tâm ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh

1,50

Ta có

0,25

0,25

Vì

0,25

Mặt khác ta có

Nên

0,25

0,25

(đpcm)

0,25

5

C

Tìm tọa độ các điểm E, F và B

2,00

Chứng minh được từ đó suy ra

0,5

Chứng minh được từ đó suy ra

0,5

Giả sử . Từ giả thiết suy ra B, E, F thẳng hàng và BE ⊥ BH

Đến quan hệ vecto

Đến hệ pt

0,25

0,25

0,25

Tìm được tọa độ

0,25

6

Tìm max và min của biểu thức .

1,50

Thế vào S ta được

0,25

TH 1.

TH2. . Đặt

0,25

0,25

Với , tồn tại

0,25

Biến đổi ta được

Do nên

0,25

0,25

7

Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1,50

Vậy .

0,25

TH 1.

0,25

TH 2.

0,25

0,25

khi và chỉ khi

Ta có

0,25

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 03/4/2019

(Đề thi gồm 01 trang)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

Câu

Nội dung

Điểm

Câu I.1

1,0đ

Cho hàm số có đồ thị . Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị () tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

Phương trình hoành độ giao điểm (1)

0,25

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .

0,25

Ta có

0,25

(thỏa mãn)

0,25

Câu I.2

1,0 đ

Cho hàm số ,(là tham số). Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .

Với . Hàm số nghịch biến trên . Do đó thỏa mãn.

0,25

Với . Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi

0,25

.

0,25

Vậy

0,25

CâuII.1

1,0 đ

Giải hệ phương trình

0,25

0,25

Thế vào phương trình (2) ta có .

0,25

. Hệ có nghiệm

0,25

CâuII.2

1,0 đ

Giải phương trình (1)

Điều kiện .

Phương trình

0,25

0,25

(Thỏa mãn điều kiện).

0,25

Với điều kiên ta có

. Dấu không xảy ra nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .

0,25

CâuII.3

1,0 đ

Giải bất phương trình (1)

Điều kiện .

0,25

Xét , thay vào (2) thỏa mãn.

Xét . Chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình .

0,25

Đặt , ta có bất phương trình

0,25

Kết hợp là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình .

0,25

Câu III.1

1,0 đ

Cho tam giác có trọng tâm và điểm thỏa mãn . Gọi là giao điểm của và , tính tỉ số .

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt .

.

0,25

0,25

Ba điểm thẳng hàng nên hai vectơ cùng phương. Do đó

0,25

.

0,25

Câu

III.2

1,0 đ

Cho tam giác nhọn , gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh . Gọi diện tích các tam giác và lần lượt là và . Biết rằng , chứng minh .

Đặt thì từ giả thiết suy ra

0,25

0,25

0,25

.

0,25

Câu

III.3

1,0 đ

Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại . Đường thẳng có phương trình , đường thẳng có phương trình . Biết điểm thuộc cạnh , tìm tọa độ các đỉnh .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình . Vậy .

0,25

Phương trình các đường phân giác của góc là 

0,25

Do tam giác cân tại nên đường phân giác trong kẻ từ cũng là đường cao.

Xét trường hợp là đường cao của tam giác kẻ từ .

Phương trình đường thẳng là .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

nằm ngoài đoạn . Trường hợp này không thỏa mãn.

0,25

Nếu là đường cao của tam giác kẻ từ

Phương trình đường thẳng là .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

Toạ độ điểm là nghiệm của hệ phương trình .

thuộc đoạn .

Vậy .

0,25

Câu IV 1,0 đ

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?

Giả sử sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II.

Điều kiện  và

Tổng số giờ máy làm việc: 

Ta có

Số tiền lãi thu được là  (đồng).

0,25

Ta cần tìm thoả mãn:

(I)

sao cho đạt giá trị lớn nhất.

0,25

Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .

Đường thẳng và cắt nhau tại điểm .

Biểu diễn hình học tập nghiệm của

hệ bất phương trình (I) là miền đa giác .

0,25

; ; ;

Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất sản phẩm loại I và sản phẩm loại II.

0,25

Câu V 1,0 đ

Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức

.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự, ta cũng có .

Từ đó suy ra:

. (1)

0,25

Chứng minh bổ đề: Cho và ta có:

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Áp dụng bổ đề ta có

.

0,25

Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:

Do

Nên

(4)

0,25

Mặt khác, do là các số dương nên ta có:

Nên bất đẳng thức (4) đúng.

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

0,25

Bài 1: ( 4 điểm) Giải hệ phương trình

Đáp án

Điểm

Xét hệ

1.0

Thay vào PT (1) ta được (3)

Giải (3). Điều kiện

0.5

Với PT (3) tương đương với (4)

Ta có nên PT (4) vô nghiệm, suy ra PT (3) vô nghiệm.

0.5

Với PT (3) tương đương với (5)

Đặt PT (5) trở thành

0.5

(6)

0.5

Với có và nên

Do đó Suy ra

0. 5

Từ đó HPT đã cho có nghiệm là

0.5

Bài 2: (4 điểm) Trên các cạnh của tam giác ABC về phía ngoài ta dựng các hình vuông;

là trung điểm các cạnh của các hình vuông nằm đối nhau với các cạnh BC, CA, AB tương ứng. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Đáp án

Điểm

Gọi các giao điểm của các đường

thẳng với các cạnh

BC, CA, AB lần lươt là .

với và tan= 2.

1.0

Tương tự

1.0

1.0

Nhân các đẳng thức với nhau ta có: , tức là các đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Vậy các đường thẳng đồng quy tại một điểm.

1.0

Bài 3: ( 3 điểm) Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đáp án

Điểm

Đặt thì

Khi đó

0.5

Với mọithì

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có

0.5

Nhân hai vế của BĐT này với ta được

(1)

0.5

Mặt khác từ giả thiết, ta có (2)

Thật vậy, BĐT (2) tương đương với (BĐT đúng).

0.5

Tương tự (3)

0.5

Cộng từng vế các BĐT (1), (2), (3) ta được

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy GTLN của là 2, đạt được khi

0.5

Bài 4: ( 3 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

Đáp án

Điểm

Rõ ràng các cặp số nguyên (x; y) sao cho là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta giả sử (x; y) thỏa mãn phương trình mà

Trước tiên, từ phương trình, ta phải có

Thật vậy, chia cả 2 vế của cho ta được

0,5

Đẳng thức trên tương đương vớitừ đó suy ra

0,5

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh

Hàm số là hàm lồi trên nửa khoảng [0; +) nên suy ra rằng với mọi số không âm x và y, ta có:

0,5

Nếu thì

0,5

Tương tự, nếu x, y đều không dương, đồng thời, thì

0,5

Vậy ta chỉ cần xét các x, y mà xy0 và ta tìm được các nghiệm là

Tóm lại, các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình là (với a là số nguyên).

0.5

Bài 5: ( 3 điểm) Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên?

Đáp án

Điểm

Với tam giác ABC có tọa độ đỉnh thì

1.0

Xét 9 điểm A, B, C, D, F, G, H, I có tọa độ nguyên thì tọa độ của mỗi điểm sẽ thuộc một trong các dạng sau: (chẵn, chẵn), (lẻ, lẻ), (lẻ, chẵn), (chẵn, lẻ). Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất điểm thuộc cùng một dạng, tức là tọa độ cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là A, B, C.

1.0

Với hai điểm A, B có tọa độ cùng tính chẵn lẻ thì

đều là số chẵn nên diện tích tam giác có cạnh AB đều nguyên (do(1)). Tương tự diện tích các tam giác có cạnh là AC, BC đều nguyên.

0.5

Với mỗi 2 trong 3 điểm A, B, C kết hợp với 6 điểm còn lại thì được 6 tam giác có diện tích nguyên. Vậy có ít nhất tam giác có diện tích nguyên.

0.5

Bài 6: ( 3 điểm) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:

Đáp án

Điểm

Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Ta có

Ta thấy rằng

0.5

và

0.5

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp (*)

Thật vậy,

Với ta có (đúng).

Với ta có (đúng)

Giả sử (*) đúng vớitức là ta có Ta cần chứng minh (*) đúng , tức là cần chứng minh

0.5

Nếu k là số lẻ thì là số chẵn và

0.5

Nếu k chẵn thì chẵn và do nên theo giả thiết quy nạp ta có Vậy

Ta có:

Theo nguyên lý quy nạp, ta có:

0.5

Thử lại, ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0.5

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

Trường THPT Khâm Đức

——————

ĐỀ THI OLYMPIC 24-3 NĂM HỌC 2016-2017

MÔN: TOÁN 10

Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1

5,0

a) Giải phương trình (1)

2,0

ĐK: x ≥ 5/3 (*).

Khi đó: (1) ⇔

⇔

⇔ (thỏa (*))

Vì

Vậy (1) có nghiệm: x = 2 .

0,25

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

b) Giải hệ phương trình

3,0

Điều kiện: (*)

Nhận thấy y = 0 không thỏa (1) nên (1)

• Với x = y thay vào (2) ta được :
• Với x = 4y thay vào (2) ta được:

So với (*) ta được nghiệm của hệ là :

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 2

3,0

a) Tìm tập xác định của hàm số :

1,0

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi :

( Vì x² -5x + 2017 > 0 với mọi x)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: .

2,0

Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn

Theo định lí Viet ta có suy ra

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được: khi , khi .

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 3

3,0

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x . y. z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .

Tương tự , ta có :

0,75

0,25

Cộng vế theo vế , ta được:

Áp dụng BĐT Cô-si , ta có: .

0,5

0,5

Từ (1) , (2) suy ra

0,5

Vậy P_min = , đạt được khi x = y = z = 1

0,5

Câu 4

2,0

Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.

Điểm

Coi đỉnh A_i (x_i ; y_i), i = 1,2,3,4,5.

Khi đó (x_i ; y_i) có thể rơi vào những trường hợp sau: (2k ; 2k’) ; (2k ; 2k’ + 1) ;

(2k + 1 ; 2k’ + 1) ; (2k + 1 ; 2k’ ) với .

Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất hai đỉnh có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.

Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh đó sẽ có tọa độ nguyên.

Do ngũ giác là lồi nên trung điểm đó nằm ở miền trong hoặc tren cạnh của ngũ giác đó.

0,75

0,5

0,25

0,5

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 5

40

a) Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãnGọi I là giao điểm của AM và CN . Chứng minh BI ⊥ IC.

2,0

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

b) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm C cố định thuộc đoạn AB (C khác A, B).Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Đường thẳng qua M vuông góc với MC lần lượt cắt tiếp tuyến qua A và B của nửa đường tròn tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

2,0

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

Câu 6

3,0

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng là d₁: và d₂: . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại A, cắt d₂ tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của đường tròn (C) biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.

3,0

+ Gọi I là tâm đường tròn (C) đường kính là AC

+ A thuộc d₁ nên có tọa độ là

+ Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với d₂ có phương trình:

AB: ;

+ Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d₁ có phương trình:

AC: ;

+ Tam giác ABC có diện tích bằng

+ Tính đúng

+ Viết đúng phương trình (C):

0,25

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,25

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT HỒ NGHINH

ĐỀ ĐỀ NGHỊ KỲ THI OLYMPIC

MÔN : TOÁN 10 - NĂM HỌC 2017-2018

Thời gian :150 phút (Không kể thời gian giao đề)

CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM

Câu 1 (5đ)

a Giải bất phương trình.

3đ

Đk :

0.5đ

*

Suy ra là nghiệm của bpt

1đ

*

0.5đ

0.5đ

Vậy tập nghiệm của bpt

0.5đ

b. Giải hệ :

2đ

Đk:

0.25đ

0.5 đ

0.5đ

Khi x=y:

0.5đ

KL: Hệ có tập nghiệm

0.25đ

Câu 2

(3 đ)

a. Cho parabol (P) : y = 3x² – x – 4. Gọi A,B là giao điểm của (P) với Ox. Tìm m < 0 sao cho đường thẳng d: y= m cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N mà bốn điểm A, B, M, N tạo thành tứ giác có diện tích bằng 4.

2 đ

Ta chọn A(-1;0), B(4/3;0)

0.25 đ

Pthđgđ của (P) và d: 3x² – x – 4- m = 0 (*)

ĐK: Δ > 0 ⇔

M,N là giao điểm nên x_M , x_N là hai nghiệm của (*)

0.25 đ

0.25 đ

A và B, M và N đối xứng nhau qua trục đối xứng của (P) nên bốn điểm tạo nên hình thang cân có hai đáy AB, MN, độ dài đường cao =

0.5 d

0.5 đ

Vậy m = -4 , m = -2 thỏa mãn đề.

0.25 đ

b.

1đ

0.25đ

0.25đ

0.5đ

Câu 3 (3,0 điểm).

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3đ

0.5 đ

Đặt

Lại có :

0.5 đ

0.25đ

Suy ra

0.25 đ

Đặt - ()

0.5 đ

Suy ra

0.25 đ

T=A+B

0.5đ

KL: MinT= khi

0.25đ

Câu 4 (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng lấy 2n + 3 điểm ( ) sao cho trong ba điểm bất kì luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên.

2đ

Chọn điểm A bất kì trong 2n + 3 điểm đó. Vẽ đường tròn (A;1), khi đó có hai khả năng :

a) Nếu tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1) thì bài toán thỏa mãn.

0.5 đ

b) Nếu không phải tất cả các điểm thuộc hình tròn (A;1). Khi đó, có 1 điểm gọi là B không thuộc hình tròn (A;1).

Vẽ đường tròn (B;1).

Gọi C là điểm bất kì trong 2n + 1 điểm còn lại. Xét ba điểm A, B, C thì phải có AC hoặc BC nhỏ hơn 1.

0.5 đ

Nếu AC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (A;1)

Nếu BC nhỏ hơn 1 thì C thuộc hình tròn (B;1).

0.5 đ

Do đó 2n + 1 điểm còn lại thuộc (A;1) hoặc thuộc (B;1) nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất n + 1 điểm thuộc (A;1) hoặc (B;1).

Nói cách khác có ít nhất n+ 2 điểm thoả mãn đề.

0.5 đ

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M thì

3 đ

0.5 đ

1 đ

0.5đ

0.5đ

Dấu bằng xảy ra khi

M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

0.5đ

Câu 6 (4,0 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC. D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC mà AC = 3EC. Đường thẳng DC có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.

4 đ

Ta có nên BE là phân giác của góc B

0.5 đ

Suy ra BE vuông góc DC, nên DC có ptrình

0.5 đ

0.5 đ

Gọi BC= a. tính được

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

KL: A(12;1), B(4,5), C(2;1) hoặc A(0;-3), B(4;5), C(8,3)

0.5 đ

Chú ý: thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo dựa vào thang điểm cho điểm tương ứng

KỲ THI OLIMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH

Năm học 2017 – 2018

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Môn thi: TOÁN

(Đáp án – Thang điểm gồm trang)

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) Giải phương trình

2,0

Điều kiện:

0,25

+

0,5

0,5

0,25

Giải tìm được tập nghiệm của bất phương trình là S=

0,5

b) Giải hệ phương trình

3,0

Điều kiện: và.

0,25

- Xét phương trình thứ hai trong hệ:

0,5

0,5

(vì theo điều kiện thì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương

+ Với thay vào phương trình thứ nhất ta được:

Điều kiện: . Khi đó, ta có:

0,25

0,25

0,5

0,25

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2; ).

0,5

Câu

Đáp án

Điểm

Câu 2(4,0 điểm) ãn

a/. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

1,5

Viết lại hàm số

0,5

Lập được bảng biến thiên

0,5

Vẽ được đúng đồ thị hàm số

0,5

b/. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số có giá trị bé nhất trên đoạn [0;1] bằng 1.

2,5

Hoành độ đỉnh

Bảng biến thiên:

0,25

0,25

+ Nếu thì

0,25

(Không thỏa)

0,25

0,25

+Nếu thì f(x) dồng biến trên [0;1]

(thỏa ) hoặc (không thỏa)

0,25

0,25

+ Nếu thì f(x) nghịch biến trên [0;1]

m=0 (không thỏa ) hoặc m=-2 (thỏa)

0,25

0,25

Vậy và m=-2

0,25

Câu3 (4,0 điểm)

a/. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng:

.

2,0

Ta có .

Tương tự

Suy ra

đccm

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

b/. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

2,0

P xác định khi .

Ta có

Áp dụng Bđt Côsi ta có:

Max P=, đạt được khi x=2, y=8, z=18

0,25

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

Câu 4

(4,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6;1). Đường thẳng AH có phương trình x + 2y - 3 = 0. Gọi D , E lần lượt là chân đường cao kẻ từ điểm B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết phương trình DE là x - 2 = 0 và điểm D có hoành độ dương.

4,0

Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn tâm I và tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm F

0,5

Vậy IF là đường trung trực của ED. Do đó IF ED

0,5

Suy ra phương trình IF : y-1=0

0,25

Suy ra F (1 ; 1)

0,25

Suy ra A(-1 ;2)

0,5

D thuộc DE suy ra D(2 ;d)

0,25

Do FD = FA suy ra

Do nên D(2; 3)

0,5

0,25

Phương tình AC: x - 3y + 7 = 0

0,25

Đường BC đi qua I và vuông góc AH nên có phương trình BC 2x – y – 11 = 0

0,25

Suy ra C ( 8; 5)

0,25

Suy ra B ( 4 ; -3 )

0,25

Câu5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng diện tích của một trong ba tam giác AB’C’, BA’C’, CA’B’ không thể vượt qua một phần tư diện tích tam giác ABC. Với điều kiện nào các tam giác này có diện tích bằng nhau và bằng một phần tư diện tích tam giác ABC.

3,0

Kí hiệu , , , .

Ta có

Suy ra

=.

Mặt khác:

Suy ra hoặc hoặc

Dấu bằng xảy ra đồng thời khi và chỉ khi A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm của BC, CA, AB.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25