Số giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thuộc đoạn $\Large [-2022; 6]

Số giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thuộc đoạn $\Large [-2022; 6]$ để phương trình $\Large (x-3)[\log_{2020}(5x+2)+\log_{2020}(3x+1)]=2x-m$ có đúng hai nghiệm thực là

• A. 1.
• B. 2.
• C. 2025.
• D. 2029.

Điều kiện $\Large x > -\dfrac{1}{3}$.

TH1. Với $\Large x=3$, thay vào phương trình ta được $\Large m=6$.

         Với $\Large m=6$, phương trình đã cho trở thành

$\Large (x-3)[\log_{2020}(5x+2)+\log_{2020}(3x+1)]=2x-6$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x-3=0\\ & \log_{2020}(5x+2)+\log_{2021}(3x+1)-2=0 \end{align}\right.$ (1)

Xét $\Large f(x)=\log_{2020}(5x+2)+\log_{2021}(3x+1)-2$, ta có

$\Large f(x)$ luôn đồng biến, liên tục trên $\Large \left(-\dfrac{1}{3}; +\infty\right)$ và $\Large f(0).f(2021) < 0$, $\Large f(1)\neq 0$ nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất $\Large x_0\neq 3$. Suy ra $\Large m=6$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

TH2: Với $\Large x\neq 3$ thì phương trình đã cho tương đương $\Large \log_{2020}(5x+2)+\log_{2020}(3x+1)-\dfrac{2x-m}{x-3}=0$.

Xét hàm số $\Large y=\log_{2020}(5x+2)+\log_{2020}(3x+1)-\dfrac{2x-m}{x-3}$ trên miền $\Large \left(-\dfrac{1}{3}; 3\right)\cup (3; +\infty)$. Ta có $\Large {y}'=\dfrac{5}{(5x+3)\ln 2020}+\dfrac{3}{(3x+1)\ln 2021}+\dfrac{6-m}{(x-3)^2} > 0$ với mọi $\Large x\in \left(-\dfrac{1}{3}; 3\right)\cup (3; +\infty)$, $\Large m\leq 6$. Do đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $\Large y=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\Large x\in \left(-\dfrac{1}{3}; 3\right)\cup (3; +\infty)$ với mọi $\Large m < 6$.

Vậy với mọi $\Large m\in [-2022; 6]$ thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt, hay có 2029 giá trị nguyên của $\Large m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D